第2讲 力、力矩的合成与分解

第2讲 力、力矩的合成与分解

1. 物体的平衡状态：匀速度平动v c + 匀角速度转动ω

2. 物体的平衡条件：

（1）1

0n i i F ==∑ 合力等于零，保证了质心匀速度平动v c

； （2）10n

i i M

==∑ （力矩i i i M r F =⨯） 合力矩等于零，保证了刚体匀角速度转动ω．

3. 物体平衡的种类：稳定平衡 不稳定平衡 随遇平衡

1．如图所示，水平放置两固定光滑硬杆OA 、OB 成θ角．在两杆上各套轻环P 、Q ，两环用轻绳相连，用恒力F 沿OB 方向拉环Q ，当两环稳定时绳的张力多大？

2．如图所示，重杆OA 的O 端用铰链固定在墙上，为了使OA 保持水平，由长为L 的轻杆BC 来支撑．改变支撑点的位置使BC 所受压力最小，则B 点离O 点的距离多少？

3．如图所示，一个半径为r 的均匀球体，靠在竖直墙边，球与墙面和水平地面间的静摩擦系数为μs ，现在球上加一竖直向下的力F ，则力F 离球心的水平距离s 为多大，才能使球作逆时针方向的转动?

4．如图所示，有一长为L，重为G0的均匀杆AB，A端顶在竖直的粗糙墙壁上，杆端与墙面间的静摩擦系数为μ；B端用一强度足够而不可伸长的绳悬挂，绳的另一端固定在墙壁C 点，木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为θ．试求：

（1）杆能保持平衡时，μ与θ应满足的关系；

（2）杆保持平衡时，杆上有一点P存在，若在A点与P点间任一点悬挂一重物，则当重物的重力G足够大时总可以使平衡破坏；而在P点与B点之间任一点悬挂任意重力的重物，都不能使平衡破坏．求出这一P点与A点的距离．

5．如图所示，边长为l的均质立方体置于倾角为θ的固定斜面上，两者接触面间的摩擦系数处处为常量μ(μ>tanθ)，欲使立方体静止于斜面上，则斜面倾角θ的取值范围是什么？

6．如图所示，两质量分别为m1，m2的均匀棒AB、BC长度相同，且在B处固连成90°角．将其放在粗糙地面上，借助一系在B点处的轻绳平行于水平面匀速拉动此系统，求绳子与棒AB的夹角α是多少？

补充知识与习题

力

1．质心（重心）位置的确定——质心：

1122c 12m x m x x m m ++=++

题．一薄壁圆柱形烧杯,半径为R ,质量为m ,重心位于中心线上,离杯底的高度为H ,今将水慢慢注入烧杯中,问烧杯连同杯中的水共同重心最低时水面离杯底的距离是多少？(设水的密度为ρ) [答案：ρπρπ2222R mH

R m m h ++-=]

2．弹簧力F =–kx 弹簧的串联、并联

题．将劲度系数为k 的弹簧均分为2段，每段劲度系数k '=? [答案：2k ]

3．摩擦力的方向

题．如图所示,在倾角θ=300的粗糙斜面上放一物体,物体的重力为G ,现用与

斜面底边平行的水平作用力F (F =G /2)推物体,物体恰好在斜面上作匀速直线

运动,则物体与斜面的动摩擦因数为 . [答案：3

6] 4．全反力与摩擦角

(1) 引入全反力和摩擦角的意义：使分析处理物体受力时更方便、更简捷．

(2) f 和N 的合力叫全反力，全反力的方向跟弹力的方向的最大夹角（f 达到最大）叫摩擦角，摩擦角ϕ=tan -1f /N =tan -1μ．摩擦角与摩擦力无关，对一定的接触面，ϕ是一定的． 题．物体放在水平面上，用与水平方向成30°的力拉物体时，物体匀速前进．若此力大小不变，改为沿水平方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素μ． 解说：这是一个能显示摩擦角解题优越性的题目．可以通过不同解法的比较让学生留下深刻印象． 法一，正交分解．（学生分析受力→列方程→得结果．）

法二，用摩擦角解题．

引进全反力R ，对物体两个平衡状态进行受力分析，

再进行矢量平移，得到图18中的左图和中间图（注意：重

力G 是不变的，而全反力R 的方向不变、F 的大小不变），

φm 指摩擦角．

再将两图重叠成图18的右图．由于灰色的三角形是一

个顶角为30°的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂直底

边……故有：φm = 15°．

最后，μ= tgφm ．答案：0.268 ．

（学生活动）思考：如果F 的大小是可以选择的，那么能维持物体匀速前进的最小F 值是多少？ 解：见图，右图中虚线的长度即F min ，所以，F min = Gsinφm ．答：Gsin15°（其中G 为物体的重量）． 题．水平地面上有一质量为m 的物体,受斜向上的拉力F 作

用而匀速移动,物体与地面间的动摩擦因数为μ,则为使拉力

F 最小,F 与水平地面间的夹角多大?F 的最小值为多少?

[答案：tan -1μ；21μμ+mg

]

力矩

5．力的方向与转轴的方向垂直时：可将轴取成O -xyz

坐标系中固定的z 轴，力取为xy 平面上的力F ．z 轴到

F 作用线的距离等于坐标原点O 到F 作用线的距离，

记作h ，常称为力臂．参考图示，可得h =r sinθ．定义

力矩M ≡ r F sinθ ．

球类问题

题．如图所示，质量为M 的立方块和质量为m 的圆柱体置于倾角为α

的固定斜面上，立方体和圆柱体与斜面间的动摩擦因数都为μ，立

方体与圆柱体之间摩擦不计．求当平行于斜面的作用力F 多大时，

立方体和圆柱体沿斜面向上匀速运动．

[答案：F =(Mg +mg )sin α+μmg cos α]

题．将重为30N 的均匀球放在斜面上,球用绳子拉住,如图所示.绳AC 与

水平面平行，C 点为球的最高点斜面倾角为370.求：

(1)绳子的张力.

(2)斜面对球的摩擦力和弹力.

[答案：（1）10N ；（2）10N ，30N]

杆类问题

题．如图所示，每侧梯长为L 的折梯置于铅垂平面内，已知A 、B 两

处与地面间的动摩擦因数分别为μA =0.2，μB =0.6，C 点用光滑的铰链

连接，不计梯重，求人最多能爬多高． [答案：0.45L ]

题．如图所示，一根细长棒上端A 处用铰链与天花板相连，下端用铰链

与另一细棒相连，两棒的长度相等，两棒限以图示的竖直平面内运动，

且不计铰链处的摩擦，当在C 端加一个适当的外力（在纸面内）可使两

棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90︒，且C 端正好在A 端的正

下方．

（1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？说明道理（不要求推算）．

（2）如果AB 棒的质量为m 1，BC 棒的质量为m 2，求此外力的大小和方向．

[答案：（1）F 的方向与AC 夹角范围18︒.24'-45︒间；（2）212221810241m m m m g F ++=

]