数学期望的计算方法探讨

数学期望的计算方法探讨
X
覃光莲
(华中农业大学理学院数学与信息科学系, 湖北武汉430070)
摘要本文探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法: 利用一些特殊求和与积分公
式、利用数学期望定义的不同形式、利用随机变量分布的对称性、全期望公式以及特征函数等,
以期对该内容的学习和教学有所启发。

关键词数学期望全期望公式特征函数
中图分类号G642 文献标识码 A
随机变量的数学期望是反映随机变量取值的集中位置的一个重要数字特征, 随机变量的其它
数字特征都是通过数学期望来定义的, 因此数学期望的计算问题显得非常重要。

求随机变量的数
学期望从模型本身来讲, 无非是计算EX = Σ
∞
i = 1
x i P( X = x i) 或EX =∫+ ∞
- ∞
x p ( x ) dx ,但涉及到随
机变量分布的各具体场合,其计算又有很多变化和技巧。

下面结合具体场合, 介绍一些简化计算数
学期望的不同方法。

一、利用一些特殊的求和与积分公式
(一) X 是离散型随机变量时, EX = Σ
∞
i =1
x i P( X = x i)
在计算离散型随机变量的数学期望时,常常会用到一些特殊的无穷级数的求和公式,如Σ
∞
k = 0
x k
k !
= e x 、Σ
∞
k =0
x k =
1
1 - x
(| x | < 1) 等,熟悉这些求和公式以及它们的各种变形往往会使计算变得简
单。

例设X 服从参数为P 的几何分布,求EX , E X2 解: EX = Σ
∞
i =1
i P( x = i) = Σ
∞
i = 1
i P(1 - p) i - 1 = PΣ∞
i =1
i (1 - p) i - 1
为了求级数Σ
∞
i = 1
i (1 - p) i - 1 ,可作如下考虑:由于Σ
∞
k = 0
x k =
1
1 - x
(| x | < 1)
利用和函数的可微性对此级数逐项求导,得
d
dx
(Σ
∞
k =0
x k) = Σ
∞
k = 0
d
dx
( x k) = Σ
∞
k = 1
k x k - 1 ,因此Σ
∞
k = 1
k x k - 1 =
d
dx
( 1
1 - x
) =
1
从而EX = PΣ∞
i = 1
i (1 - p) i - 1 = P ·
1
[1 - (1 - P) ]2 =
1
P
—41 —
高等理科教育数学期望的计算方法探讨
X 收稿日期2004 —11 —16
资助项目华中农业大学启动项目(项目编号: 52204 - 03046)资助1
作者简介覃光莲(1969 - ) 女, 新疆玛纳斯人, 副教授, 主要从事概率统计的教学和科研工作1
同理可得,Σ
∞
k =2
k ( k - 1) x k - 2 =
d
dx
( 1
(1 - x ) 2 ) =
2
(1 - x ) 3 ,因此有:
EX2 = Σ
∞
i = 1
i2 P( X = i) = Σ
∞
i = 1
i2 P(1 - p) i - 1 = P(1 - P) Σ
∞
i = 2
i ( i - 1) (1 - p) i - 2 + PΣ∞
i =1
i (1 -
p) i - 1 = P(1 - P) 3 2
P3 + P 3 1
P2 =
2 - P
P2
(二) X 是连续型随机变量,X 的分布密度函数为p (x) , EX =∫+ ∞
- ∞
在计算连续型随机变量的数学期望时,常常会用到一些特殊的积分,如∫+ ∞
- ∞
e-
x
2
2 dx = 2π、Γ
函数Γ( n) =∫- ∞
x n - 1 e- x dx = ( n - 1) ! (其中n E 1) 等。

很多学生对积分∫+ ∞
- ∞
e-
x
2
2 dx = 2π很
陌生,但如果将它变形为:∫+ ∞
- ∞
1
2π
e-
x
2
2 dx = 1 ,则会恍然大悟:“这不正是标准正态分布的分布密
度p ( x ) =
1
2π
e-
x
2
2 dx 在( - ∞, + ∞) 上的积分吗?当然值为1 了!”。

