层次分析法

例：决策者认为Ai比Aj明显重要，则aij＝5，这样由 决策者的定性判断转换为定量表示，这是AHP的特 点之一。
（3）计算步骤
ii. 层次单排序 计算判断矩阵A的最大特征值λmax和其对应的经 归一化后的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T
AW= λ
max
W
由此得到的特征向量W= (w1, w2, …,wn) T 就作为 对应评价单元的权重向量。 λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法
1.构造各因素间的层次结构模型
目标层A 中国队主教练
指标层B
执教经历B1
指挥能力B2
训练水平B3
亲和力B4
方案层C
施拉普纳C1
霍顿C2
米卢C3
阿里汉C4
2.构造第二层相对于第一层的判断矩阵
下面是某位足球专家给各层次上指标的打分情况 ：
A- B 执教经历B1 指挥能力B2 训练水平B3 执教经历B1 指挥能力B2 训练水平B3 亲和力B4
AHP方法及其应用
工业工程2008级
层次分析法
(Analytics Hierarchy Process, AHP)
1 2 3 4 5
简
介
基本模型 基本步骤 应用案例 应用软件
AHP简介
层次分析法是由美国匹兹堡大学教授T.L.Saaty 在70年代中期提出的。它的基本思想是把一个复杂 的问题分解为各个组成因素，并将这些因素按支配 关系分组，从而形成一个有序的递阶层次结构。通 过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性， 然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的 总排序。层次分析法的出现给决策者解决那些难以 定量描述的决策问题带来了极大的方便，从而使它 的应用几乎涉及任何科学领域。
God！
二．模拟算例
我们通过一个模拟的算例，来看如何运用AHP 方法进行选帅过程。


评估对象：我们选择四位外籍国足的主教练，霍顿、 施拉普纳、米卢、阿里汉作为评估对象。 模拟评估小组――学生球迷小组。 评价指标――由球迷小组讨论提出 下列四个指标：执教经历、指挥能 力、训练水平、亲和力。 具体评价模型和评价过程如下：
目标层A A 合理使用企业留利 ××万元 C1 准则层C 调动职工劳动 积极性
C2
提高企业 技术水平
C3 改善职工物质 文化生活状况
d1 方案层D 发奖金
d2 扩建集体 福利设施
d3 办技校
d4
d5
建图 书馆
购买新 设施
（2）计算单一准则下元素的相对重 要性
i. 第二层相对于第一层的判断矩阵
A-C C1 C2 C3 C1 1 5 3 C2 1/5 1 1/3 C3 1/3 3 1
一．问题提出
我们认为选帅工作不是赌博，而是一种 有风险的决策。不按照科学的方法去做才 是一种赌博。我们认为，足协在选 用主教练人选时一定要按科 学的原则进行，应该按照一 套科学的方法进行，才能把 风险降低到最小。
一．问题提出

