第1章 算法概论(4-NP完全性理论)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
12
典型的NP完全问题：
部分NP完全问题树
13
“NP完全”（NP-Complete）问题，它的状 态是未知的，迄今为止，既没有人找出求解 NP完全问题的多项式算法，也没人能够证明 对这类问题不存在多项式时间算法。
P≠NP问题，自1971年提出以后，已经成为 理论计算机科学研究领域中，最深奥和最错综 复杂的开放问题之一了。
4
从表面上看，有些NP完全问题有着与多项式时 间算法的问题非常相似的特点，这很诱惑。 最短与最长简单路径：有向图G=(V,E)，单源最 短路径可在O(|V|2)时间内完成，但寻找两个顶 点间最长简单路径（无重复顶点）问题是NP完 全的。
P类包含的是用一个确定性算法在多项式时间内可解 或判定的问题，即可在O(nk)时间内求解。大部分问题 都属P类。
6
探讨这样三类问题：P、NP、NPC（NP 完全问题）
NP类包含的是用一个确定性算法在多项式时间内“可 验证”的问题。
7
P中任何问题都属于NP，即
源自文库
P NP
但是否是真子集，目前还是一个开放问题。
欧拉游程和哈密顿回路：有向图G=(V,E)，欧拉 游程指一个回路，遍历途中每条边一次，但可 能不止一次的访问同一个顶点，这可在O(|E|)时 间内找到。哈密顿回路也是一个回路，包含V中 每个顶点。确定有向图是否存在哈密顿回路的 问题是NP完全的。
5
探讨这样三类问题：P、NP、NPC（NP 完全问题）
§1.3 NP完全性理论
1
如何理解问题的难解？易解？多 项式运行时间？
多项式的运行时间认为是易解算法，当然，你 认为θ(n100)难解，但次数如此高的多项式时 间问题非常少，且一般都会找到一个更有效的 多项式时间算法。 对很多合理计算模型来说，在一个模型上用多 项式时间可解的问题，在另一个模型上也可以 用多项式时间获得解决。
NPC类，称NP完全的(NP-complete)，属于NP的一个 最难的子类。如果一个问题属于NP，且与NP中任何 问题一样“难的”。
有宣称：如果任何NPC问题可以在多项式时间内解 决，则NP中所有问题都有一个多项式时间的算法，即 有P=NP了。
大多数认为，NP完全问题是难处理的，因为迄今为止 研究过的NP完全问题非常多，但还没有人将其中任何 问题在多项式时间内解决。不能证明！也无法排除！
哈密顿回路问题：NP完全的
图G中一条包含V中每
个顶点一次(除首尾顶点是重复了两次)的一条回路。 判定：图G是否存在哈密顿回路是NP完全的。
11
典型的NP完全问题：
旅行商问题：NP完全的 0-1整数规划问题：NP完全的 0-1背包问题：NP完全的 图的k着色问题：NP完全的 最长简单回路问题：NP完全的 图的独立集问题：NP完全的 子图同构问题：NP完全的 子集和问题：NP完全的 集合划分问题：NP完全的 带收益和完工期限的调度问题：NP完全的 ……（已证明的NP完全问题已有上千个之多了）
10
典型的NP完全问题：
团问题：NP完全的
团是无向图G=(V,E)的一个完全
子图，团的规模为其顶点数。判定：图中是否存在一 个给定规模为k的团是NP完全的。
顶点覆盖问题：NP完全的
G的顶点覆盖是覆盖E中
所有边的顶点组成的集合，顶点覆盖规模即指它包含 的顶点数。判定：图中是否存在给定规模为k的顶点覆 盖，或确定具有最小规模的顶点覆盖都是NP完全的。
9
典型的NP完全问题：
NP完全问题产生于不同领域：布尔逻辑、图论、算 术、网络设计、集合与划分、存储与检索、排序与调 度、代数与数论、游戏与趣味难题、自动机与语言理 论、程序优化、生物学、化学、物理学……等等。
第一个NP完全问题：布尔表达式的可满足性问题。即 Cook定理：给定一个由与、或和非门构成的布尔组合 电路，判断它是可满足电路吗？ 布尔表达式的可满足性问题SAT是NP完全的。基 于SAT，逐渐地生成一棵以SAT为树根的NP完全问题 树，其中每个节点代表一个NP完全问题，该问题可在 多项式时间内变换为其任意子节点表示的问题。目 前，这颗树已有几千个节点，且在继续生长。
2
如何理解问题的难解？易解？多 项式运行时间？
多项式时间可解问题类具有很好的封闭性。比 如一个多项式时间算法输出给另一个多项式时 间算法作为输入，或被另一个多项式时间算法 作为子程序常数次调用，这样的组合算法运行 时间也都是多项式的。
3
一般来说，将可由多项式时间算法求解的问题 看成易处理的问题，而把需要超多项式时间才 能解决的问题看作难处理问题。
P NP ?
