一特征值与特征向量概念

关的特征向量。
反之，若Ａ有ｎ个线性无关的特征向量 p1, p2 ,L , pn
即 Api i pi (i 1, 2,L , n), 设 P ( p1, p2 ,L , pn ), 则Ｐ 可逆，且 AP ( Ap1, Ap2 ,L , Apn ) (1 p1,2 p2 ,L ,n pn )
1
的λ都是方阵Ａ的特征值．
定义 称以λ为未知数的一元ｎ次方程 E A 0 为Ａ的特征方程．
定义 称以λ为变量的一元ｎ次多项式 f E A
为Ａ的特征多项式．
定理 设ｎ阶方阵 A aij 的特征值为 1,2 ,L ,n
则 (1) 12L n A ; (2) 1 2 L n a11 a22 L ann;
即 x, y 正交.
1 1
例2
已知三维向量空间中，1
1 1
,
2
12
正交，
试求3 , 1,2 ,3 是三维向量空间的一个正交基.
解 设3 x1 x2 x3 T 0 则 1,3 0,2 ,3 0.
即
x1 x1
x2 x3 0 2x2 x3 0
x1 x2 x3
( p1,ຫໍສະໝຸດ Baidu
p2 ,L
,
pn
)
2
O
P,
n
所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
定理 ｎ阶矩阵Ａ能与对角矩阵Λ相似 Ａ有ｎ阶线性无关的特征向量．
推论 如果ｎ阶矩阵Ａ有ｎ个不同的特征值，则矩阵Ａ
可相似对角化．
推论 若ｎ阶矩阵Ａ可相似对角化Ａ的任 ti重特征值 i 对应 ti 个线性无关的特征向量．
注意 （1）Ｐ中的列向量 p1, p2 ,L , pn的排列顺序要与 1,2 ,L ,n 的顺序一致．
（2）因 pi是 ( A E)x 0的基础解系中的解向量， 故 pi 的取法不是唯一的，因此Ｐ也是不唯一的．
（3）又 A E 0的根只有ｎ个（重根按重数计算） 所以如果不计i 的排列顺序， 则 是唯一的．
一、特征值与特征向量的概念
定义 Ａ为ｎ阶方阵，λ为数， 为ｎ维非零向量，
若
A
（１）
则λ称为Ａ的特征值， 称为Ａ的特征向量．
注 ① 特征向量 0，特征值问题只针对与方阵；
② , 并不一定唯一；
③ ｎ阶方阵Ａ的特征值，就是使齐次线性方程组
E A x 0 有非零解的λ值，即满足 E A 0
例题：
1 (1) A 3
4 4
2 0 ,
化矩阵A为对角矩阵。
3 1 3
0 (2) A 0
0 0
0 0
,
化矩阵A为对角矩阵。
3 0 1
例题： A, B为n阶矩阵，且A 0，证明
AB∽ BA。
一、内积的定义与性质
1、定义
设ｎ维实向量
a1 a2
,
b1
b2
1
令
1
1
1 1
,
2
2
1,2 1, 1
1
2
01 ,
3
3
1 1
,3 , 1
1
2）标准化
2 ,3 2 , 2
2
3
2 ,3 2 , 2
2
1 2
1
2 1
,
1
1
1
令 i
1
i
i, 1
1 3
1 1
,
2
1 2
0 1
,
3
1 26
2 1
.
五、正交矩阵和正交变换
1、定义 如果ｎ阶矩阵满足： AT A E 即A1 AT ,
而对对角阵 有
1k
k
2k
(1)
,()
(2 )
,
O
O
nk
(n
)
这样可以方便地计算Ａ的多项式 ( A).
三、相似对角化
对ｎ阶方阵Ａ，若能寻得相似变换矩阵Ｐ使
P1AP
称之为把方阵Ａ对角化．
定理的推论说明，如果ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵Λ相
似，则Λ的主对角线上的元素就是Ａ的全部特征值． 那么，使得 P1AP 的矩阵Ｐ又是怎样构成的呢？
此问题称为把 1,2 ,L ,r 这组基标准正交化.