因此,在讲标准正态分布的
分布密度时引入该特殊积分, 会起到很好的效果, 既能起到复习概率分布密度p (x) 性质(∫+ ∞
- ∞
p ( x ) dx = 1) 的作用,又能利用该性质间接得到的结果解决相关的积分运算,从而加深记忆。

而我们知道χ2 分布、t 分布、F 分布的概率分布密度函数都用到Γ函数,因此了解和记忆Γ函数的
一些基本性质是很有必要的,在讲解数学期望时适时复习一下可谓是一举两得。

例设X 的分布密度函数为p ( x ) =
x
a2 e-
x
2
2 a
2 x > 0 ,求EX 0 x F 0 解: EX =∫+ ∞0
x 3 x
a2 e-
x
2
2 a
2 dx =
令y =
x
a
a∫+ ∞
y2 e-
y
2
2 dy
= a∫+ ∞
( - y) de-
y
2
2 = a[ ( - y) e-
y
2
2 | + ∞
∫+ ∞
0 +
e-
y
2
2 dy ] =
2π
2 a
二、利用数学期望定义的不同形式
(一) 若取非负整数值的随机变量X 的数学期望存在,则EX = Σ
∞
k = 1
P( X E k)
有时对取非负整数值的随机变量X 我们很容易得到P( X E k) ,此时用该定义来计算数学期
望就很简单。

例掷n 颗均匀的骰子,求掷得最大点数X的数学期望
分析:若直接用定义,则需要求出P( X = k) , 直接计算不易得出, 但易知: P( X E k) = 1 -
( k - 1) n
6 n ( k = 1 ,2 , ⋯,6) ,因此用EX = Σ
∞
k = 1
P( X E k) 计算EX 会很方便。

解得: EX = Σ
6
k = 1
P( X E k) = 6 - Σ
6
k =1
( k - 1) n
6 n
(二) 若随机变量X 的分布函数为F(x) ,则EX =∫+ ∞
[1 - F( x) ] dx -∫0
- ∞
F( x) dx
当分布函数F(x) 为以x = 0 为分段点进行定义的分段函数时,用该公式计算数学期望尤其简便。

例设X 服从参数为λ的指数分布,求EX
解: X 的分布函数为F( x) =
1 - e- λx x > 0
0 x F 0
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高等理科教育2006 年第5 期(总第69 期)
∴EX =∫+ ∞
[1 - F( x ) ] dx - ∫0
- ∞
F( x ) dx =∫+ ∞
[1 - F( x ) ] dx =∫+ ∞
[1 - (1 - e- λx ) ] dx
=
1λ
三、利用分布的对称性
当随机变量的分布律或分布密度函数较复杂时,直接利用定义求其数学期望较困难。

但如果随
机变量的分布律或分布密度函数具有对称性,则其数学期望就是其取值的对称中心,这个结论的证
明并不难,可参阅文献[1 ] 。

实际上,从数学期望的实际意义来看,这个结论也很显然,因为数学期望
就是随机变量取值的集中位置,当分布律或分布密度函数具有对称性时,取值的集中位置就是对称
中心。

尤其当随机变量服从均匀分布时,其取值的对称中心非常容易得到,由此得到其数学期望。

例设二维随机变量(X ,Y) 的分布密度函数为p ( x , y) =
1π
x2 + y2 F 1
0 其它
,求EX
解一:利用定义,先求出X 的边际分布密度函数p ( x ) =
2π
1 - x
2 - 1 F x F 1
0 其它
由于p (x) = p ( - x) ,即p (x) 关于x = 0 对称,因此EX = 0
解二:由于(X ,Y) 服从x2 + y2 F 1 内的均匀分布,因此(X ,Y) 取值的中心位置是圆心(0 ,0) ,
因此X(或Y) 取值的中心位置应该是X = 0 (或Y = 0) (当然,这并不表明X(或Y) 服从[ - 1 ,1 ] 上
的均匀分布,这一点可以通过X 的边际分布密度函数得到验证) ,故EX = 0 (或EY = 0) 。

