知识点33 与圆的有关计算2020

一、选择题

8.（2020·苏州）如图，在扇形OAB 中，已知90AOB ∠=?，2OA =，过AB 的中点C 作CD OA ⊥，

CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ，则图中阴影部分的面积为（ ）

A.1π-

B.

12

π- C.12

π-

D.

12

2

π

-

{答案}B

{解析}本题考查了不规则图形面积的计算，连接OC ，由题意得∠DOC=∠BOC=45°，四边形OECD 为正

方形,OC=2,由特殊角的三角函数得OE=OD=1,S 阴影=S 扇形OAB-S 正方形CEOD=290(2)360π?-12=2π

-1，因此本题

选B ．

9．（2020·聊城）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点M ，连接OC ，DB ，如果OC ∥DB ，OC ＝23，那么图中阴影部分的面积是（ ）

A ．π

B ．2π

C ．3π

D ．4π

{答案}B{解析}借助圆的性质，利用等积转化求解阴影部分的面积．由垂径定理，得CM ＝DM ，∵OC ∥DB ，∴∠C ＝∠D ，又∵∠OMC ＝∠BMD ，∴△OMC ≌△BMD(ASA)，∴OM ＝BM ＝

21OB ＝21

OC ，∴cos ∠COM ＝OC OM ＝2

1，∴∠COM ＝

60°．∴S 阴影＝S 扇形BOC ＝360

)32(602

?π＝2π．

10．（2020·聊城）如图，有一块半径为1m ，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）

A ．

41m B ．43m C ．415m D ．2

3

m {答案}C{解析}先利用弧长公式求得圆锥的底面半径，再利用勾股定理求圆锥的高．设圆锥形容器底面圆的半径为r ，则有2πr ＝

180190?π，解得r ＝41，则圆锥的高为22)41(1-＝4

15

(m)．

9．（2020·乐山）在△ABC 中，已知∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1．如图所示，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB ′C ′，则图中阴影部分面积为（ ）

A

O M C

B

D

A ．π

4 B ．π－32 C ．π－34 D ．32

π

{答案}B

{解析}先求出AC 、AB ，再根据S 阴影＝S 扇形CAC ′－S △AB ′C ′－ S 扇形DAB ′求解即可．在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，∴AC ＝2BC ＝2，∴AB ＝AC 2

－BC 2

＝3；由旋转得，∴AB ＝A ′B ′＝3，BC ＝B ′C ′＝1，∠CAC ′＝90°，∴∠CAB ′＝60°，

∴S 阴影＝S 扇形CAC ′－S △AB ′C ′－ S 扇形DAB ′＝90?π?22360－12×3×1－90?π?(3)2360＝π－3

2

．

(2020·南充）3.如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB=2，当风车转动90°时，点B 运动路径的长度为（ ） A.π B.2π C.3π D.4π

{答案}A

{解析}点B 的运动路径的长度是以点A 为圆心，AB 为半径的弧长，由题意知半径为2，圆心角为90°，∴点B 的运动路径的长度是

902

180

π?=π，故选A ． （2020·德州）10.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为

A. 4π

B. 4π

C. 8π

D. 4π

{答案}A

{解析}如图，设正六边形的中心为0，连接OA ，OB. 由题意得△AOB 是等边三角形，边长为4，∴

1

4

2AOB S ?=??=6个弓形的面积和是2

4616ππ?-?=-

∴阴影部分的面积是21

62(16121642πππππ??--=-+=.

