金融工程12-期权的希腊字母
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第十五章 期权的希腊字母
范 闽 金融工程研究中心
Dr. Fan
1
15章 期权的希腊字母
• 期权价值的决定因素包括股价、到期时间、波动 率、无风险利率以及执行价格，其中易变的因素 有四个：
– – – – 股价：Delta, Gamma 到期时间：Theta 波动率：Vega 无风险利率：Rho
Dr. Fan
Dr. Fan
30
情景分析
• 维持各种中性需要连续的调整组合（假定各因素连续变 化），交易费会相当昂贵 • 期权交易者看中的是如何量化风险，而不是试图消除一切 风险 • 希腊字母常被用于量化风险，如果损失可以接受，则不调 整；如果损失风险不能接受，则需要构建一个组合头寸 • 除了希腊字母这些风险外，交易者经常采用情景分析：不 同情境下资产组合的损益 • 极端情景分析、VaR、蒙特卡洛模拟
Dr. Fan
5
Delta
• Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了期权价 值对标的资产价格变化的敏感性
D c S
• 图示
S(0)
Dr. Fan 6
Delta——无收益资产的欧式股票期权
• 利用BS公式，可以推导出
D c N d1
ห้องสมุดไป่ตู้
D p N d1 1 0
Dr. Fan
3
回顾：Black-Scholes模型
• 看涨期权的价格（为欧式期权到期时期望值的现值）
ce
r (T t )
E[Max(ST X ,0)]
• 股票价格的概率分布
2 ln ST ~ ln S ( )(T t ), T t 2
2
2
]
8
d1
ln( S / X ) ( r 2 / 2)
N (d1 ) 1 e d1 2
r
1 d12 2
d1 2 / 2 ln( S / X ) r
Xe
d1 N (d 2 ) 1 r Xe [ e e d 2 2 r N ( d1 ) ln( s / X ) r Xe e d1 1 d12 2
Dr. Fan
31
练习
• 蒙特卡洛模拟几何布朗运动：假设初始价格为100 元的某股票的回报率服从漂移率为零，波动率为 10%的几何布朗运动，单位时间1被分为100等分， 模拟10次以上，并得到最终的价格分布。 • 计算：求欧式看涨期权的Theta和Vega
Dr. Fan
32
如果Theta是较大的正数，Gamma就是很大的负数， 因此，Theta可以作为Gamma的替代指标使用。
Dr. Fan 22
Vega
• Vega是期权的价值对标的资产波动率的偏导数， 度量了期权价值对标的资产波动率的敏感性
Vega
• 欧式期权的Vega
Vegac Vega p S0 T N (d1 )
– 买权
rhoc Te rhoc Te
rf T
S0 N (d1 )
– 卖权
rf T
S0 N (d1 )
Dr. Fan
28
Rho——欧式股票:与股价的关系
Dr. Fan
29
Rho——欧式股票买权:与到期时间 的关系
out of the money at the money in the money
Dr. Fan
11
Delta对冲
• 例子：BSM随机微分方程的推导
– 1个单位衍生工具空头， f 份股票
S
– BS采用Delta对冲方法，建立起包含期权的Delta中性 头寸
Dr. Fan
12
Theta——定义
• Theta是期权价值对时间的偏导数，度量了期权价 值随时间衰减的速度
– 有时也称为证券组合的时间损耗
2
2
]
Xe
r
N (d1 ) S r N (d1 ) e S d1 X d1
C 所以，最后两项相等，则 N (d1 )，命题成立。 S
Dr. Fan
9
各种产品的Delta
• 远期合约：D=1 X为远期的交割价，当一个远期生效时，远期价 格等于合约规定的交割价格，远期价格F就是f=0 的X值 r f (T t )
Dr. Fan
21
Delta、Theta 和Gamma的关系
Black-Scholes微分方程表达式为：
2 f f 1 f 2 2 rS S rf 2 t S 2 S
Theta
Delta
Gamma
对于Delta中性组合来说，Delta=0，所以得出以下式子：
2 f 1 f 2 2 S rf 2 t 2 S
f (t ) S (t ) Xe
• 无收益资产的欧式期权：买权：N(d1)；卖权- N(-d1) • 其余支付红利率为q、股指期权、外汇期权、期货期权只要 根据定价公式即可得到其Delta值 n • 衍生证券组合的Delta
D wi D i
i 1
Dr. Fan
10
Delta对冲
• 定义：建立对冲工具头寸，使得对冲工具头寸与 要保护的头寸的Delta等于零
2
期权的希腊字