在(联合) 分布密度函数较复杂而用定义计算数学期望很困难时, 这种方法可以首先拿来一试,若(联合) 分布密度函数恰好具有对称性, 则计算数学期望就易如反掌了。

上述解法中, 如果对
数学期望和均匀分布的直观意义能够很好地理解,这种解法就是很自然的。

在概率统计课的教学中
引导学生对基本概念的这种直观或直觉认识非常有助于学生深刻理解和灵活掌握基本概念, 也可
以提高学生的学习兴趣。

四、将随机变量X 分解为X = Σ
n
X i ,从而EX = Σ
n
i = 1
EX i 以达到简化计算的目的
有些随机变量的结构很复杂,利用定义求其数学期望需要求其概率分布,若直接求概率分布很困难,此时可以根据实际意义将要求数学期望的随机变量X 分解为一些简单随机变量的和, 即X
= Σ
n
i = 1
X i ,然后利用数学期望的性质求得EX = E(Σ
n
i = 1
X i) = Σ
n
i = 1
EX i ,从而化整为零、化繁为简,这也
是概率论学习中一种很重要的思想方法。

例1 :设有n 张信纸分别标号为1 ,2 , ⋯,n ,另有n 个信封也分别标号为1 ,2 , ⋯,n1 今将每张信纸随机地放入一个信封中,令X 表示信纸与信封号码恰好相同的个数,求EX。

解:如果先求出X 的分布律,再利用定义计算EX ,显然大费周折,因此可以考虑先将X 分解为一些简单随机变量的和再求EX
若令X i =
1 第i 张信纸恰好放入第i 号信封
0 否则
( i = 1 ,2 , ⋯, n) ,则X = Σ
n
i = 1
X i
∵EX i = P( X i = 1) =
1
n
, ∴EX = E(Σ
n
i =1
X i) = Σ
n
i = 1
EX i = 1
例2 :将n 个球随机地放入r 个盒子中,求有球的盒子数X 的数学期望
解:令X i =
1 第i 个盒子有球
0 否则
( i = 1 ,2 , ⋯, r) ,则X = Σ
i =1
X i
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高等理科教育数学期望的计算方法探讨
∵EX i = P( X i = 1) = 1 - P( x i = 0) = 1 -
( r - 1) n
r n = 1 - (1 -
1
r
) n ,
∴EX = E(Σ
r
i =1
X i) = Σ
r
i = 1
EX i = r[1 - (1 -
1
r
) n ]
五、建立递推关系
当随机变量与实验的次序(或顺序) 有关时,其本身的表达就很复杂,直接计算其数学期望很困难,此时可以考虑建立递推关系,从而使问题得到顺利解决。

例:袋中有a 只白球b 黑球,每次摸出一球后总是放入一只白球,这样进行了n 次之后,求袋中白球数的数学期望
解:令X n 表示进行了n 次摸球后袋中的白球数,下面建立EX n 的递推关系
令Y n =
1 进行n 次摸球后再从袋中摸出一球是白球
0 进行n 次摸球后再从袋中摸出一球是黑球
则X n+1 = X n - Y n + 1 ,故EX n+1 = EX n - EY n + 1 (1) ,由于E Y n = P( Y n = 1) = Σ
n
k =0
P( X n
= k) P( Y n = 1 | X n = k) = Σ
n
k = 0
P( X n = k) k
a + b
=
1
a + b
Σn
k = 0
kP( X = k) =
EX n
a + b
代入(1) 式, 得递推关系:
EX n+1 = (1 -
1
a + b
) EX n + 1
EX0 = a
, 解得EX n = ( a + b) -
b (
a +
b - 1
a + b
) n
六、利用全期望公式EY = E[ E( Y| X) ]
由全期望公式得E Y =Σi
E( Y | X = x i) P( X = x i) 或EY =∫+ ∞
- ∞
E( Y | X = x ) p ( x ) dx (其
中p ( x ) 为X 的发布密度函数)
例求n 次贝努里试验中事件A发生的次数S n 的数学期望,其中事件A在每次贝努里试验中发生的概率为P。