8.（2020·达州）如图，在半径为5的⊙O 中，将劣弧AB 沿弦AB 翻折，使折叠后的弧AB 恰好与OA 、OB 相切，则劣弧AB 的长为（ ）

A.53π

B. 52π

C. 54π

D.56π

{答案}B

{解析}由“折叠后的弧AB 恰好与OA 、OB 相切”可知：∠OAB=∠OBA=45°，所以∠AOB=90°，劣弧AB 的长=

90π×5180

=5

2π．

6．（2020·泰州）如图，半径为10的扇形AOB 中，90AOB ∠=?，C 为AB 上一点，CD OA ⊥，CE OB ⊥，垂足分别为D 、E ．若CDE ∠为36?，则图中阴影部分的面积为（ ）

A ．10π

B ．9π

C ．8π

D ．6π

{答案} A

{解析}本题考查了由于△CDE 与△COD 同底等高，面积相等，因此阴影部分面积与扇形BOC 面积相等．而△COB ＝△CDE ＝36°，根据扇形面积公式可求得阴影部分面积为10π．

（2020·山西）8．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘）通过测量得到AC ＝BD ＝12cm ，，两点之间的距离为4cm ，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（ ）

A ．80πcm 2

B ．40πcm 2

C ．24 πcm 2

D ．2πcm 2

第9题图

{答案}B

{解析}本题考查阴影面积的计算．由题意得OA ＝16cm ，OC ＝CD ＝4cm ，根据扇形面积公式，得S 阴影＝S 大扇形AOB －

S 小扇形COD ＝26016360π??－2

604360

π??＝40πcm 2．故选B.

9.（2020·株洲）如图所示，点A 、B 、C 对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点1A ，则此时线段CA 扫过的图形的面积为（ ）

A. 4π

B. 6

C. D. 83

π

{答案}D

{解析}求线段CA 扫过的图形的面积，即求扇形ACA 1的面积. 由题意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A 1BC=90°. 由旋转的性质，得A 1C=AC=4. 在Rt △A 1BC 中，cos△ACA 1=1BC A C =1

2

. ∴△ACA 1=60°.

∴扇形ACA 1的面积为

2460360

π??=8

3π. 即线段CA 扫过的图形的面积为83

π. 故选：D

（2020·包头）9、如图，AB 是

O 的直径，CD 是弦，点,C D 在直径AB 的两侧．若

::2:7:11AOC AOD DOB ∠∠∠=，4CD =，则CD 的长为（ ）

A ．2π

B ．4π C

．

2

D

{答案}D

{解析}∵AB 是直接，∠AOD ：∠

DOB=7:11，∴∠AOD=70°.又∵∠COA ：∠ AOD=2：7，∴∠=20°，∴∠COD=90°. ∵CD=4，∴OC =

∴

9022

2180

CD π==.故选D.

6．（2020·咸宁）如图，在

O 中，2OA =，45C ∠=?，则图中阴影部分的面积为（ ）

A.

2

π

B. π

C.

22

π

- D. 2π-

{答案}D

{解析}本题考查了圆周角定理，扇形面积计算，∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=2，

∴S 阴影=S 扇形OAB-S △OAB=29021223602

π??-??=2π-，因此本题选D ．

13．（2020·毕节）如图，己知点C ，D 是以AB

为直径的半圆的三等分点，弧CD 的长为

1

3

π，则图中阴影部分的面积为（ ） A ． 6π B ． 316π C ． 24

π D ． 12π

{答案}A ，

{解析}本题考查弧长公式，扇形面积，阴影面积 ． 解：∵点C ，D 是以AB 为直径的半圆的三等分点， ∴∠AOC ＝∠COD ＝∠DOB ＝60°． ∵

OC ＝OD ，∴△C OD 是等边三角形． ∴∠CDO ＝60°． ∴CD ∥AB ．

O

D

C

B

A

∵弧CD 的长为1

3

π

∴13π＝60180

r π??．∴r ＝1． ∴S 阴影＝扇形COD ＝2

601360π??＝6

π．

故选A ． 10．（2020·淄博）如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若

半径OA ＝2，∠AOB ＝45°，则点O 所经过的最短路径的长是（ ）

A ．2π+2

B ．3π

C ．

5π2

D ．

5π2

+2

【解析】如图，

点O 的运动路径的长=OO 1?的长+O 1O 2+O 2O 3?的长 =90?π?2

180+45?π?2

180+90?π?2

180 =5π2， 故选：C ．

9. （2020·攀枝花） 如图，直径6AB =的半圆，绕B 点顺时针旋转30?，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是（ ）

A.