期权的希腊字是指当公式的一个投入（参数）变化一单位而其它 投入保持不变时期权价值的变化。希腊字度量的重要用途之一 是评估风险的暴露。希腊字度量可以用于计算任何种类在下资 产上的期权，而不仅仅是股票期权上。 希腊字的定义 • delta（D）度量当股票价格增加1美元时期权价格的变化。 • gamma（G）度量当股票价格增加1美元时D的变化。 • vega度量当波动率有一个百分点的增加时期权价格的变化。 • theta（）度量当生命期减少1天时期权价格的变化。 • rho（）度量当利率有一个百分点（100个基差点）的增加时 期权价格的变化。
• Delta与股价的关系 1
S(0)
Dr. Fan
7
• 命题：欧式看涨期权的Delta=N(d1)
N (d1 ) d1 c r N ( d 2 ) d 2 证明： N (d1 ) S Xe S d1 S d 2 S d1 d 2 由于 ,则 S S Xe
– 买权
– 卖权
r
• 标的股票不支付红利的欧式期权
rhoc XTe rT N (d2 )
rho p XTerT N (d2 )
• 组合的Rho为零称为Rho对冲
Dr. Fan 27
Rho——外汇期权
• 外汇期权涉及本币利率与外币利率，因此，有两 个rho，一个对应于本币利率(见上一页)，另一个 对应于外币利率
• 单个期权的Theta几乎总是负值，因为随着到期日 的临近，期权往往是变得越不值钱(若其他因素不 变,而仅仅时间改变) • 与股价呈随机波动不同，距离到期的时间是一个 完全确定的量，无需进行对冲
– 换句话说，未来股价是不确定的，因而需要对冲；但时 间走向却没有不定性，无需对冲。
Dr. Fan 13
r
N (d 2 ) 1 r Xe （ e ） d 2 2
2 d2 2
d 2 d1
Xe r 1 2 exp( (d1 2 d1 2 )) 2 2 1 Xe [ e 2
r
Dr. Fan
1 d12 2
e
d1
Theta——欧式股票期权
• 欧式股票期权的Theta
– 买权
c
– 卖权
S0 N (d1 ) 2 T S0 N (d1 ) 2 T
rXe rT N (d 2 ) rXe
rT
p
N (d 2 )
Dr. Fan
14
Theta——欧式股票期权
Theta与股价的关系 X
Dr. Fan
23
Vega——与股价的关系
X
Dr. Fan 24
Vega——与到期时间的关系
in the money at the money out of the money
Dr. Fan
25
Vega对冲
• 组合的Vega为零称为Vega对冲 • 一般Vega和Gamma不能同时实现对冲 • Vega中性与Vega对冲
• 根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项
Delta Theta Vega Rho
c c c c 1 2c 2 Dc Ds Dt D Dr ( D s ) (3) 2 s t r 2 S
这里省略S的下标t Gamma
Dr. Fan
15
Gamma
• Delta对冲，只有在股票价格小幅度变化时才时有 效的.
• 当股票价格出现大幅度变化时，对冲组合就必须 考虑2阶导数, 即Gamma. 否则, 维持原来的Delta 就会出现风险。 • 即:
– Gamma变化较小时，Delta变化变化缓慢，一般不需要 频繁调整头寸。 – Gamma较大时，对冲组合的Delta对标的资产相当敏感， 若不调整Delta则风险较大。
– 由于标的资产及其远期、期货合约的Vega都等于零， 因此，不能用来改变投资组合的Vega – 要改变投资组合的Vega ，必须使用那些Vega不等于零 的工具，例如期权 – 见课本相关例子
Dr. Fan
26
Rho
• Rho是期权价值对无风险利率的偏导数，度量了期 权价值对利率变化的敏感性
rho
– 由于标的资产及其远期、期货合约的Gamma都等于零， 因此，不能用来改变投资组合的Gamma – 要改变投资组合的Gamma，必须使用那些价格与标的 17
Dr. Fan
Gamma——欧式股票期权
欧式股票期权的Gamma
Gc G p
N (d1 ) S0 T
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18
Gamma——欧式股票期权
Dr. Fan
16
Gamma
• Gamma是期权的Delta对标的资产价格的偏导数， 也是期权价值对标的资产价格的二阶偏倒数 2 D G S S 2 • Gamma度量了期权Delta对标的资产价格变化的 敏感性，也度量了期权价值对标的资产价格的凸 性 1 D Dt G DS 2 2 • Gamma中性与Gamma对冲
– Delta中性：资产(或者组合)的Delta等于零 – 如果Delta为0.6,意味着股票价格变化DS,期权价格的变 化就是0.6DS –如果整个组合的Delta等于0,意味着什么?
