穷举算法及解题

穷举算法及解题

穷举算法及解题

例12-1古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外），例如28的因子是1、

2、4、7、14，且1+2+4+7+14=28，则28是一个完全数，编写一个程序求2~1000内的所有完全数。问题分析

（1）本题是一个搜索问题，搜索范围2~1000，找出该范围内的完全数；（2）完全数必须满足的条件：因子的和等于该数的本身；

（3）问题关键在于将该数的因子一一寻找出来，并求出因子的和：分解因子的方法比较简单，采用循环完成分解因子和求因子的和。

程序如下：

program p12_1;

var a,b,s:integer;

begin

for a:=2to1000do

begin

s:=0;

for b:=1to a-1do

if a mod b=0then s:=s+b;

if a=s then begin

write(a,'=',1,);

for b:=2to a-1do

if a mod b=0then write('+',b);

writeln;

end;

end;

end.

当程序运行后,输出结果:

6=1+2+3

28=1+2+4+7+14

496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

例12-3

邮局发行一套票面有四种不同值的邮票,如果每封信所帖邮票张数不超过三枚,存在整数r,使得用不超过三枚的邮票,可以贴出连续的整数1、2、3、……、r来，找出这四种面值数，使得r值最大。

问题分析：本题则是

知道每封信邮票数的范围(<=3),邮票有四种类型，编程找出能使面值最

大邮票。其算法是：

(1)面值不同的四种邮票，每封信所贴邮票不超过3张；

(2)用这四种邮票贴出连续的整数，并且使r值最大；

(3)用穷举法，找出所有符合条件的解；

(4)本题用集合的方法统计邮票的面值，提高判重的速度。设四种邮票的面值分别为：a,b,c,d,根据题意设：

a<b<c<d,因此a=1,用循环语句完成搜索。Program p12-3;

Var a,b,c,d:integer;

X,x0,x1,x2,x3,x4:integer;

st1:set of1..100;

function number(a,b,c,d:integer):integer;

var n1,n2,n3,n4,sum:integer;

begin

st1:=[];

for n1:=0to3do

for n2:=0to3-n1do

for n3:=0to3-n1-n2do

for n4:=0to3-n1-n2-n3do

begin

if n1+n2+n3+n4<=3then

begin

sum:=n1*a+n2*b+n3*c+n4*d;

st1:=st1+[sum];

end;

end;

sum:=1;

while sum in st1do

sum:=sum+1;

number:=sum-1;

end;

begin

a:=1;x0:=0;

for b:=a+1to3*a+1do

for c:=b+1to3*b+1do

for d:=c+1to3*c+1do

begin

x:=number(a,b,c,d);

if x>x0then

begin

x0:=x;x1:=a;x2:=b;x3:=c;x4:=d;

write(x1:5,x2:5,x3:5,x4:5);

writeln(‘’:10,’x0=’,x0);

end;

end;

end.

程序运行后，其输出结果是：

1234x0=12

1235x0=13

13610x0=23

1478x0=24

穷举法编程练习题目：

1、有一群鸡和一群兔，它们的只数相同，它们的脚数都是三位数，且这两个三位数的数字分别是0，1，2，3，4，5。问鸡和兔的只数各是多少？它们的脚数各是多少？-穷举法

2、有一个三位数，个位数字比百位数字大，而百位数字又比十位数字大，并且各位数字之和等于各位数字相乘之积，求此三位数。

分析：如果以A、B、C分别表示这个三位数的百位、十位和个位数字，由题意知B<A<C，由此做穷举

3、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅，蝉有6条腿和1对翅。三种

虫子共18共，共有118条腿和20对翅。问每种虫子各几只？

4、甲、乙两数的和为168，甲数的八分之一与乙数的四分之三的和为76，求甲、乙两数各是多少？

5、我国古代数学问题：1兔换2鸡，2兔换3鸭，5兔换7鹅。某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只，问其中鸡、鸭、鹅各几只？源程序：鸡兔问题：用穷举法，找出满足条件的鸡的脚数和兔的脚数，

其鸡的脚数百十个位上分别为a,b,c，其兔的脚数百十个位上分别为d,e,f，鸡的只数为x,兔的只数为y.为了减少循环判断的次数，我们把0-5各位数字都加上1变成1-6，所以在由各位数字组成脚数x,y时需要减去111。program jitu;

var

a,b,c,d,e,f,x,y:integer;

begin

for a:=2to6do

for b:=1to6do

for c:=1to6do

for d:=2to6do

for e:=1to6do

begin

f:=21-a-b-c-d-e;

if a*b*c*d*e*f=720then

begin

x:=100*a+10*b+c-111;

y:=100*d+10*e+f-111;

if(2*x=y)and(x/2=trunc(x/2))then

writeln(x div2,'',x,'',y)

end;

end;

end.

数字问题：分析：如果以A、B、C分别表示这个三位数的百位、十位和个位数字，由题意知B<A<C，由此做穷举program geshibai; var

a,b,c:integer;

begin

for b:=1to7do

for a:=b+1to8do

for c:=a+1to9do

if a+b+c=a*b*c then

writeln(a*100+b*1

0+c);

end.program zhizhu;

var

x,y,z:integer;

begin

for x:=1to16do

for y:=1to16do

begin

z:=18-x-y;

if(8*x+6*y+6*z=118)and(2*y+z=20)then writeln(x,'',y,'',z); end;

end.program n1n2;

var

x,y:integer;

begin

for x:=1to168do

begin

y:=168-x;

if x/8+y*3/4=76then

writeln(x,'',y);

end;

end.program jtye;

var

x,y,z:integer;

begin

for x:=7to28do

for y:=3to30-x do

begin

z:=30-x-y;

if x/2+y/3*2+z/7*5=20then writeln(x,'',y,'',z); end;

end.