2

π

B. 34π

C. π

D. 3π

{答案}D

{解析}整个图形的面积可拆分为扇形ABA '的面积加上旋转后的半圆的面积，也可拆分为阴影部分的面积加上旋转前的半圆的面积，所以可知阴影部分的面积为扇形ABA '的面积.

13．（2020·云南）如图，正方形ABCD 的边长为4，以点A 为圆心，AD 为半径，画圆弧DE 得到扇形DAE （阴影部分，点E 在对角线AC 上）．若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆椎的底面圆的半径是（ ）

A

A．B．1C．D．

{答案} D．

{解析}设圆椎的底面圆的半径为r，根据题意可知：AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，∴2πr＝，解得r＝．所以该圆椎的底面圆的半径是．

11．（2020?呼和浩特）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为．

【解析】∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝20°，

又∵D为BC的中点，

∵BD＝DC＝BC＝2，DE＝DB，

∴DE＝DC＝2，

∴∠DEC＝∠C＝20°，

∴∠BDE＝40°，

∴扇形BDE的面积＝，

故答案为：．

6．（2020?宁夏）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝，以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）

A．1﹣B．C．2﹣D．1+

∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝×＝2，∴CD＝AB＝1，

∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ECF＝××﹣＝1﹣．故选：A．

9．（2020?遂宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD＝，则图中阴影部分面积为（）

A．4﹣B．2﹣C．2﹣πD．1﹣

【解析】连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图，

∵∠C＝90°，AC＝BC，

∴∠B＝∠CAB＝45°，

∵⊙O与BC相切于点D，

∴OD⊥BC，

∴四边形ODCH为矩形，

∴OH＝CD＝，

在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，

∴OA＝OH＝2，

在Rt△OBD中，∵∠B＝45°，

∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，

∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE

＝×2×2﹣

＝2﹣π．

故选：B．

二、填空题

14.(2020·宁波)如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中AB的长为cm(结果保留π).

{答案}18π

{解析}本题考查了扇形弧长的计算，根据弧长公式计算即可：l＝

12027

180

π?

＝18πcm.

13．（2020·温州）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为．

{答案}

3

4

π

{解析}本题考查了弧长公式180

n r

l

π

=

.∵n＝45°，r＝3，∴

4533

1801804

n r

l

ππ

π

??

===

，因此本题答案为

3

4

π

．14．（2020·嘉兴）如图，在半径为2的圆形纸片中，剪一个圆心角为90o的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为．

{答案}π，

1

2

{解析}本题考查了圆周角、扇形面积公式以及圆锥等知识，如图，由∠AO′B＝90°知AB

为⊙O的直径，AB＝22，所以O′A＝O′B＝2，所以S＝

22

902

360360

n r

ππ

π

??

==，根据围成

圆锥时扇形的弧长转化为圆锥的底面圆（设底面圆的半径为

1

r）的周长得到：

1

902

2

180

r

π

π

??

=，解得

1

r＝

1

2

．因此本题答案为π，

1

2

。

20．（2020·黔西南州）如图，在△ABC中，CA＝CB，△ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为________．

O

{答案}6π

{解析}本题考查了扇形的面积计算和图形的旋转．如答图，连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，垂足分别为M，N．∵CA ＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴DC＝

1

2

AB＝1，四边形DMCN是正方形，DM＝2，∴扇形FDE 的面积为

2

90π1

360

?

