弹塑性力学习题解答

塑性：

弹性：

2-16设有任意形状的等厚度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力q 试证q y x -==σσ 及0=xy τ能满足平衡微分方程、相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。

证明： （1）将应力分量q y x -==σσ，0=xy τ和0==y x f f 分别代入平衡微分方程、相容方程

⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂00y x xy y

y x y yx

x

x f f τ

στσ （a ） 0)1())((22

22=∂∂+∂∂+-=+∂∂+∂∂）（y f x f y

x y x y x μσσ （b ）

显然（a ）、（b ）是满足的

（2）对于微小的三角板dy dx A ,,都为正值，斜边上的方向余弦),cos(x n l =,),cos(y n m =,将q y x -==σσ，0=xy τ代入平面问题的应力边界条件的表达式

⎪⎩⎪⎨

⎧=+=+)

()()

()(s f l m s f m l y s xy y x s yx x τστσ （c ） 则有),cos(),cos(x n q x n x -=σ ),c o s (),c o s (

y n q y n y -=σ 所以q x -=σ，q y -=σ。

对于单连体，上述条件就是确定应力的全部条件。 （3）对于多连体，应校核位移单值条件是否满足。

该题为平面应力的情况，首先，将应力分量q y x -==σσ及0=xy τ代入物理方程，得形变分量q E x )1(-=

με，q E

y )

1(-=με，0=xy γ （d ） 然后，将（d ）的变形分量代入几何方程，得

q E

x u )

1(-=∂∂μ，q E y v )1(-=∂∂μ，0=∂∂+∂∂y u x v （e ）

前而式的积分得到 )()1(1y f qx E u +-=

μ，)()

1(2x f qy E

v +-=μ （f ） 其中的1f 和2f 分别是y 和x 的待定函数，可以通过几何方程的第三式求出，将式（f ）代入（e ）的第三式得 dx

x df dy y df )

()(21=-

等式左边只是y 的函数，而等式右边只是x 的函数。因此，只可能两边都等于同一个常数ω，于是有

ω-=dy y df )(1，ω=dx

x df )

(2，积分以后得01)(u y y f +-=ω，02)(v x x f +=ω 代入（f ）得位移分量

⎪⎩

⎪⎨⎧++-=+--=v

x qy E v u y qx E u ωμωμ)1()1(0 其中ω,,00v u 为表示刚体位移量的常数，须由约束条件求得。

从式（g ）可见，位移是坐标的单值连续函数，满足位移单值条件，因而，应力分量是正确

的解答。

2-17设有矩形截面的悬臂粱，在自由端受有集中荷载F ，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力x σ和切应力xy τ的表达式，并取挤压应力0=y σ，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。

解〔1〕矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为Fx x M -=)(，横

截面对z 轴（中性轴)的惯性矩为12

3

h I z =，根据材料力学公式，弯应力

xy h

F

I y x M z x 312)(-==

σ；该截面上的剪力为F x F s -=)(，剪应力22

223()346()()24

s xy F x y F h I y h h h τ=-=--；并取挤压应力0=y σ

（2）经验证，上述表达式能满足平衡微分方程

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂0

0y x xy y y x y yx

x

x f f τστσ 也能满足相容方程0)1())((22

22=∂∂+∂∂+-=+∂∂+∂∂）（y f x f y

x y x y x μσσ

再考察边界条件：在2/h y ±=的主要边界上，应精确满足应力边界条件：

0)(2/==h y y σ，0)(2/==h y yx τ； 0)(2/=-=h y y σ，0)(2/=-=h y yx τ。

能满足

在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件：

/20

/2/2

0/2/20

/2()0

()0()h x x h h x x h h xy x h dy ydy dy F σστ=-=-=-⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰ 满足应力边界条件。

在次要边界l x =上，列出三个积分的应力边界条件：

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧-=-=-====⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=--=--=-F

y h h F dy Fl ly h F ydy lydy h F dy h h x xy h h h h l x x h h h h l x x h h )4(6)(12)(012)(2

232/2/02/2/232/2/2

/2/32/2/2

/2/τσσ

满足应力边界条件

因此，他们是该问题的解答。

3-8设题3-8图中的三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为ρ，试用纯三次式的应力函数求解。

解（1）相容条件：

设3

2

2

3

Dy Cxy y Bx Ax +++=Φ (a)

不论上述中的系数取何值，纯三次式的应力函数总能满足相容方程。 （2）体力分量g f o f y x ρ==,由应力函数得应力分量的表达式

Dy Cx x f y x x 6222+=-∂Φ

∂=σ (b)

gy By Ax y f y

y y ρσ-+=-∂Φ

∂=2622 (c)