解:令X i =
1 第i 次试验中A 发生
0 否则
( i = 1 ,2 , ⋯, n) ,则S n = Σ
n
i = 1
X i
以第一次试验的结果为条件,由全期望公式得:
ES n = P( X1 = 0) E( S n | X1 = 0) + P( X1 = 1) E( S n | X1 = 1)
则ES n (1 - P) E( S n - 1) + P[1 + E( S n - 1) ] = P + E( S n - 1) = ⋯= ( n - 1) P + E( S 1) = nP
利用全期望公式简化数学期望计算的关键是要找到合适的作为条件的随机变量, 否则未必能
够达到简化计算的目的;而寻找的方法正是我们熟知的全概公式中的思想方法,只是这里要用随机
变量的所有可能取值作为条件,而全概公式中则是用各种可能发生的事件作为条件。

但其实两者是
完全一致的,因为随机变量取某个或某些值表示的就是某事件。

七、利用特征函数
有时计算随机变量的特征函数f ( t) = Ee itX 比直接计算EX要简单,此时可以考虑先算出特征
函数,再利用它与数学期望的关系,求出数学期望本身。

随机变量X 的特征函数定义为
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高等理科教育2006 年第5 期(总第
69 期)
f ( t) = Ee itX =
Σi
e itX i P( X = x i) ( X 为离散型时)
∫+ ∞
- ∞
e itX p ( x ) dx ( X 为连续型时, p ( x) 为X 的分布密度函数)
则EX k =
1
i k f ( k) (0) ;特别地, EX =
1
i
f′(0)
例设X ～N (μ,σ2) ,求EX
解:由X ～N (μ,σ2) ,可以求得X 的特征函数f (t) 为:
f ( t) = Ee itX =∫+ ∞
- ∞
e itX ·
1
2πσ
e-
( x - μ)
2
2σ2 dx = e iμt -
12
σ2
t
2
∴EX =
1
i
[ e iμt -
12
σ2
t
2
]′t =0 =
1
i
[ ( iμ-
1
2
σ2 ·2 t) e iμt -
12
σ2
t
2
] t =0 = μ1
上面我们讨论了各种场合下一些简化计算数学期望的方法, 但这不是全部, 在此就不一一列举了。

总之, 尽管各种简化计算方法的思路各不相同, 但都是以对数学期望的基本定义以及不同
场合下随机变量的特点的深刻认识为基础的, 因此, 具体应用时应视问题而选择不同的方法。

参考文献:
[ 1 ] 杨雪梅1 对称分布的数学期望[J ] 1 商洛师范专科学校学报, 2003 (6) : 29 - 301
(上接第40 页)
资源的同时, 又需要进行再创造。

这就要求教师不但需要掌握一定的现代教育技术, 而且更需要
有现代的教育观念, 坚实的数学功底和精湛的教育艺术。

总之现代教育技术对教师提出了更高的
要求。

目前我们的CAI 课件主要在多媒体教室中应用, 其中也有一些问题, 比如信息量大、教案
速度快, 使得学生作笔记较困难等, 我们正逐步采取一些措施: 将电子教案上校园网, 供学生浏
览、阅读, 为学生提供丰富的教学信息, 学生可根据自己的学习情况调用有关内容进行复习和进
一步学习; 给学生一些宽松的自主学习的时间, 适当补充一些程序设计题, 通过编程锻炼学生的
实际应用能力; 同时开设交流讨论平台, 采用网上答疑, 或通过电子邮件的形式, 进行辅导。

在网络教室中利用CAI 课件开展教学, 学生可以直接参与教学活动过程, 可以起到充分调
动学生自主学习的作用, 利于个性化的学习。

教师也可以根据具体情况, 与学生进行直接对话、
个别辅导、答疑, 还可以根据需要连接到互联网, 充分利用网络的各种信息, 把各种教学资源有
机地整合到课堂教学中来。

因此, 利用网络教室开展多媒体教学, 是一种更有发展前景的现代教
育技术应用模式。

参考文献:
[ 1 ] 左孝凌, 等1 离散数学[M] 1 上海: 上海科学技术文献出版社, 20011
[ 2 ] 朱文兴1 “离散数学”的教学实践和体会[J ] 1 高等理科教育, 2003 (1) : 33 - 351
[ 3 ] 陈刚, 等1CAI教学方法与教学模式探讨[J ] 1 高等理科教育, 2002 (3) : 68 - 711
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