＝

π

4

．∵CA＝CB，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM＝DN．∵∠GDH＝∠MDN＝90°，∴∠GDM＝∠HDN．在△DMG和△DNH中，DMG DNH

GDM HDN

DM DN

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

，

，

∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN＝

1

2

，

∴阴影部分的面积为

π1

42

-，因此本题答案为

π1

42

-．

14．（2020·新疆）如图，△O的半径是2，扇形BAC的圆心角为60°，若将扇形BAC剪下转

成一个圆锥，则此圆锥的底面圆的半径为____________．

{答案}3

{解析}本题考查了垂径定理，弧长公式，圆锥的侧面展开图．连接OA，OB，OC，过点O作

OD⊥AC于点D．∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，所以△OAB≌△OAC，所以∠OAB＝∠

OAC＝

1

2

∠BAC＝

1

2

×60°＝30°．在Rt△OAD中，因为∠OAC＝30°，OA＝2，所以OD＝

1，AD＝3．因为OD⊥AC，所以AC＝2AD＝23．所以

BC

l＝

60

180

×π×23＝

23

π．设

此圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝

23

π，解得r＝

3

，因此本题答案为

3

．

6．（2020·常德）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）

A．100√3πB．200√3πC．100√5πD．200√5π

{答案} C {解析}本题考查了圆锥的计算.圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，这个圆锥的母线长是22

1020105

+=，

这个圆锥的侧面积是

1

2101051005.

2

ππ

???=因此本题选C．

18．（2020·哈尔滨）一个扇形的面积是13π2

cm，半径是6cm，则此扇形的圆心角是度.

{答案}130{解析}本题考查了扇形面积公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键，根据S＝

360

r2

πn

＝

360

62

?πn

＝13π，解得：n＝130°，因此本题答案为130．

15．(2020·绥化)已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是______度．

{答案}100{解析}设圆心角的度数是n，则2π×2.5＝

9

180

nπ

．解得n＝100．

16．（2020·重庆A卷）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分面积为__________．（结果保留π）

C

D

A

B

O

{答案}4－π{解析}因为正方形ABCD的边长为2，所以AO=

1

2AC=

22

1

2+2=2

2

?

ABCD的面积减去半径为2的半圆的面积.

∵ S正方形ABCD=22=4，S扇形EAF=2

π

，∴S阴影部分=4－2×2

π

=4－π．

14．（2020·江苏徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.若以AC所在直线为轴，把△ABC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 .

（第14题）

{答案}15π{解析}根据圆锥的侧面公式来进行计算，由于底面圆的周长=6π，母线长=22

345

+=，∴圆锥的侧面积=

1

6515

2

ππ

??=

.

18．（2020·江苏徐州）在△ABC中，若AB=6，∠ACB=45?，则△ABC面积的最大值为 .

{答案}992

+{解析}本题属于定弦定角问题，需要通过辅助圆解决问题.以AB为边斜边向上作等腰直角三角形OAB，∵AB=6，∴OA=32，以O为圆，OA为半径画圆，由于∠C=45?=

1

2∠AOB，所以点C在⊙O上，过点O作OD⊥AB，垂足为D，∴OD=

1

2AB=3，当点C在DO的延长线上时，△ABC的面积最大，等于：

11

6(332)992

22

AB CD

?=??+=+

13．（2020·宿迁）用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．{答案}1{解析}解法一：设这个圆锥的底面半径为r，由题意得2πr＝

904

180

π?

，解得r＝1，故答案为1．解法二：设这个圆锥的底面半径为r，由题意

90

4360

r?

=

?

，解得r＝1，故答案为1．

18．（2020·宿迁）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3，P为边AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ．当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为．B

C

A

O

D

A B

C

Q

P D

C

B

A

{答案}3

3

π

-．

{解析}

如答图，图中阴影部分的面积即为点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积．∵在矩形ABCD 中，AB＝1，AD＝3，∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝∠Q＝90°，∠ADB＝∠DBC＝∠ODB＝∠OBQ＝30°．∴∠ABQ ＝120°．易知△BOQ≌△DOC．S阴影部分＝S四边形ABQD－S扇形ABQ＝S四边形ABOD＋S△BOQ－S扇形ABQ＝S四边形ABOD＋S△COD－S扇形ABQ＝S矩形ABCD－S扇形ABQ＝1×3－

2

1201

360

π?

