数列基础知识归纳

必修5 数列础知识归纳

一、数列的有关概念：

1．数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列．

(1) 数列中的每个数都叫这个数列的项．记作a n ，在数列第一个位置的项叫第1项(或

首项)，在第二个位置的叫第2项，…，序号为n 的项叫第n 项(也叫通项)，记作a n ．

(2) 数列的一般形式：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记作{a n }．

2．通项公式的定义：如果数列{a n }的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这

个公式就叫这个数列的通项公式．

说明：(1) {a n }表示数列，a n 表示数列中的第n 项，a n = f (n )表示数列的通项公式；

(2) 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一．例如，a n = (- 1)n =1,21()1,2n k k n k -=-⎧∈⎨=⎩

Z ； (3) 不是每个数列都有通项公式．例如，1，1.4，1.41，1.414，…．

(4) 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数f (n )，

当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值f (1)，f (2)，f (3)，…，f (n )，…．通

常用a n 来代替f (n )，其图象是一群孤立的点．

3．数列的分类：

(1) 按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；

(2) 按数列项与项之间的大小关系分：单调数列(递增数列、递减数列)、常数列和摆动

数列．

4．递推公式的定义：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项

a n - 1 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

5．数列{a n }的前n 项和的定义：S n = a 1 + a 2 + a 3 + … +a n =1n

k k a =∑称为数列{a n }的前n 项和．要

理解S n 与a n 之间的关系．

6．等差数列的定义：

一般地，如果一个数列从第．2．项起．．，每一项与它的前一项的差等于同一个常数．．

，那么数 列

数列的概念 数列的定义

数列的分类

数列的性质

等差数列与等比数列 等差数列与等比数列的概念

等差数列与等比数列的性质

等差数列与等比数列的基本运算

数列的求和

倒序相加

错位相减

裂项相消

其他方法

数列应用

这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．

即：{a n }为等比数列⇔ a n + 1 - a n = d ⇔ 2a n + 1 = a n + a n + 2 ⇔ a n = kn + b ⇔ S n = An 2 + Bn ．

7．等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第．2．项起．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．

，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．公比通常用字母q 表示(q ≠ 0)，即：{a n }为等比数列⇔ a n + 1 ：a n = q (q ≠ 0) ⇔212n n n a a a ++=．

注意条件“从第2项起”、“常数”q ．由定义可知：等比数列的公比和项都不为零． 二、等差、等比数列的性质：

等差数列(AP ) 等比数列(GP )

通项公式 a n = a 1 + (n - 1)d

a n = a 1q n - 1 (a 1 ≠ 0，q ≠ 0) 前n 项和 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 11,1,(1), 1.1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩

性质 ①a n = a m + (n - m )d ①a n = a m q n - m

②m + n = s + t ，则a m + a n = a s + a t

②m + n = s + t ，则a m ⋅ a n = a s ⋅ a t ③S m ，S 2m - S m ，S 3m - S 2m ，…成AP ③S m ，S 2m - S m ，S 3m - S 2m ，…成GP

(q ≠ -1或m 不为偶数)

④a k ，a k + m ，a k + 2m ，…成AP ，d ' = md

④a k ，a k + m ，a k + 2m ，…成GP ，q ' = q m 注：1．等差(等比)数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差(等比)数列．

2．三个数成等差的设法：a - d ，a ，a + d ；四个数成等差的设法：a - 3d ，a - d ，a + d ，

a + 3d ；

3．三个数成等比的设法：a /q ，a ，aq ；四个数成等比的错误设法：a /q 3，a /q ，aq ，aq 3 (为

什么？)

4．{a n }为等差数列，则{}n

a c (c > 0)是等比数列．

5．{b n } (b n > 0)是等比数列，则{log c b n } (c > 0且c ≠1) 是等差数列．

6．公差为d 的等差数列{a n }中，若d > 0，则{a n }是递增数列；若d = 0，则{a n }是常数列；

若d < 0，则{a n }是递减数列．

7．等比数列{a n }中，若公比为q ，则

(1) 当a 1 > 0，q > 1或a 1 < 0，0 < q < 1时为递增数列； (2) 当a 1 < 0，q > 1或a 1 > 0，

0 < q < 1时为递减数列；

(3) 当q < 0时为摆动数列； (4) 当q = 1时为常数列．

8．等差数列前n 项和最值的求法：

(1) a 1 > 0，d < 0时，S n 有最大值；a 1 < 0，d > 0时，S n 有最小值．

(2) S n 最值的求法：

① 若已知S n ，可用二次函数最值的求法(n ∈ N *)； ② 若已知a n ，则S n 取最值时n 的值(n ∈ N *)可如下确定：S n 最大值1

00n n a a +≥⎧⎨

≤⎩(或S n 最小值100n n a a +≤⎧⎨≥⎩)． 三、常见数列通项的求法：

1．定义法(利用AP ，GP 的定义)．

2．累加法(a n + 1 - a n = c n 型)：a n = a 1 + (a 2 - a 1) + (a 3 - a 2) + … + (a n - a n - 1) = a 1 + c 1 + c 2

+ … + c n - 1(n ≥ 2)．