1）正交化
令 1 1
2
L
2
L
1,2 L1, 1
1
r
r
1 , r 1, 1
1
2 ,r 2 , 2
2
L
r1,r r1, r1
r1
则 1, 2 ,L , r 两两正交，且与 1,2 ,L ,r等价.
2）标准化
令
1
1
1
1,
2
1
2
2、正交矩阵的充要条件
① Ａ的列向量是标准正交组.
② Ａ的行向量是标准正交组.
注 正交矩阵Ａ的ｎ个列（行）向量构成向量空间Rn
的一个标准正交基. 3、正交变换
若Ｐ为正交矩阵，则ｙ=Ｐｘ线性变换称为正交变换. 设ｙ=Ｐｘ为正交变换，则有
y y, y yT y xT PT Px xT x x, x x .
设存在Ｐ可逆，使得 P1AP AP P
若 P p1, p2,L , pn ,
1
有
A
p1 ,
p2 ,L
,
pn
p1 ,
p2 ,L
,
pn
2
O
1 p1,2 p2 ,L ,n pn
n
于是有 Api i pi (i 1, 2,L , n), 因为Ｐ可逆， 故
pi 0(i 1, 2L , n), 于是 p1, p2 ,L , pn是Ａ的ｎ个线性无
四、应用举例
例1 证明：Rn中，勾股定理 x y 2 x 2 y 2 成立 的充要条件是 x, y 正交.
解 x y 2 x y, x y x, x y, y 2 x, y
x 2 y 2 2 x, y 所以 x y 2 x 2 y 2成立的充要条件是 x, y 0,
②由非零向量α得到单位向量 0 1 的过程
称为把α单位化或标准化.
３、夹角
设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹
角的余弦为 cos
,
,
因此α与β的夹角为
<, arccos , ,0 .
例 1 2 2 3, 3 1 5 1, 求<, .
解 cos , 18 1
２、性质 （1）正定性：
0;且 0 0；
（2）齐次性：
k k ;
（3）三角不等式： ;
（4）柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式:
, 2 2 2 , 即, 2 , ,
当且仅当α与β的线性相关时，等号成立.
注
①当 0 时， 0
1
是α的单位向量.
3 26 2
.
4
练习 1 1 1 1T , 1 1 1 0T , 求<, .
三、正交向量组及其求法
1、正交
当 , 0 ，称α与β正交.
注 ① 若 0，则α与任何向量都正交.
② 0.
③ 对于非零向量α与β， , .
2、正交组
2
若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则
二、性质
（1） 反身性： Ａ∽Ａ； （2） 对称性： Ａ∽Ｂ，则Ｂ∽Ａ；
（3） 传递性： Ａ∽Ｂ，Ｂ∽Ｃ，则Ａ∽Ｃ；
（4）Ａ∽Ｂ，则 R A = R B
（5）Ａ∽Ｂ，则 A B
（6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 A1 ∽ B1
定理
若ｎ阶矩阵Ａ与Ｂ相似，则Ａ与Ｂ有相同的特征 多项式，从而Ａ与Ｂ有相同的特征值．
这个向量组称为正交向量组，简称正交组.
3、标准正交组
由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
4、性质 定理 正交向量组必为线性无关组.
定理 若向量β与 1,2 ,L ,s 中每个向量都正交，则 β与 1,2 ,L ,s 的任一线性组合也正交.
5、正交基
若正交向量组1,2 ,L ,r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1,2 ,L ,r 为向量空间Ｖ上的一个正交基.
证明① 当1,2 ,L ,n 是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项
式可分解为 f E A 1 2 L n n 1 2 L n n1 L 1n 12L n
令 0, 得 A 1n 12L n
即 12L n A .