＝

3

3

π

-．故答案为3

3

π

-．

15．（2020·河南）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D，点E为半径OB上一动点.若OB=2，则阴影部分周长的最小值为.

{答案}3

2

2

π

+

{解析}∵∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D，∴∠DOC=30°，

∵OB=2，∴弧长CD=3

180

2

30

180

π

π

π

=

?

?

=

r

n

.∴欲使阴影部分的周长最小，只需CE+DE的和最小即可．作D点关于OB的对称点D′，连结CD′，交OB于点E，则有CE+DE=CE+D′E=CD′，此时CE+DE的和最小．由作图可知，点D′必在以O为圆心，以OB为半径的圆上，且弧BD=弧BD′=30°，

∴弧CD′=90°，∴∠COD′=90°.又∵OC=OD′=2，∴CD′=22，即CE+DE=22，∴阴影部分周长的最小值为3

2

2

π

+

．

17．(2020自贡)如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为．

第18题答

{答案}故答案为：2√3

9．

{解析}本题考查了矩形、相似三角形、圆、等边三角形等知识，构造△DOG ∽△DFC ，根据比例关系求出⊙O 的半径，将阴影面积分割、补全构造成所求阴影面积． 解：连接OG ，

∵将△ADE 沿DE 翻折，恰好使点A 落在BC 边的中点F 处，∴AD ＝DF ＝4，BF ＝CF ＝2， ∵矩形ABCD 中，∠DCF ＝90°，∴∠FDC ＝30°，∴∠DFC ＝60°，

∵⊙O 与CD 相切于点G ，∴OG ⊥CD ，∵BC ⊥CD ，∴OG ∥BC ，∴△DOG ∽△DFC ，∴DO DF =OG

FC

， 设OG ＝OF ＝x ，则

4?x 4

=x 2

，解得：x =43

，即⊙O 的半径是4

3

．连接OQ ，作OH ⊥FQ ，

∵∠DFC ＝60°，OF ＝OQ ，∴△OFQ 为等边△；同理△OGQ 为等边△； ∴∠GOQ ＝∠FOQ ＝60°，OH =

√3

2OQ =2√33，S 扇形OGQ ＝S 扇形OQF ，

∴S 阴影＝（S 矩形OGCH ﹣S 扇形OGQ ﹣S △OQH ）+（S 扇形OQF ﹣S △OFQ ） ＝S 矩形OGCH ?32

S △OFQ =43

×

2√33

?32

（12

×4

3×

2√33）=2√39．因此本题答案为：2√3

9

． 17．（2020·黑龙江龙东）小明在手工制作课上，用面积为150πcm 2，半径为15cm 的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，

则这个圆锥的底面半径为 cm ．

{答案}10．{解析}本题考查了圆锥侧面的展开图，解：△S =1

2

l?R ，

△1

2?l?15＝150π，解得l ＝20π，设圆锥的底面半径为r ，△2π?r ＝20π，△r ＝10（cm ）．

故答案为：10．

13．（2020·福建）一个扇形的圆心角是90?，半径为4，则这个扇形的面积为______.（结果保留π）{答案}π4

{解析}本题考查了扇形面积的计算，S=2904360

π?=π4．

16．（2020·泰安）如图，点O 是半圆圆心，BE 是半圆的直径，点A ，D 在半圆上，且AD ∥BO ，∠ABO ﹦60°，AB ﹦8，过点D 作DC ⊥BE 于点C ，则阴影部分的面积是_______．

