两立体相贯

位于回转面的轴线时，其交线才是圆。
两回转面的轴线相交。因为用两轴线的交点作为球心，才能保
证球心同时位于两回转面的轴线上。
例：求轴线正交的两圆锥台的相贯线。
三、
立 体 的 投 影
例：求轴线正交的两圆锥台的相贯线。
三、
用辅助平面法求水平 一般辅助球面求一般点 求特殊位置点 最大辅助球面 最小辅助球面 转向轮廓线上的点
三、 辅助
平面
立 体 的 投 影
判断可见性，整理轮廓
例：如图所示，已知立体的正面投影和水平投影，求作 侧面投影。
三、
立 体 的 投 影
分析： 1，立体空间位置分析； 四棱柱的内部被两个相互垂直的 三棱柱穿过。垂直的三棱柱通孔 由两个铅垂面和一个正平面组成， 水平的三棱柱通孔由两个正垂面 和一个水平面组成。
求相贯线的投影：
1，表面取点法 例：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
三、
立 体 的 投 影
1，表面取点法 例：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
三、
2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 7” 1’ 1”
2”
3”
立 体 的 投 影
4”
6”
5”
1 7 2 6 3 4 5
1，表面取点法 思考题：补全主视图。
三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 3，辅助球面法
立 体 的 投 影
原则：
使辅助面与两已知曲面所截出交线的投影时 简单易画的圆或直线。
一般采用平行或垂直于圆柱轴线的辅助平面 一般采用垂直于圆锥轴线或过锥顶的辅助平面
圆柱体
圆锥体 圆球体
一般采用平行于投影面的辅助平面 它们轴线相交且同时平行于某投影面时， 可选球面作辅助面
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 3，辅助球面法
立 体 的 投 影
用辅助球面法求二曲面立体相贯线的方法。
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 3，辅助球面法
立 体 的 投 影
以两轴线的交点为圆心， 适当半径作圆。则此球 面与两圆柱面的交线都 为圆，它们的交点是大、 小圆柱面与球面的三面 共点。
立 体 的 投 影
例：求圆锥、圆柱的相贯线。 最 大 辅 助 球 面
三、
立 体 的 投 影
辅 助 球 面
例：求圆锥、圆柱的相贯线。 最 小 辅 助 球 面
三、
立 体 的 投 影
例：求圆锥、圆柱的相贯线。
三、
立 体 的 投 影
再作一个辅助球面
例：求圆锥、圆柱的相贯线。
三、
立 体 的 投 影
§ 3-5 两立体相贯 三、
例：如图所示，求正六棱柱与圆锥的相贯线。
三、
立 体 的 投 影
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交
立 体 的 投 影
两曲面立体的相贯线，在一般情况下是封闭的空 间曲线，在特殊情况下可能是平面曲线或直线。 相贯线上的点是两曲面立体表面上的共有点。
相贯线的三种基本形式
1、两外表面相交
立 体 的 投 影
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 相贯线的特殊情况
立 体 的 投 影
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 相贯线的特殊情况
立 体 的 投 影
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 相贯线的特殊情况

立 体 的 投 影
第三章 立体的投影
§ 3-1 三、
平面立体的投影及其点、线
§ 3-2
§ 3-3 § 3-4 § 3-5 § 3-6
曲面立体的投影及其点、线
平面与平面立体相交 平面与曲面立体相交 两立体相贯 同坡屋面的交线
立 体 的 投 影
§ 3-5 两立体相贯 三、
立 体 的 投 影
两立体相交，亦称两立体相贯，它们的表面交线称 为相贯线。
常用的辅助平面为投影面的平 行面或垂直面，要使辅助平面 与两立体表面交线的投影为直 线或圆。
2，辅助平面法
三、
当圆柱与圆柱的轴线斜交时，选用正平面做辅助面，其截交线均 为矩形；
立 体 的 投 影
2，辅助平面法
三、
当圆柱与圆锥相交，且轴线相互平行时，可选用水平面为辅助面， 两截交线都是水平圆；
立 体 的 投 影
立 体 的 投 影
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-2 平面立体与曲面立体表面相交 例：如图所示，求正六棱柱与圆锥的相贯线。