从管理的角度来看，选择球队主教练的问题 实质是一个综合评估问题。

科学评估有三要素：评估者、评估指标体系 和评估方法。实际上选帅问题也应该按照这 三个准则进行：一是确定科学的确定评估者 （选帅小组），二是要建立一套合理的评价 指标体系，三是选用 Oh, My 科学有效的评估方法。
M
A1 a1
b11
A2 a2
b12
…… ……
Am B 层次元素组合权重 am
b1m
…… ……
M
b1 ai b1i
i b2 ai b2 i 1 i 1 m
m
1 b2
b22
b2m
M
1 bn
M
bn2
M
m bn
M
i bn ai bn i 1 m
Bn
……
（4）评价层次总排序计算结果的一 致性
CI为层次总排序一致性指标，其计算公式为：CI a CI i i
i 1 m
RI为层次总排序随机一致性指标：RI a RI i i
i 1
m
CIi为Ai相应的B层次中判断矩阵的一致性指标。 RIi为Ai相对应的B层次中判断矩阵随机一致性指标，并取
CR CI RI
当 CR 0.10 ，认为层次总排序的结果具有满意的一致性。
max 4
C.R.=0
C1
C2
C3
d1 w31
d2
d3
d4
d5 W35
W32 W33 w34
（3）计算各元素的总权重
准则 权重 方案 d1 d2 d3 d4 d5 0.105 0.491 0.232 0.092 0.136 0.046 0.637 0 0.055 0.564 0.118 0.265 0.258 0.406 0.406 0.094 0.094 0 0．157 0．164 0．393 0．113 0．172 C1 C2 C3 总权重
一．问题提出
中国国家足球队兵败科威特城，透露出 这么一个重要信息：我们应该怎样科学地选
择国家队的主教练，是 否应该认真的反思一下 历年来选拔主教练的程 序和方法，它们是否是 在科学原则的指导下进 行的。
一．问题提出
选择主教练应该有一套科学的方法，不然即 使阿里汉下课， 足协还是按照老办法 去选帅，难免会再次 选来低水平的主教练。
1 3 5 7 9 表示两个元素相比，具有同样重要性 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍微重要 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素明显重要 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素强烈重要 表示两个元素相比，一个元素比另一个元素极端重要
（3）计算步骤
判断矩阵中的元素具有下述性质
(i )aij 0 1 (ii)aij a ji (iii)aii 1
对判断矩阵进行一致性检验，即计算C.I. 和C.R. C.I. = 0.039 C.R. = 0.043 C.R. < 0.1，通过一致性检验
4.构造第三层相对第二层 的各个指标的判断矩阵
4.1各位被选教练在执教经历上的得分
B1- C 施拉普纳C1 施拉普纳C1 1 霍顿C2 1/3 米卢C3 1/7 阿里汉C4 1/5
霍顿C2
米卢C3
3
7
1
3
1/3
1
1/2
3
阿里汉C4
5
2
工业工程2008级
1/3
1
4.2 B1-C上的单排序和一致性检验
通过计算，可得如下结果： B1-C上的权值：(老纳,老霍,老米,老汉) 特征向量 W = (0.059,0.158,0.529,0.254) max 4.073 特征值
A B1 C1 B2 C2 B3 C3 B4 C4
方案层
方案1
……
方案n
建立层次结构模型：例1
一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中间 是准则层或指标层。 买钢笔的层次结构模型
买钢笔 质 量 颜 色 价 格 外 形 实 用
目标层 准则层 方案层
可供选择的笔
例2 层次结构模型
目标层：
选购电冰箱
准则层： 信誉T1
型式T2
价格T3
容量T4
制冷级别T5
AHP在我国

1982年，层次分析法引入我国，天津大学许 树柏等发表我国第一篇介绍AHP的论文， 此后在我国得到广泛的应用。1988年专门在 天津召开国际AHP学术研讨会，使得在我 国得到广泛运用。
2、基本模型——单层次模型