{答案}64

3

π—8 3

{解析}本题考查了扇形的面积、30°角所对的直角边等于斜边的一半、平行线的性质、阴影图形的面积与特殊角的三角函数值的应用，连接OA ，因为∠ABO ﹦60°，OA=OB ，所以△ABO 是等边三角形，所以AB=OB ，∠AOB=60°，因为AD ∥BO ，所以∠DAO=∠AOB=60°，因为AO=DO ，所以△ADO 是等边三角形，所以AD=AO=OD ，所以AB=BO=DO=AD=8，即四边形ABOD 是菱形，所以∠DBO=∠BDO=∠ODC=30°，S △ABO =S △ADO ，所以OC=4，CD=4 3 ，所以阴影部分的面积

为S 扇形AOE -S △COD =120×82360 π-12 ×4×4 3 =643 π—8 3 ，因此本题答案为64

3

π—8 3 ．

16．（2020·重庆B 卷）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC =120

°，AB =O 为

圆心，OB 长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．

（结果保留π）

C

B

E

B

E

（第16题）

16．（2020·扬州）如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口b =3cm ，则螺帽的边长a = cm.

{答案{解析}本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题关键，又利用了正三角形的性质，余弦函数，如图：作BD ⊥AC 于D ，由正六边形，得∠ABC ＝120°，AB ＝BC ＝a ，∠BCD ＝∠BAC ＝30°．由AC

＝3，得CD ＝1.5．∴cos ∠BCD CD BC =

= 1.5a =，解得a =．

（第16题答图）

{答案π

{解析}本题考查了菱形的性质和扇形面积的计算，∵在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，∴AC ⊥BD ，∠ABO =1

×120°

=60°. 在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =90°-60°=30°，AB =OB AO =2，∴

S △AOB =

1

2

×2在△OEB 中，∵OE =OB ，∠ABO =60°，∴△OEB 是等边三角形，∴∠EOB =60°，∠EOF =90°

-60°=30°.∵S △OEB =1232S 扇形EOF =4π

，∴S 阴影部分=4-4

π）π.－π．

14．（2020·青岛）如图，在△ABC 中，O 为BC 边上的一点，以O 为圆心的半圆分别与AB ，AC 相切于点M ，N.已知∠BAC=120°，AB+AC=16，弧MN 的长为π，则图中阴影部分的面积为 .

{解析}本题考查了切线的性质、四边形的内角和、弧长公式、三角形的面积公式、切线长定理、三角函数、组合图形的面积计算，解答过程如下：如图所示，连接OM 、ON 、OA ，设BC 与半圆O 分别交于点D 、E ，

∵以O 为圆心的半圆分别与AB ，AC 相切于点M ，N ， ∴OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，∠MAO=∠NAO=

21∠BAC=2

1

×120°=60°，AN=AM ， ∴∠MON=360°-90°-90°-120°=60°，∴∠BOM+∠CON=180°-∠MON=180°-60°=120°.

∵弧MN 的长为π，∴

ππ=?180

60OM

，∴OM=ON=3.

∵MAO AM OM ∠=tan ，∴306tan 3=?=AM

，∴3==AM AN . ∴图中阴影部分的面积为：NOE DOM AMON ABC S S S S 扇形扇形四边形△---

=)(2NOE DOM AOM ACO ABO S S S S S 扇形扇形△△△+--+

=36012021221212OM OM AM ON AC OM AB ?-??-?+?π =3)(212OM OM AM OM AC AB ?-?-?+π =3333316212?--??π =π33324--.

因此本题答案为π33324--．

13．（2020·菏泽）如图，在菱形OABC 中，OB 是对角线，OA ＝OB ＝2，△O 与边AB 相切于点D ，则图中阴影部分的面积为_______．

{答案}23－π

{解析}利用规则图形的面积和差求不规则图形的面积．在菱形OABC 中，OA ＝AB ，又∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，△△AOB =△A =60°．如图，连接OD ，则OD △AB ，OD =2·sin60°＝3，∴S △AOB ＝