直觉上，NP应该不属于P，因为P类问题可认为在多 项式时间内被“确定性图灵机(DTM)”求解，NP类可 认为在多项式时间内被“非确定性图灵机(NDTM)” 求解，而NDTM比DTM强大很多。我们都很难想象一 个强大很多的机器所能求解的问题可以被功能更弱的 机器解决。
8
探讨这样三类问题：P、NP、NPC（NP 完全问题）
典型的NP完全问题：
部分NP完全问题树
13
“NP完全”（NP-Complete）问题，它的状 态是未知的，迄今为止，既没有人找出求解 NP完全问题的多项式算法，也没人能够证明 对这类问题不存在多项式时间算法。
P≠NP问题，自1971年提出以后，已经成为 理论计算机科学研究领域中，最深奥和最错综 复杂的开放问题之一了。
4
从表面上看，有些NP完全问题有着与多项式时 间算法的问题非常相似的特点，这很诱惑。 最短与最长简单路径：有向图G=(V,E)，单源最 短路径可在O(|V|2)时间内完成，但寻找两个顶 点间最长简单路径（无重复顶点）问题是NP完 全的。
P类包含的是用一个确定性算法在多项式时间内可解 或判定的问题，即可在O(nk)时间内求解。大部分问题 都属P类。
6
探讨这样三类问题：P、NP、NPC（NP 完全问题）
NP类包含的是用一个确定性算法在多项式时间内“可 验证”的问题。
7
P中任何问题都属于NP，即
源自文库
P NP
但是否是真子集，目前还是一个开放问题。
欧拉游程和哈密顿回路：有向图G=(V,E)，欧拉 游程指一个回路，遍历途中每条边一次，但可 能不止一次的访问同一个顶点，这可在O(|E|)时 间内找到。哈密顿回路也是一个回路，包含V中 每个顶点。确定有向图是否存在哈密顿回路的 问题是NP完全的。
5
探讨这样三类问题：P、NP、NPC（NP 完全问题）
§1.3 NP完全性理论
1
如何理解问题的难解？易解？多 项式运行时间？
多项式的运行时间认为是易解算法，当然，你 认为θ(n100)难解，但次数如此高的多项式时 间问题非常少，且一般都会找到一个更有效的 多项式时间算法。 对很多合理计算模型来说，在一个模型上用多 项式时间可解的问题，在另一个模型上也可以 用多项式时间获得解决。
NPC类，称NP完全的(NP-complete)，属于NP的一个 最难的子类。如果一个问题属于NP，且与NP中任何 问题一样“难的”。
有宣称：如果任何NPC问题可以在多项式时间内解 决，则NP中所有问题都有一个多项式时间的算法，即 有P=NP了。
大多数认为，NP完全问题是难处理的，因为迄今为止 研究过的NP完全问题非常多，但还没有人将其中任何 问题在多项式时间内解决。不能证明！也无法排除！
哈密顿回路问题：NP完全的
图G中一条包含V中每
个顶点一次(除首尾顶点是重复了两次)的一条回路。 判定：图G是否存在哈密顿回路是NP完全的。
11
典型的NP完全问题：
旅行商问题：NP完全的 0-1整数规划问题：NP完全的 0-1背包问题：NP完全的 图的k着色问题：NP完全的 最长简单回路问题：NP完全的 图的独立集问题：NP完全的 子图同构问题：NP完全的 子集和问题：NP完全的 集合划分问题：NP完全的 带收益和完工期限的调度问题：NP完全的 ……（已证明的NP完全问题已有上千个之多了）
10
典型的NP完全问题：
团问题：NP完全的
团是无向图G=(V,E)的一个完全
子图，团的规模为其顶点数。判定：图中是否存在一 个给定规模为k的团是NP完全的。
顶点覆盖问题：NP完全的
G的顶点覆盖是覆盖E中
所有边的顶点组成的集合，顶点覆盖规模即指它包含 的顶点数。判定：图中是否存在给定规模为k的顶点覆 盖，或确定具有最小规模的顶点覆盖都是NP完全的。
9
典型的NP完全问题：
NP完全问题产生于不同领域：布尔逻辑、图论、算 术、网络设计、集合与划分、存储与检索、排序与调 度、代数与数论、游戏与趣味难题、自动机与语言理 论、程序优化、生物学、化学、物理学……等等。
第一个NP完全问题：布尔表达式的可满足性问题。即 Cook定理：给定一个由与、或和非门构成的布尔组合 电路，判断它是可满足电路吗？ 布尔表达式的可满足性问题SAT是NP完全的。基 于SAT，逐渐地生成一棵以SAT为树根的NP完全问题 树，其中每个节点代表一个NP完全问题，该问题可在 多项式时间内变换为其任意子节点表示的问题。目 前，这颗树已有几千个节点，且在继续生长。
2
如何理解问题的难解？易解？多 项式运行时间？
多项式时间可解问题类具有很好的封闭性。比 如一个多项式时间算法输出给另一个多项式时 间算法作为输入，或被另一个多项式时间算法 作为子程序常数次调用，这样的组合算法运行 时间也都是多项式的。
3
一般来说，将可由多项式时间算法求解的问题 看成易处理的问题，而把需要超多项式时间才 能解决的问题看作难处理问题。
P NP ?
直觉上，NP应该不属于P，因为P类问题可认为在多 项式时间内被“确定性图灵机(DTM)”求解，NP类可 认为在多项式时间内被“非确定性图灵机(NDTM)” 求解，而NDTM比DTM强大很多。我们都很难想象一 个强大很多的机器所能求解的问题可以被功能更弱的 机器解决。
8
探讨这样三类问题：P、NP、NPC（NP 完全问题）