经济数学方法与模型教学PPT课件-第五章 匈牙利法与最佳指派问题

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1
0
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5
1

3

3 1 1 0 0 3 1 1

0
8 12 7 10

8 12
7 10
11 0 0 7 8 11 7 8

0 4 6 3 0 4 6 3 4 6 3
当目标函数为：
nn
max z
cij xij
i1 j1
时，记 M max 1i, jn
cij
bij M cij i, j 1,2,, n
得到一新矩阵
bij

nn
．由最优解的性质知，以
cij

nn
为价值
系数矩阵的指派问题与以
bij

nn
为价值系数矩阵的指派问
bij

nn
中，我们关心位于不同行不同列的0元素，以下简称
为独立0元素，若能在系数矩阵中得到n个独立的0元素，
则令解矩阵中对应这n个独立0元素的变量取值为1，其它
变量取值为0，就可以得到原指派问题的最优解．
2、关于矩阵中0元素的定理
系数矩阵中独立0元素的最多个数等于能覆盖所有0 元素的最少直线数．
情况二：存在未标记的0元素，但它们所在行和列中 ，未标记的0元素均至少有2个．
情况三：不存在未标记的0元素，但△的个数m<n.
4、如果情况一出现，则得一完整的最优分配方案， 可停止计算；如果情况二出现，可标记△到任何一个0元 素上，再将其同行、同列的其它0元素上标记，然后返回 步骤“第二步1”；如果情况三出现，则转到“第三步”。
mn
mn
1、m n
（1）m n 且 n项任务又都必须完成时：此时，必有 某个（些）人完成一项以上的任务，这类问题可按例2的 方法处理．
例2 有三人分配去完成四项任务，且四项任务都必 须完成，假定每个人至多完成2项任务．试求使完成任务 的总时间为最少的分配方案．
第五章 匈牙利法与 最佳指派问题
什么是最佳指派问题？
最佳指派（或分配）问题是经济计划工作中经常遇到
的一个问题．比如，当某一个部门或某一个企业的生产任 务已经确定，如何分配给它们所属的单位，使得完成这些 任务所需费用最小（或效益最大）．分配问题是较简单的 线性规划问题，也是运输问题的一个特例，当然可以用线 性规划的单纯形法加以求解．然而，使用本章介绍的方法 ——匈牙利法去求解，效果会更好，该方法的得名是因为
2、进行列检验 与行检验类似，从第一列开始逐列检查，当遇到只 含有一个未标记的0元素的一列时，就在该0元素上标记 △，并在该0元素所在行的其它0元素上标记 ． 重复上述列检验，直到每一列都没有未标记的0元素 或至少有两个未标记的0元素时为止．
3、反复进行1、2直到下列三种情况之一出现：
情况一：每一行均标记有△，令△的个数为m，则有 m=n．
匈牙利数学家狄·考尼格（D·Konig）为发展这个方法证
明了主要定理．
本章主要内容
第一节 最佳指派问题的线性规划模型 第二节 标准指派问题的匈牙利法 第三节 非标准指派问题
第一节 最佳指派问题的LP模型
例1 有一份资料需从汉语译成英、日、俄三种文字
，现有A、B、C三人，每人需完成且只完成其中的一种

5
5
1
0 3

5
5
1

3


5
5
1

3


5 1 1 0 0 5 1 1 5 1 1

0
6 10
5 8


6 10
5
8



6 10
5
8


13 0 0 7 8 13 7 8 13 7 8
7 2 2

4
3


8 3 5 3
11 8


4

4 1 4
情况一出现，即得到了最优解，其相应的解矩阵为：
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
xij
1
0
0
0
0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
由此得知最优指派方案为甲完成任务B，乙完成任务
C，丙完成任务A，丁完成任务D，戊完成任务E，最少时
间为
min z 7 6 7 6 6 32
而总的最少时间为32天．
当然，由于方法中的第二步4中的情况二的出现，造成 指派问题的最优解常常是不唯一的，但不同最优解的 最优值总是相同的．
本例经过反复的行、列检验后得到如下矩阵：
5 2 2

2
3
10 5 7 5

9
8


4

6 3 6 2
情况三出现，亦即未得到完全分配方案，求解过程 按以下步骤继续进行。
第三步：作最少的直线覆盖当前所有0元素（包括标 记上△和 的）
1．对所有不含△的行的右侧打√号； 2．对已打√号的行中含有 元素的列的下侧打√号 3．对已打√号的列中含有△的行的右侧打√号； 4、重复上述步骤“第三步2”“第三步3”，直到不 能进一步打√为止； 5、对没打√号的每一行画一横线，而对于已打√号 的每列画一纵线，即得到覆盖当前所有0元素的最少直线。
12 7 9 7 9 7

8
9
6
6
6

6
Cij
nn

7 15
17 14
12 6
14 6
12 7 10 6
4 10 7 10 6 4
5 0 2 0 2

2 0
3 10
0 5
0 7
0 5
9 8 0 0 4
0 6 3 6 2
题同时达到最优，且有相同的最优解．经过上述转换，
即可将极大化问题变为极小化问题．
二、价值系数矩阵中存在负元素
若价值系数矩阵 的第 cij nn i行（或第 列j ）存在负元
素，则第 i行（或第 j列）每个元素都减去该行的最小元
素，即可使价值系数矩阵 cij nn满足非负条件，然后可以用
将矩阵中标记的△、还原为0，去掉√及直线，返 回“第二步”对矩阵进行行、列检验．
本例中，未被任何直线覆盖过的各元素中的最小元 素为2，将第3、5行各元素分别减去2，将第一列各元素分 别都加上2，并将矩阵中标记的△、 还原为0，去掉√及 直线由此得到如下矩阵 ：
7 0 2 0 2