立 体 的 投 影
分析： 六棱柱的六个棱面与圆锥的截交线都 是双曲线，所以此相贯线是六段相同 的双曲线组成的封闭空间曲线，其水 平投影与六边形重合，则只需求出其 正面投影。 此外，正六棱柱的顶面与圆锥相交的 截交线为一圆，其正面投影积聚成一 条线，水平投影为圆。
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 1，表面取点法
立 体 的 投 影
1，表面取点法 例：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
三、
立 体 的 投 影
1，表面取点法 例：圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。
三、
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立 体 的 投 影
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空间及投影分析： 小圆柱轴线垂直于H面， 利用积聚性，采用表面取点法。 水平投影积聚为圆，根据相贯线 的共有性，相贯线的水平投影即 1, 找特殊点 为该圆。大圆柱轴线垂直于 W面， 2, 补充中间点 侧面投影积聚为圆，相贯线的侧 3, 光滑连接 面投影在该圆上。
2，辅助平面法
求中间点的作图方法
三、
立 体 的 投 影
假想用辅助平面截切 两回转体，分别得出两 回转体表面的截交线。 由于两截交线的交 点，就是两回转体表面 上的交点，因而是相贯 线上的点。
2，辅助平面法
三、
例：求轴线斜交的两圆柱的相贯线。
立 体 的 投 影
分析： 两圆柱的轴线相交且 都平行于V面，小圆 柱的全部素线均与大 圆柱相交。大圆柱的 侧面投影具有积聚性， 相贯线的侧面投影积 聚在大、小圆柱投影 投影的一段圆弧上。 若采用正平面作辅助 平面，则其交线为两 组平行线。
2，辅助平面法
三、
立 体 的 投 影
1)求特殊点
2，辅助平面法
三、
立 体 的 投 影
2)求一般点
2，辅助平面法 例 ：圆柱与圆锥相贯，求其相贯线的投影。
三、
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立 体 的 投 影
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● ◆ 空间及投影分析： ● 相贯线 为一光滑的封闭的空间曲线。 ● P 它的侧面投影有积聚性，正面 投影、水平投影没有积聚性， 应分别求出。
1，表面取点法
三、
素线法 纬圆法
立 体 的 投 影
先作出转向轮廓线 上的这些特殊点.
表面取一般点用素线法
或纬圆法作出该点投影.
1，表面取点法
三、
立 体 的 投 影
1，表面取点法
三、
立 体 的 投 影
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 2，辅助平面法
立 体 的 投 影
根据三面共点的原理，利用辅 助平面求出两回转体表面上的 若干共有点，从而画出相贯线 的投影。
轴线斜交的两圆柱的正投影
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 3，辅助球面法
立 体 的 投 影
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 3，辅助球面法
立 体 的 投 影
用定心辅助球面法求两曲面立体的相贯线时，应符合： 相交两曲面都是回转面。因为回转面与球面相交，只有当球心
组合起来，即可得到相贯线。
求出一平面立体的所有棱线（或底面边线）与另一
平面立体的表面交点（即贯穿点），并按空间关系依 次连成相贯线。
注意：只有既在A立体的同一棱面上，同时又在B立体的 同一棱面上的两点才能相连；同一棱线上的两个贯穿点 不能相连。
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-1 两平面立体表面相交 例：如图所示，已知四棱柱和四棱锥相交，求作相贯线。
◆ 两内表面相贯
1，表面取点法 思考题：补全主视图。
三、
立 体 的 投 影
小 结：无论是两外表面
相贯，还是一内表面和一 外表面相贯，或者两内表 面相贯，求相贯线的方法 和思路是一样的。
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 1，表面取点法 素线法
立 体 的 投 影
纬圆法
先求出转向轮廓线 上的特殊点； 表面取一般点，用 素线法或纬圆法求 出其投影。
辅助平面法
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 1，表面取点法