2

1

×2×3＝3，扇形的面积为：2

360)3(602π

π=????，

△阴影部分的面积为：2×(3－

2

π

)＝23－π．

15．(2020·荆门)如图7所示的扇形AOB 中，OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，C 为AB 上一点，∠AOC ＝30°，连接BC ，过C 作OA 的垂线交AO 于点D ，则图中阴影部分的面积为______．

{答案}

2

3π

{解析}∵OC ＝OA ＝2，∠AOC ＝30°，∴∠BOC ＝60°，CD ＝1，OD

．∴S 阴影

＝S △OCD ＋S

弓

BC ＝

1

2

×1＋2602360

π－3×22＝23π

．

14. (2020·湘潭)如图，在半径为6的⊙O 中，圆心角60AOB ?∠=，则阴影部分面积为________．

{答案}6π

{解析}本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．

阴影部分面积为2

6066360

ππ?=，

故答案为：6π．

23．(2020·成都)如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1…叫做“正六边形的渐开线”，FA

1?，A 1B 1?，B 1C 1?，C 1D 1?，D 1E 1?，E 1F 1?，…的圆心依次按A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB ＝1时，曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 ．

{答案}7π

{解析}利用弧长公式计算即可解决问题．解：FA

1?的长=60?π?1=π，

图7

D 1

E 1?的长=60?π?5180

=5π3

，E 1F 1

?的长=60?π?6180

=6π

3

， △曲线FA1B1C1D1E1F1的长度=π3

+2π3

+?+6π3

=21π3

=7π，故答案为7π．

16．此题有误，慎重选稿（2020·黄冈）如图所示，将一个半径OA =10cm ，圆心角△AOB =90°的扇形纸板放置在水平面的一条射线OM 上．在没有滑动的情况下，将扇形AOB 沿射线OM 翻滚至OB 再次回到OM 上时，则半径OA 的中点P 运动的路线长为 cm ．（计算结果不取近似值．．．．．

） 第16题图

{答案}求不出来

{解析}本题考查了计算弧长公式．本题的难点在分析出点P 的运动路径由4段组成，如答图所示，其中第二段圆弧

在射线上运动是，点P 的运动路径无法求出，其它三段运动的路径可以求出，为10552ππ

+，因此本题答案无法

求出．

第16题答图

16．（2020·凉山州）如图，点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点．若阴影部分的面积是3

2

π，则半圆的半径OA 的长为 ．

{答案}3{解析}如答图，连接OC 、OD 、CD ，则△AOC ＝△COD ＝△BOD ＝60°．△OB ＝OD ＝OC ，△△OCD 和△OBD 均为正三角形．△△ODC ＝△BOD ＝60°．△AB△CD ．△S△BCD ＝S△OCD ．△S 阴影部分＝S 扇形OCD ．△

26033602r ππ

?=．解得r ＝3，于是半圆的半径OA 的长为3．故答案为3．

18.(2020·潍坊)如图，四边形ABCD 是正方形，曲线11112

DA B C D A 是由一段段90度的弧组成的．其中：1

DA 的圆心为点A ，半径为AD ；

11A B 的圆心为点B ，半径为1BA ；

11B C 的圆心为点C ，半径为1CB ；

P

A O

P

P A

A O

B M

B

O

B

O

P

A

P A

O

P

P A A O

B

B

O

第16题图

D

C

B

A

第16题答图

D

C

B

1111111,,,,DA A B B C C D ???的圆心依次按点A ，B ，C ，D 循环．若正方形ABCD 的边长为1，则20202020A B 的长是

_________．

{答案}4039π{解析}本题主要考查了弧长的计算，弧长的计算公式：180

n r

l π=，找到每段弧的半径变化规律是解题关键．

由图可知，曲线11112

DA B C D A 是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，

11AD AA ==，112BA BB ==，……，

()1411n n AD AA n -==-+，()412n n BA BB n =-+=，

故20202020A B 的半径为()2020202042020128078BA BB =-+==，

20202020

A B 的弧长=

90

80784039180

ππ?=． 15．（2020·营口）一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为 ． {答案}15{解析}在圆锥中，底面半径r ，高h ，母线长l 满足r2+h2=l2，因为r=3，h=4，可求得l=5（负值舍去）．而