4
3
0 0 1 0 0
xij
0
0
0
1
0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
最优值为：
min z (1) 2 2 (5) (2) 4
三、价值系数矩阵不是方阵
若记人员（或设备）数为m ，任务（或加工件）数 为n ，所谓价值系数矩阵不是方阵，即 m n，此时，需 分情况讨论：
工作．因各人对不同文字的熟悉程度不一样，所需工作 时间（单位：天）也不同（见下表）．问应指派哪一个 人去完成哪一项工作才能使花费的总时间最短？
解：对于某个人来讲，要么做某项工作，比如“译 英”要么不做，二者必居其一，换句话说，每个人与每 项工作之间只有两种状态：“做”或“不做”为此我们 设变量：
1 , xij 0 ,
第二步：进行试指派，以寻求最优解 1．进行行检验 从第一行开始逐行检查，当遇到只含有一个未标记 的0元素的一行时，就在该0元素上标记符号△，这表示 分配△所在行的那个人担任△所在列的那个任务．然后 在该0元素所在列的其它0元素上标记 ，以免对此任务 再进行分配． 重复上述行检验，直到每一行都没有未标记的0元素 或至少有两个未标记的0元素时为止．
匈牙利法求解．
例1 求价值系数矩阵为如下所示的指派问题的最小 解．
3 4 5 2 1

4
cij
5
7 4
5 4
2
1
4

3 2 2
7
2
5

8 2 3 4 5
解：
3 4 5 2 1 3 0 7 8 5 2

4
7
2
1
x1 1 x1 2

x21 x22

x3 1 x3 2
1 1
x13 x23 x33 1
上述6个方程以及xij 为0-1变量就构成了本问题的约束 条件，而目标为所消耗的总时间最少，因而目标函数为：
min z 2x11 15x12 13x13 10x21 4x22 14x23 9x31 14x32 16x33
二、匈牙利法的求解步骤
例1 有5个人去完成5项任务．每个人只能完成1项任 务，每项任务也只能由1个人完成，价值系数矩阵如下表 所示（单位：天）．问如何分配才能使完成任务的总时 间最少？
第一步：变换价值系数矩阵，使各行各列都出现0元 素
1、将系数矩阵的每行都减去本行的最小元素； 2、将上步所得新的价值系数矩阵的每列都减去本列 的最小元素．
第三节 非标准指派问题
前一节的匈牙利法只适用于目标函数为极小、价值 系数矩阵为方阵且价值系数矩阵中元素均为非负的情况。 当指派问题不满足上述三个条件时，就应先化成标准的 指派问题，然后再用匈牙利法求解．
非标准指派问题：
目标函数为求极大值的问题 价值系数矩阵中存在负元素 价值系数矩阵不是方阵
一、目标函数为求极大值的问题


0 3 5 3 0 3 5 3

5
4 0 0 3

5
4


3

5 0 0 0 0 5

0
5
9
5 8


5
9
5
8

14 0 0 8 9 14 8 9
于是最优解为：
0 0 0 0 1
一行（或某一列）的各个元素都减去一个常数 k（k可为
正，也可为负），得到矩阵
bij nn．那么以
bij

nn
为价值系
数矩阵的新的指派问题的最优解与原指派问题的最优解
相同，但其最优值比原来减小 k．
利用上述性质，可使原价值系数矩阵变为含有很多0
元素的新系数矩阵，而其最优解保持不变，在系数矩阵
4

1

3
6
1
0
3

cij
5 5
4 4
3 2 2 2 3 2 1 0 0
7
2
5

5

0
9 12
7 10
Fra Baidu bibliotek
8 2 3 4 5 3 11 1 0 7 8
1
0 6 8 5 2 6 8 5 2

（5.1.1）
其中 cij为第 i个人完成第项任务所消耗的资源（一般指时
间或费用等），称之为价值系数．
此模型称为指派问题的标准形式。
第二节 标准指派问题的匈牙利法
匈牙利法的基本原理 匈牙利法的求解步骤
一、匈牙利法的基本原理
1、指派问题最优解的性质
假设
cij

nn
是指派问题的价值系数矩阵，现将它的某
这是依本例实际问题而建立的线性规划模型．
一般地，当指派n个人去完成n项任务时，其数学模
型如下：
nn
min z
cij xij
i1 j1
n

xij 1
(i 1,2,,n)
j1
s.t.
n
xij 1
( j 1,2,,n)
i1


xij 0或1
0
0
0
0 8 3 5 3


11 8 0 0 4
0 4 1 4 0
返回“第二步”对矩阵进行行、列检验．得到如下 矩阵．
7 2 2

4
3
0
0

8 3 5 3
11 8 0
0
4

4 1 4
情况二出现．此时可以在四个0元素中任取一个，比 如第2行第3列的元素进行标记，然后将其所在行、列的 其它0元素上标记，再重新进行检验给第4行第4列的0元素 标记△．于是得到：
本例题中，给第2步所得矩阵的第5行打√号，再给 第1列打√号，然后给第3行打√号．分别对该矩阵的第1、 2、4行画一横线，而对第1列画一纵线．即得到覆盖当前 所有0元素的最少直线．此矩阵如下：
第四步：对上步所得矩阵进行变换，以增加其0元 素．
从没被任何直线覆盖的各元素中找出最小元素，逐 个将打√号的行的各元素都减去这个最小元素，而打√ 号的列的各元素都加上这个元素，以保证打√号的行中 的0元素不变为负值而仍为0元素．
第 j 项工作由第 i 人完成 第 j 项工作不由第 i 人完成
此时 xij 称为0-1变量．
由于每个人只能完成一项工作，因而有：

x1 1 x21

x1 2 x22

x1 3 x23
1 1
x31 x32 x33 1
又由于每项工作只能由一个人完成，因而又有：