高数第十一章习题

3、设Ｄ为由分段光滑的曲线Ｌ所围成的闭区域,其面积为5,又 及 在Ｄ上有一阶连续偏导数,且 , ,则 ___.
4、计算 其中Ｌ是由抛物线 和 所围成的区域的正向边界曲线,并验证格林公式的正确性.
5、曲线积分,求星形线 所围成的图形的面积.
四、证明曲线积分 在整个 面内与路径无关,并计算积分值.
五、利用格林公式,计算下列曲线积分:
五、求向量场 沿闭曲线 为圆周 (从ｚ轴正向看 依逆时针方向)的环流量.
六、设 具有二阶连续偏导数,求 .
答案
一、 .二、 .三、 四、0.五、 六、0
二、1、 2、 ；3、 ；4、0.三、 .
四、1、 ；2、 ；
3、 .
第三节格林公式习题
一、填空题:
1、设闭区域Ｄ由分段光滑的曲线Ｌ围成,函数 及在Ｄ上具有一阶连续偏导数,则有 ________________；
2、设Ｄ为平面上的一个单连通域,函数 在Ｄ内有一阶连续偏导数,则 在Ｄ内与路径无关的充要条件是_______________在Ｄ内处处成立；
3、 ,其中 为锥面 和ｚ＝１，ｚ＝２所围立体整个表面的外侧.
三、把对坐标的曲面积分 化成对面积的曲面积分,其中 是平面 在第一卦限的部分的上侧.
答案
一、1、0；2、 ,法向量.二、1、 ；2、 ；3、 .三、 .
第六节高斯公式习题
一、利用高斯公式计算曲面积分:
1、 ,其中 为球面 外侧；
2、 ,其中 是界于ｚ＝０和ｚ＝３之间的圆柱体 的整个表面的外侧；
二、1、 ；2、9；3、 ；4、 .
三、 ； ； ； .
第二节对坐标的曲线积分习题
一、填空题:
1、对______________的曲线积分与曲线的方向有关；
2、设 ,则 ____________；
3、在公式 中,下限a对应于L的____点,上限 对应于L的____点；
4、两类曲线积分的联系是______________________________________________________.
3、 , 是上半球面 的上侧.
二、证明:由封闭曲面所包围的体积为 ,式中 是曲面的外法线的方向余弦.
三、求向量 ,穿过曲面 :为立方体 , 的全表面,流向外侧的通量.
四、求向Fra Baidu bibliotek场 的散度.
五、设 是两个定义在闭区域 上的具有二阶连续偏导数的函数, 依次表示 沿 的外法线方向的方向导数。证明: ，其中 是空间闭区域 的整个边界曲面. (注 ,称为拉普拉斯算子)
二、计算下列对面积的曲面积分:
1、 ,其中 为平面 在第一卦限中的部分；
2、 ,其中 为锥面 被柱面 所截得的有限部分.
三、求抛物面壳 的质量,此壳的面密度的大小为 .
四、求抛物面壳 的质量，此壳的面密度的大小为
答案
一、1、 ；2、 ；3、 ；4、 ；5、 .二、1、 ；2、 .三、 .四、 .
第五节对坐标的曲面积分
2、 ,其中Ｌ为折线ＡＢＣＤ,这里Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；
3、 ,其中Ｌ为曲线 ；
4、计算 ,其中Ｌ为双纽线 .
三、设螺旋形弹簧一圈的方程为 , , ,其中 ,它的线密度 ,求: 1、它关于Z轴的转动惯量 ；2、它的重心.
答案一、1、 ；2、L的弧长；3、弧长；4、<.
三、设z轴与重力的方向一致,求质量为m的质点从位置 沿直线移到 时重力所作的功.
四、把对坐标的曲线积分 化成对弧长的积分,其中L为:1、在 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；2、沿抛物线 从点(0,0)到点(1,1)；3、沿上半圆周 从点(0,0)到点(1,1).
答案
一、1、坐标；2、-1；3、起,点；4、 .
二、计算下列对坐标的曲线积分:
1、 ,其中L为圆周 及X轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；
2、 ,其中L为圆周 (按逆时针方向饶行)；
3、 ,其中为有向闭折线 ,这里的 依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)；
4、 ,其中 是以 ， , , 为顶点的正方形正向边界线.
答案
一、1、 ；2、 ；3、 .三、 .四、
第七节斯托克斯公式习题
一、计算 ,其中 是圆周 若从ｚ轴正向看去,这圆周是逆时针方向.
二、计算 ,其中 是球面 和园柱面 的交线 ,从ｘ轴正向看去,曲线为逆时针方向.
三、求向量场 的旋度.
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 化成曲线积分,并计算积分值,其中Ａ, 及ｎ分别如下: , 为上半个球面 的上侧,ｎ是 的单位法向量.
九、设在半平面ｘ＞０内有力 构成力场,其中ｋ为常数, .证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.
答案
一、1、 ；2、 ；3、10.三、 .四、 .五、236.六、1、 ；2、-2.七、1、当Ｌ所包围的区域Ｄ不包含原点时,0；2、当Ｌ所包围的区域Ｄ包含原点,且Ｌ仅绕原点一圈时, ；3、当Ｌ所包围的区域Ｄ包含原点,且Ｌ绕原点ｎ圈时, .
一、填空题:
1、 =_______________________.
2、第二类曲面积分 化成第一类曲面积分是__________，其中 为有向曲面 上点 处的___________的方向角.
二、计算下列对坐标的曲面积分:
1、 ,其中 是柱面 被平面ｚ＝０及ｚ＝３所截得的在第一卦限内的部分的前侧；
2、 ,其中 是平面 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；
.八、 .
第四节对面积的曲面积分习题
一、填空题:
1、已知曲面 的面积为ａ,则 _______；
2、 = ________ ；
3、设 为球面 在 平面的上方部分,则 ____________；
4、 _____,其中 为抛物面 在 面上方的部分；
5、 ______,其中 为锥面 及平面ｚ＝１所围成的区域的整个边界曲面.
第十一章第一节曲线积分习题
一、填空题:
1、已知曲线形构件Ｌ的线密度为 ,则Ｌ的质量Ｍ=_______________；
2、 =_______________；
3、对________的曲线积分与曲线的方向无关；
4、 = 中要求 ________ .
5、计算下列求弧长的曲线积分:
1、 ,其中Ｌ为圆周 ,直线ｙ＝ｘ及ｘ轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
1、 其中Ｌ是在圆周 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；
2、求曲线积分 和 的差.其中 是过原点和 , 且其对称轴垂直于ｘ轴的抛物线上的弧段,ＡＭＢ是连接Ａ，Ｂ的线段.
六、计算 ,其中Ｌ为不经过原点的光滑闭曲线.(取逆时针方向)
七、验证 在整个 平面内是某一函数 的全微分,并求这样一个 .
八、试确定 ,使得 是某个函数 的全微分,其中 ,并求 .