（1）单层次模型结构 （2）思想 （3）计算步骤
（1）单层次模型结构
C
A1
A2
……
An
C—目标
Ai—隶属C的n个评价元素 决策者：由决策者在这个目标意义下对这n 个元素进行评价 ，对他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。
（2）思想
整体判断 定性判断
n个元素的两两比较。
定量表示（源自文库过标量）
通过数学公式（特征值）确定各元素评价权重
（3）计算步骤
i. 构造两两比较判断矩阵
1 3 5
1/3 1 3
1/5 1/3 1
3 5 7
亲和力B4
1/3
1/5
1/7
1
3.层次单排序和一致性检验
通过计算，可得如下结果： 层次单排序： (执教,指挥,训练,亲和力) 特征向量 W = (0.118,0.263,0.564,0.055) 特征值 4.117
max
A B1 C1 B2 C2 B3 C3 B4 C4
耗电量T6
方案层：
A
B
C
D
例3 层次结构模型
目标层
合理选择科研课题A
准则层1
成果贡献B1 应 用 价 值
科 学 意 义
人才培养B2
课题可行性B3 难 易 程 度
c3 研 究 周 期 c4 财 政 支 持
准则层2
c1
方案层
课题D1
c2
课题D2
c5
课题D3
（3）计算各元素的总权重
层次 A 权重 层次 B B1 B2
维数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
R.I.
0
0
0.52
0.89
1.12
1.26
1.36
1.41
1.46
1.49
1.52
1.54
1.56
1.58
1.59
（c）计算一致性比例C.R.： C.R.＝ C.I./ R.I. 当C.R.<0.1时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。
ii. 计算单一准则下元素的相对重要性（层次单 排序） iii. 单层次判断矩阵A的一致性检验
（3）计算步骤
i. 判断矩阵
CK A1 A2
M
A1 a11 a21
M
A2 a12 a22
M
…… …… ……
M
An a1n a2n
M
An
an1
an2
……
ann
标度（aij）的含义：Ai比Aj 时由决策者回答下列问题所得
（4）结论
发奖金，福利设施，办技校，建图书馆，新设备 W=(0.157, 0.164, 0.393, 0.113, 0.172)
C.I.=0.028
R.I.=0.923
CR=0.03<0.10
计算结果表明，对于合理使用企业留成利润来说， 办技校是首选的方案。
AHP案例分析
如何科学地选拔国家 足球队主教练
多层次分析法基本步骤
1 2
3 4 建立递阶层次结构 计算单一准则下元素相对重要性（单层次模型） 计算各层次上元素的组合权重（层次总排序） 评价层次总排序计算结果的一致性
（1）递阶层次结构
目标层 决策目标 准则1 准则2 …… …… 准则k
准则层
子准则层
子准则1 ……
子准则2 …… 方案2
子准则m ……
4、应用案例
某厂有一笔企业留成利润要决定如何使用， 根据各方意见提出的决策方案有：发奖金； 扩建集体福利设施；办技校；建图书馆；购 买新设备。在决策时要考虑调动职工劳动积 极性、提高职工技术文化水平、改善职工物 质文化生活三方面，据此构造各因素之间相 互联结的层次结构模型如下图所示。
（1）层次结构图
W =(0.491,0.232,0.092,0.138,0.046)
max 5 . 126
C.I =0.032
C1
C2
C3
d1 w11
d2 W12
d3 W13
d4 w14
d5 w15
（2）计算单一准则下元素的相对重 要性
C2-D d2 d2 d3 d4 d5 1 7 3 5 d3 1/7 1 1/5 1/2 d4 1/3 5 1 3 d5 1/5 2 1/3 1 W=(0,0.055,0.564,0.118,0.265)
max 4.117
C.I=0.039 C.R.=0.042<0.1
C1
C2
C3
d1 W21
d2
d3
d4
d5
w25
W22 W23 w24
C3-D d1 d1 d2 d3 d4 1 1 1/3 1/3
d2 1 1 1/3 1/3
d3 3 3 1 1
d4 3 3 1 1
W=(0.406,0.406,0.094,0.094,0)
A
C1 w1=0.105
C2 W2=0.637
C3 W3=0.258
通过计算得判断矩阵的特征向量和特征值分别为： W=(0.105,0.637,0.258) λmax=3.308 对判断矩阵进行一致性检验，即计算C.I.和C.R. C.I.=0.019 C.R.=0.033<0.1 说明判断矩阵的一致性可以接受。
（2）计算单一准则下元素的相对重 要性
ii. 第三层元素相对于第二层元素判断矩阵
C1-D d1 d1 d2 d3 d4 d5 1 1/2 1/3 1/4 1/7 d2 2 1 1/3 1/2 1/5 d3 3 3 1 2 1 d4 4 2 1/2 1 1/3 d5 7 5 1 C.R. =0.028<0.1 3 1
（3）计算步骤
iii.
单层次判断矩阵A的一致性检验 a 在单层次判断矩阵A中，当 aij ik 时，称判断矩阵为一致性矩阵。 a jk 进行一致性检验的步骤如下： （a）计算一致性指标C.I.：C.I . max n ，式中n为判断矩阵阶数。 n 1 （b）计算平均随机一致性指标R.I. R.I.是多次重复进行随机判断矩阵特征值的计算后取算术平均数得到的， 下表给出1～15维矩阵重复计算1000次的平均随机一致性指标：