圆锥的侧面积公式是S 侧=rl ，所以上述圆锥侧面积为×

3×5=15．

15．（2020·恩施）如图，已知半圆的直径4AB =，点C 在半圆上，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于点D ，连接BC ．若60ABC ∠=

?，则图中阴影部分的面积为______．

（结果不取近似值）

{答案}π

{解析}根据60°特殊角求出AC 和BC ,再算出△ABC 的面积,根据扇形面积公式求出扇形的面积,再用三角形的面积减去扇形面积即可．具体如下：

△AB 是直径,

△△ACB =90°,△ABC =60°, △BC

=1

22

AB =,AC

=

△11

=22

ABC

S

AC BC =??? 由以上可知△

CAB =30°,

△扇形ACD 的面积=(2

2301

36012

AC π

ππ?=?=,

△阴影部分的面积为π． A 2

D C 2

B 2

A 1

B 1

C 1

D 1

C B A ,

16．（2020·娄底）如图，公路弯道标志表示圆弧道路所在圆的半径为m（米），某车在标有300

R=处的弯道上从点A行驶了100π米到达点B，则线段AB=

米．

{答案}300

{解析}本题考查了弧长的计算，根据弧长公式求出∠AOB的度数，根据等边三角形的性质来求，△100π= 300

180180

n R n

ππ?

=

，△n=60°，又AO=BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB=AO=BO=300(米)，因此本题5．（2020·昆明）如图，边长为3

2cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB=17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为cm.

{答案}200π

{解析}本题考查了正多边形及弧长有关的计算．解答过程如下：连接OC、OD，

∵螺帽是正六边形，∴△COD是等边三角形.

又∵OA垂直平分边CD，垂足为B，∴CB=

2

1

CD=3

2

2

1

?=3,OB=3.

∵AB=17，∴OA=AB+OB=17+3=20.

∵用扳手拧动螺帽旋转90°，∴点A在该过程中所经过的路径长为：

180

20

902

?

π

=200π（cm）.

填300．

17．（2020·玉林）如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD/E/F/处，此时边AD/与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是．

{答案}3π

{解析}先观察图中阴影部分的面积应该等于哪几个规则图形面积的和或差，然后再根据公式进行计算. ∵六边形ABCDEF 是正六边形 ∴每个内角的度数为180°－

360

6

＝120°，且AB ＝BC ，∴∠F AB ＝∠E ＝∠B ＝120°，∵AB ＝BC ，∴∠CAB ＝∠ACB ＝30°，∵任何正六边形都有一个外接圆，∴四边形ADEF 是正六边形外接圆中的内接四边形且AD 为直径，∴AD ＝6，∠E ＋∠F AD ＝180°，∴∠F AD ＝60°，∴∠DAC ＝120°－∠F AD －∠CAB ＝30°，由旋转的性质得：四边形AD /E /F /≌四边形ADEF ，

则图中阴影部分的面积＝四边形ADEF 的面积＋扇形ADD '的面积－四边形AD /E /F /的面积＝扇形ADD '的面积＝

2

306360

π?＝3π；故答案为：3π． 14.（2020·吉林）如图，在四边形ABCD 中，AB CB =，AD CD =，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ．以点B 为圆心，BO 长为半径画弧，分别交AB ，BC 于点E ，F ，若30ABD ACD ∠=∠=?，1AD =，则EF 的长为_______（结果保留π）

．

【答案】

2

π

【解析】由题意知：AB CB =，AD CD =， ∴ABC 和ADC 是等腰三角形，AC ⊥BD ． ∵30ABD ACD ∠=∠=?，1AD =

∴OD=

12，∴OB=

32

． ∵∠ABD=30，32

r = ∴∠EBF=60?，

EF =602360r

133

2

2

．