扭转切应力

扭转切应力

两类切应力

扭转切应力

弯曲切应力

扭转切应力

圆轴扭转时的应力变形特征

圆轴扭转时横截面上的切应力分析

矩形截面杆扭转切应力公式

圆轴扭转时的应力变形特征

外加力偶矩与功率和转速的关系

变形特征

横截面和纵截面都有切应力存在

--切应力互等定理

外加力偶矩与功率和转速的关系

应用此公式时要注意单位。

将圆轴表面如图划分为许多小方块，这些小方块可近似地看作矩形。轴受扭以后，小方块就发生变形，变成菱形。

如图是放大后的情形。产生这样的变形是因为在两个横截面上出现了切应力。作用在AB、CD面上的切应力组成一个力偶，显然它是不能使这个微元平衡的，因此，在两个纵截面上也产生切应力。通过应变知道横截面上有切应力，再通过平衡知道纵截面上也有切应力。微元的直角改?

横截面上和纵截面上的切应力有何关系？我们取出如图微元分析，横截面上的切应力τ乘以其作用面积dydz，再乘以力臂dx，组成一个力偶；纵截面上的切应力τ'也同样组成一个力偶，这两个力偶是大小相等，方向相反的。最后消掉公因子dxdydz,就得到τ=τ'。根据平衡的要求?

圆轴扭转时横截面上的切应力

根据变形特征和切应力互等定理，现在分析圆轴扭转时横截面上的切应力。

反对称分析论证平面保持平面

由平面保持平面导出变形协调方程

由物性关系得到应力分布

切应力公式

方法与过程

反对称分析论证平面保持平面

首先用反对称关系。如图，对称圆轴两端作用一对反对称的力偶，横截面上C、D两点若不保持在原来的平面上，则从A端看，力偶是顺时针方向的，这两点背离观察者而去的；若从B端看，力偶也是顺时针方向的，C、D两点也背离观察者而去。显然这是矛盾的，因此，C、D两点只能?

第一个结论

圆轴扭转时，横截

面保

持平面，平面上各点只

能

在平面内转动

还可以用反对称关系作进一步分析这些平面上的点移动的规律。观察截面上的一条直径，若发生扭曲，当分别从A、B两端看过去时，一次呈S形，一次呈反S形，同样产生矛盾的结论。

最终结论

圆轴扭转时，横截

面保

持平面，并且只能发生

刚

性转动。也就是说，任

意

直径在转动后仍然保持

直

径。

由平面保持平面导出变形协调方程

根据这个关系分析两个相邻截面，从而得到变形协调方程。如图，取出一个微段，相邻两个截面在扭矩的作用下转过一个角度dφ，因此，直线AC变成AC'，BD变成BD'，ABCD这个小方块产生角应变γ（R）。从里到外各同心圆表面产生的切应变是不相同的，设到轴线任意远ρ处的切?

切应变γ和半径ρ成正比。

由物性关系得到应力分布

有了切应变的几何关系，即变形协调方程，但还没有和切应力联系起来，所以还要建立物性关系，得到应力分布。切应变和切应力在弹性范围内加载时满足线性关系，即剪切胡克定律：τ=Gγ，G就是切变模量。

于是从刚才切应变分布就可以得到切应力分布。在整个横截面上，切应力表达式就是如图所示，它与ρ成正比。由此画出的切应力分布图有两个特点：一，在横截面同一个圆轴上各点切应力相同，因为ρ是相同的；二，沿着半径方向切应力是线性分布的，在轴心上为零，在轴表面?

由切应力分布还不能得到切应力公式，还需要静力学方程。如上图（右）横截面上任意取一个微元，即很薄的一个圆环，这个微元上切应力都相等，作用在此微元上所有的力对轴心的力偶矩就等于扭矩，即图示静力学方程。我们已经知道τ(ρ)的分布公式，将它代入，求出扭矩。

切应力公式

于是就能求出切应力。首先得到图示的公式，其中GIP 是扭转刚度，IP 是截面的极惯性矩。这个公式表示一个微段的两个横截面之间的扭转角。dφ/dx就叫做单位长度上的扭转角，或者叫扭转角的变化率。

得到的第二个公式

圆轴扭转时横截面上的最大切应力

刚才是任意一点的切应力公式，已知横截面上最外沿那点切应力取最大值，所以最大切应力就等于扭矩除以扭转截面系数WP ，其表达式如图，和弯曲截面系数有相似之处。

截面的极惯性矩与扭转截面系数

截面的极惯性矩与扭转截面系数又如何求法呢？对于实心圆截

面，可以用积分的方法求出如图结果；对于圆环截面，同样可求出如图结果，请思考，为何WP 的表达式最后一项会与IP 最后一项相同，都是α4 ，而不是α3 ？

对于实心圆截面

对于圆环截面

例题 1

已知：如图两轴牙嵌式连接，P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外

径之比= 0.5。

求：实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。

轴承受的扭矩就等于外加的力偶矩，可直接求解；再写出实心轴最大切应力的表达式，其中只有d1 是未知的，于是求出d1 ；

同理求出D2 ，这样，就能求出两轴截面积之比，即重量之比。

例题 2

已知：如图机构，E轴输入功率，P1＝14kW，n1=n2= 120 r/min，z1=36，�z3=12；d1=70mm，d2 =50mm，d3=35mm。

求：各轴横截面上的最大切应力。

先求出各轴功率与转速，结果如图。

由此算出三个扭矩。

进一步求出最大切应力。可以看到第二根轴上横截面的切应力最大。

以上讲的是圆截面上的扭转切应力，现在介绍矩形截面杆扭转切应力公式。矩形截面杆扭转切应力

变形特征

由平衡直接得到的结论

切应力分布

狭长矩形截面

变形特征