1 三角函数之正交性

第七节 傅里叶级数
二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数和余弦级数
第十一章
一、三角级数及三角函数系的正交性
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一、三角级数及三角函数系的正交性
简单的周期运动 : 复杂的周期运动 :
(谐波函数)
( A为振幅, 为角频率, φ为初相 )
周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,
它的傅里叶系数为
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例4. 设
是周期为2 的周期函数,它在
的表达式为 f (x)＝x , 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 若不计
周期为 2 的奇函数, 因此
y
1 cos n an 2 n
2 2 ( 2 k 1 )
, n 2k 1
0,
n 2k
1
( k 1 , 2 , )
bn
( n 1, 2, ) 1 2 cos x sin x sin 2 x 2 4 2 1 1 2 cos 3x sin 3x sin 4 x 3 4 3 2 1 2 cos 5 x sin 5 x 5 5 ( x , x (2k 1) , k 0 , 1 , 2 , ) 0 ( ) 说明: 当 x (2k 1) 时, 级数收敛于
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a0


a0 f ( x) cos k x d x cos k x d x 2 an cos k x cosn x d x bn cos k x sin n x d x n 1
an

1

f ( x) cos nxdx
x cos n x d x
1
0
1 x sin nx cos nx 0 1 cos n 2 n n n 2
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4
sin 3x sin 5 x sin 7 x sin 9 x f ( x) sin x ] 5 7 3 9 4
说明: 1) 根据收敛定理可知,
1
y
o


x
1 1 时,级数收敛于 0 2

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根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:
y (1) n 1 sin nx f ( x) 2 n n 1 o 1 1 2(sin x sin 2 x sin 3x ) 2 3

x
级数的部分和
n n＝ ＝5 4 2 1 3
②
f ( x) sin nx d x
( n 1, 2 , )
由公式 ② 确定的
称为函数 的傅里
的傅里叶系数 ; 以
的傅里叶级数 .
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叶系数为系数的三角级数 ① 称为
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定理3 (收敛定理, 展开定理)
设 f (x) 是周期为2的
2
又

4
8
1 2
4
, 2
1
3
1 2
2 2
8 8 24

2
6
3 1 2
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2 2
24

2
12
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三、正弦级数和余弦级数
1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数 定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为 正弦级数, 它的傅里叶系数为
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上的积分不等于 0 . 且有
11dx 2


cos 2 n x d x

2

sin 2 nx d x
1 cos 2n x 1 cos 2n x 2 cos n x , sin n x 2 2
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逼近 f (x) 的情况见右图.
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例5. 将周期函数 中E 为正常数 . 解:
展成傅里叶级数, 其
y
是周期为2 的
2
o 2 x
周期偶函数 , 因此
a0
an
u (t ) d t E sin t d t 0 0 u (t ) cos n td t 0 E
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简介 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为
1 , x 0 f ( x) 1, 0 x 将 f (x) 展成傅里叶级数.
解: 先求傅里叶系数
1
y
o

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an An cos n , bn An sin n ,
定理 1. 组成三角级数的函数系 正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在
上的积分等于 0 .
证:

1 cos nx d x 1 sin nx d x 0 cos k x cos nx dx

展成傅里叶
y
o

x
2 x2 2 0 1 1 an F ( x) cos nx d x f ( x) cos nx dx








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2 x sin nx cos nx 2 n n
周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;
2) 在一个周期内只有有限个极值点,
则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有
注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多.
x 为连续点 f ( x) , f ( x ) f ( x ) , x 为间断点 2 其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 )
An cos n cos n t An sin n sin n t
令
(谐波迭加)
a0 得函数项级数 (an cos n x bn sin n x ) 许多不同周 2 k 1 、不同相位 不同振幅的 称上述形式的级数为三角级数. 波叠加在一 YANGZHOU UNIVERSITY

x
1

(1) cos nx d x 1 cos nx d x 0
1源自文库
0
1

0
( n 0 , 1 , 2 , )
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(1) sin nx d x 1 sin nxdx 0
f ( x) d x
1

ak


cos 2 k x d x

(利用正交性)
ak

1
f ( x) cos k x d x ( k 1, 2 , )
类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得 1 bk f ( x) sin k x d x (k 1, 2 , )
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二、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 a0 f ( x) (an cos nx bn sin nx) 2 n 1 右端级数可逐项积分, 则有 ①
② 证: 由定理条件, 对①在 逐项积分, 得 a0 a cos n x d x b sin n x d x f ( x ) dx d x n n 2 n 1
2) 傅氏级数的部分和逼近 f (x) 的情况见右图.
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例2. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在
上的表达式为
3 2
y
o
2 3
x
将 f (x) 展成傅里叶级数. 1 1 0 1 x2 0 解: a0 f ( x ) d x x d x 2 2
an 0
bn
(n 0 , 1 , 2 , )

0
2
2
o
x
f ( x) sin nx d x
2
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x cos nx sin nx 2 x sin nx d x n 0 n 0 2 2 cos n (1) n 1 ( n 1 , 2 , 3 , ) n n


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a0 f ( x) an cos nx bn sin nx 2 n 1 1 an f ( x) cos nx d x (n 0 , 1, )
①


bn

1

0
1
0
1

2 1 cos nx 1 cos nx 1 cos n n 0 n n 4 , 当n 1 , 3 , 5 , 2 1 (1) n n n 0 , 当n 2 , 4 , 6 , 1 1 f ( x) sin x sin 3 x sin(2k 1) x 3 2k 1 ( x , x 0 , , 2 , )
利用此展式可求出几个特殊的级数的和.
当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得
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设
1 1 1 1 1 2 2 2 3 5 7
2
, 22 42 62
1
1
1
已知 1


2
f ( x 2k ) , 其它
傅里叶展开 上的傅里叶级数
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例3. 将函数
级数 . 解: 将 f (x)延拓成以 2为周期的函数 F(x) , 则 1 1 a0 F ( x ) d x f ( x ) d x
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4 , 2 2 n 2k 1 ( 2 k 1) 2 ( cos n 1) 0 , n n 2k ( k 1 , 2 , ) 1 f ( x) sin nx d x
2
说明:


1 1 cos x 2 cos 3x 2 cos 5 x 3 5
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1

f ( x) sin nx d x


0
(1) n 1 x sin nxdx n
2
2
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定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法
周期延拓
F ( x)
f ( x) ,
x [ , )


同理可证 :
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sin k x sin nx dx 0 cos k x sin nx d x 0
1 2
cos(k n) x cos(k n) x d x 0
(k n )
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