证明② 因为行列式
a11 a12 L
E A a21 a22 L
M
M
a1n a2n
M
an1 an2 L ann
它的展开式中，主对角线上元素的乘积
a11 a22 L ann
是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至
多含ｎ－２个主对角线上的元素，因此，特征多项式中
含 n 与 n1的项只能在主对角线上元素的乘积项中．
０或１．
３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则
2E 3A2 （ ）
４、求下列方阵的特征值与特征向量
2 1 1
A
0 4
2 1
0 3
3 1 1
B
7 6
5 6
1 2
四、特征向量的性质 定理 互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。 定理 互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征
向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。
6、标准正交基
若标准正交组 1, 2 ,L , r 为向量空间Ｖ上的一个基， 则称 1, 2 ,L , r 为向量空间Ｖ上的一个标准正交基.
7、施密特（Schmidt）正交化法
设 1,2 ,L ,r 是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空
间Ｖ的一个标准正交基，就是要找到一组两两正交的单
位向量 1, 2 ,L , r ，使 1, 2 ,L , r 与 1,2 ,L ,r等价，
x3 0 x3
1
3
0 1
.
1
例4
已知向量1
1 1
,
求R3的一个标准正交基.
解 设非零向量2 ,3都于 正1 交， 即满足方程1T x 0,
或 x1 x2 x3 0,
1 0
其基础解系为
1
0 1
,
2
11 .
1
1
0
令
1
11
,
2
1
0 1
,
3
2
11
.
1）正交化 1
k, k, （3）正定性： , 0, 当且仅当 0时 , 0.
推广性质：
k11 L krr , k1 1, L kr r ,
0, 0T 0
二、向量的长度与夹角 １、长度的概念
令 , a12 a22 L an2 为ｎ维向量α
的长度（模或范数）. 特别 长度为１的向量称为单位向量.
则称Ａ为正交矩阵.
若Ａ按列分块表示为Ａ＝ (1,2 ,L ,n ), 则AT A E
可表示为
1T
T 2
M
1
2
L
1
n
E
1 O
,
T n
1
亦即 (iT j )nn ( ij )nn
1 if i j
其中 ( ij )nn 0 if i j (i, j 1, 2,L , n).
故有 E A n a11 a22 L ann n1 L
比较①，有 1 2 L n a11 a22 L ann .
定义 方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.
记为 tr A aii i .
二、特征值和特征向量的性质
推论１ ｎ阶方阵Ａ可逆Ａ的ｎ个特征值全不为零. 若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，
2, L
,
r
1
r
r ,
就得到Ｖ的一个标准正交向量组.
如果 1,2 ,L ,r是Ｖ的一组基，则 1, 2 ,L , r 就是 Ｖ的一组标准正交基.
上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.
注 上述方法中的两个向量组对任意的 1 k r, 1, 2 ,L , k 与 1,2 ,L ,k都是等价的.
推论２ 则 1为 A的1 特征值． 推论３ 则 k为 kA的特征值． 推论４ 则 A 1为 A的特征值． 推论５ 则 m 为 Am的特征值． 特别 单位阵Ｅ的一个特征值为１．
三、应用举例
１、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则
1 3
A2
1
的一个特征值为（ ）
２、证ｎ阶方阵Ａ的满足 A2 A，则Ａ的特征值为
推论 若ｎ阶矩阵Ａ与对角矩阵
1
diag(1,2 ,L
,n )
2
O
n
相似， 则 1,2 ,L ,n 就是Ａ的ｎ个特征值．
（7）Ａ∽Ｂ，则 Am ∽ Bm
（8）Ａ∽Ｂ，则Ａ的多项式 A ∽ B
特别 若有可逆矩阵Ｐ使 P 1 AP , 则 Ak P K P 1,
( A) P()P1.
定理 若ｎ阶矩阵Ａ的任 ti 重特征值 i 对应的线性无
关的特征向量的个数不超过 ti ．
一、定义
定义 设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ， 使得 P 1 AP B, 则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵 Ａ与Ｂ相似．
记作： Ａ∽Ｂ． 对Ａ进行运算P 1AP, 称为对Ａ进行相似变换， 可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵．
,
称实数
M M
an
bn
a1b1 a2b2 L anbn 为向量α与β的内积，记作 , .
注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有
, a1 a2 L
b1
an
b2
M
T
.
bn
２、性质
（1）对称性： , , （2）线性性： , , ,