立 体 的 投 影
两曲面立体相交，如果其中一个立体的表面有一个投 影有积聚性，这就表明相贯线的这个投影为已知，可 以利用曲面上点的一个投影，通过作辅助线求其余投 影的方法，找出相同投影面上各点的其余投影。 如果有两个投影具有积聚性，即相贯线的两个投影为 已知，则可利用已知点的二面投影求第三面投影的方 法，求出相贯线上点的第三投影。 充分利用曲面立体表面投影的积聚性
立 体 的 投 影
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★ 外形交线 1，分析空间结构 首先，可判断有横竖两个圆柱体相交。 ◆ 两外表面相贯 横着的圆柱体被一个小圆柱体内穿； ◆ 一内表面和一外表面相贯 竖着的圆柱体被一个小圆柱体内穿。 并且两个大圆柱体直径相等。两个小 ★ 内形交线 圆柱体中，竖着的直径更大。
例：如图所示，已知立体的正面投影和水平投影，求作 侧面投影。
三、
立 体 的 投 影
可以看作一空心四棱柱 （中空为三棱柱）被一个 三棱柱横穿。则可以求出 横穿的三棱柱与空心四棱 柱内外各棱面的交线。
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-2 平面立体与曲面立体表面相交 平面立体与曲面立体表面相交，其相贯线一般是由若干 段平面曲线或由平面曲线和直线组成的封闭线。 每一段平面曲线（或直线段）是平面立体上一平面与曲 面立体的表面相交而得的截交线。 平面与曲面立体相交 正六棱柱各棱面与圆锥面相交。每两 条平面曲线的交点是棱线与曲面的交 点（贯穿点），也是相贯线上的结合 点（三面共点）。 求截交线与贯穿点
平面与平面立体相交 折线的各直线段是两平面立 体的相应平面的交线，折线 的各顶点是一个平面立体的 棱线（或底面边线）与另一 平面立体的贯穿点（即直线 与立体表面的共有点）
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-1 两平面立体表面相交 求两平面立体相贯线的方法：
立 体 的 投 影
求出一平面立体上各平面与另一平面立体的截交线，
2，辅助平面法
三、
例：求圆锥台与半球的相贯线。
先作出转向轮 用辅助平面法 用辅助平面 光滑连接各点 廓线上的特殊 作出左视转向 法补充中间 点. 轮廓线上的点
立 体 的 投 影
2，辅助平面法
例：求圆锥台与圆柱的相贯线。
三、
立 体 的 投 影
圆柱主视转向轮廓线上的点 圆锥主视转向轮廓线上的点 圆柱左视转向轮廓线上的点 圆锥左视转向轮廓线上的点 相贯线上最高和最低的点
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 相贯线的三种基本形式
立 体 的 投 影
2、外表面与内表面相交
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 相贯线的三种基本形式
立 体 的 投 影
3、两内表面相交
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 相贯线的特殊情况
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 相贯线的特殊情况
立 体 的 投 影
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-3 两曲面立体表面相交 相贯线的求法
立 体 的 投 影
求出两曲面立体表面的共有点，然后依次连接。
相贯线上共有点的基本求法：
1，表面取点法——利用曲面的积聚投影法 2，辅助平面法 3，辅助球面法
立 体 的 投 影
分析： 1，立体空间位置分析； 正四棱柱的四个棱面均垂直于V 面，其正面投影具有积聚性， 与SA、SC不相交，故四棱柱全 部贯穿正四棱锥。有前后两个 相贯口。相贯线为各个棱面与 棱锥棱面的交线，也是四棱柱 各棱线与棱锥各棱面的交点的 连线。
例：如图所示，已知四棱柱和四棱锥相交，求作相贯线。
★解题步骤一：求特殊点 ★解题步骤二： 用辅助平面法求中间点 ★解题步骤三：光滑连接各点
2，辅助平面法
三、
例：求圆锥台与半球的相贯线。
分析： 对于半球，任何 投影面平行面均 可作为辅助面； 对于圆锥台，因 其轴线垂直于水 平面，故宜选水 平面或包含轴线 的正平面或侧平 面作为辅助平面
立 体 的 投 影
§ 3-5 两立体相贯 三、
相贯线的特点和性质： 相贯线是两立体表面的共有线； 相贯线在一般情况下都是封闭的。 平面立体 曲面立体
立 体 的 投 影
两平面立体相交 平面立体与曲面立体相交 两曲面立体相交
§ 3-5 两立体相贯 三、
3-5-1 两平面立体表面相交
立 体 的 投 影
两平面立体的相贯线一般是封闭的空间折线或平面多 边形。