全等三角形几种常见辅助线精典题型
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全等三角形几种常见辅助线精典题型
一、截长补短
1、已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．
2、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?
3、如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，求AB 的长。
4、已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD =∠FAE . 求证：BE +DF =AE .
N
E
B
M
A
D
D
O
E
C
B
A
M
D
C
B
A
5、以ABC ∆的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ∆、ACE ∆，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠．
6、如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．
7、如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，D 是底边BC 上的一点，E 是线段AD 上的一点，且2BED CED BAC ∠=∠=∠，求证2BD CD =.
F
E
D
C
B
A F
A
B
C
D
E
O
O
E
D
C
B
A
N
M D
C
B
A
E D
B
A
8、 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠
ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE
二、全等与角度
1、如图，在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数.
2、如图所示，在ABC ∆中，AC BC =，20C ∠=︒，又M 在AC 上，N 在
BC 上，且满足50BAN ∠=︒，60ABM ∠=︒，求NMB ∠.
3、 在正ABC ∆内取一点D ，使DA DB =，在ABC ∆外取一点E ，使DBE DBC ∠=∠，且
BE BA =，求BED ∠.
C
E
D
B A
D
C
B
A
N
M
C
B
A
E
A
4、如图所示，在ABC ∆中，44BAC BCA ︒∠=∠=，M 为ABC ∆内一点，使得30MCA ︒∠=，
16MAC ︒∠=，求BMC ∠的度数.
5、如图：在ABC ∆内取一点M ，使得MBA ∠=30，10MAB ∠=.设80ACB ∠=，AC BC =，求AMC ∠.
6、如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？如是正五边形，正六边形呢？
M
C
A
B
M
C
B
A
参考答案：一、截长补短 1、BE CD BC +=，
理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，
利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆，∴12∠=∠，
∵60A ∠=︒，∴1
901202
BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，
∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=， ∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠，
利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．
2、DM MN =.
过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =
又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．
3、 过点D 作BC 的垂线，垂足为E .
∵∠AMD =75°，∠BMC =45° ∴∠DMC =60° ∵DM =CM ∴CD =DM
∵AD ⊥AB ，DE ⊥BC ，CB ⊥AB ，∠AMD =75° ∴∠ADM =∠EDC ∴△ADM ≌△CDE
N
C
D E
B M A 43
21
F
D
O
E C B
A
G
N
E
B
M
A
D
E D
C
B
A
∴AD =DE
故ABED 为正方形，AB =AD =h ，选D .
4、延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .
∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF ∴△ABM ≌△ADF
∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM ∵AB ∥CD
∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠
EAM
∴∠AMB =∠EAM
∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .
5、因为ABD ∆、ACE ∆是等边三角形，所以AB AD =，AE AC =，CAE ∠=60BAD ∠=，
则BAE DAC ∠=∠，所以BAE DAC ∆∆≌， 则有ABE ADC ∠=∠，AEB ACD ∠=∠，BE DC =．
在DC 上截取DF BO =，连结AF ，容易证得ADF ABO ∆∆≌，ACF AEO ∆∆≌． 进而由AF AO =．得AFO AOF ∠=∠；
由AOE AFO ∠=∠可得AOF ∠=AOE ∠，即OA 平分DOE ∠．
6、如图所示，延长AC 到E 使
CE BM =.
在BDM ∆与CDE ∆中，因为BD CD =，90MBD ECD ∠=∠=，BM CE =， 所以BDM CDE ∆∆≌，故MD ED =.
因为120BDC ∠=，60MDN ∠=，所以60BDM NDC ∠+∠=. 又因为BDM CDE ∠=∠，所以60MDN EDN ∠=∠=.
在MND ∆与END ∆中，DN DN =，60MDN EDN ∠=∠=，DM DE =， 所以MND END ∆∆≌，则NE MN =，所以AMN ∆的周长为2.
M
F E
D
C
B
A
F
A
B
C
D
E
O
O
E
D
C
B
A
E
A
B
C D
M
N