• 动态对冲
– 由于资产的Delta通常是时间的函数，因此，为了实现 对冲目标，通常必须动态调整对冲工具头寸的数量
• 看涨期权价格的解
c S N (d1 ) Xer (T t ) N (d 2 )
d1 ln(S / X ) (r 2 / 2)(T t )
T t
ln(S / X ) (r 2 / 2)(T t ) d2 T t
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4
Gamma与股价的关系
X
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Gamma——欧式股票期权
Gamma与到期时间的关系
in the money at the money out of the money
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Gamma对冲
• 一个对冲组合是Gamma对冲的，意思就是这个组合的 Gamma为零，称为Gamma中性的。 • 见课本中关于Delta和Gamma中性的例子
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1
15章 期权的希腊字母
• 期权价值的决定因素包括股价、到期时间、波动 率、无风险利率以及执行价格，其中易变的因素 有四个：
– – – – 股价：Delta, Gamma 到期时间：Theta 波动率：Vega 无风险利率：Rho
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情景分析
• 维持各种中性需要连续的调整组合（假定各因素连续变 化），交易费会相当昂贵 • 期权交易者看中的是如何量化风险，而不是试图消除一切 风险 • 希腊字母常被用于量化风险，如果损失可以接受，则不调 整；如果损失风险不能接受，则需要构建一个组合头寸 • 除了希腊字母这些风险外，交易者经常采用情景分析：不 同情境下资产组合的损益 • 极端情景分析、VaR、蒙特卡洛模拟
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Delta
• Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了期权价 值对标的资产价格变化的敏感性
D c S
• 图示
S(0)
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Delta——无收益资产的欧式股票期权
• 利用BS公式，可以推导出
D c N d1
ห้องสมุดไป่ตู้
D p N d1 1 0
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回顾：Black-Scholes模型
• 看涨期权的价格（为欧式期权到期时期望值的现值）
ce
r (T t )
E[Max(ST X ,0)]
• 股票价格的概率分布
2 ln ST ~ ln S ( )(T t ), T t 2
2
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d1
ln( S / X ) ( r 2 / 2)
N (d1 ) 1 e d1 2
r
1 d12 2
d1 2 / 2 ln( S / X ) r
Xe
d1 N (d 2 ) 1 r Xe [ e e d 2 2 r N ( d1 ) ln( s / X ) r Xe e d1 1 d12 2
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练习
• 蒙特卡洛模拟几何布朗运动：假设初始价格为100 元的某股票的回报率服从漂移率为零，波动率为 10%的几何布朗运动，单位时间1被分为100等分， 模拟10次以上，并得到最终的价格分布。 • 计算：求欧式看涨期权的Theta和Vega
Dr. Fan
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如果Theta是较大的正数，Gamma就是很大的负数， 因此，Theta可以作为Gamma的替代指标使用。
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Vega
• Vega是期权的价值对标的资产波动率的偏导数， 度量了期权价值对标的资产波动率的敏感性
Vega
• 欧式期权的Vega
Vegac Vega p S0 T N (d1 )
– 买权
rhoc Te rhoc Te
rf T
S0 N (d1 )
– 卖权
rf T
S0 N (d1 )
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Rho——欧式股票:与股价的关系
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Rho——欧式股票买权:与到期时间 的关系
out of the money at the money in the money
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Delta对冲
• 例子：BSM随机微分方程的推导
– 1个单位衍生工具空头， f 份股票
S
– BS采用Delta对冲方法，建立起包含期权的Delta中性 头寸
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Theta——定义
• Theta是期权价值对时间的偏导数，度量了期权价 值随时间衰减的速度
– 有时也称为证券组合的时间损耗
2
2
]
Xe
r
N (d1 ) S r N (d1 ) e S d1 X d1
C 所以，最后两项相等，则 N (d1 )，命题成立。 S
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各种产品的Delta
• 远期合约：D=1 X为远期的交割价，当一个远期生效时，远期价 格等于合约规定的交割价格，远期价格F就是f=0 的X值 r f (T t )
Dr. Fan
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Delta、Theta 和Gamma的关系
Black-Scholes微分方程表达式为：
2 f f 1 f 2 2 rS S rf 2 t S 2 S
Theta
Delta
Gamma
对于Delta中性组合来说，Delta=0，所以得出以下式子：
2 f 1 f 2 2 S rf 2 t 2 S
f (t ) S (t ) Xe
• 无收益资产的欧式期权：买权：N(d1)；卖权- N(-d1) • 其余支付红利率为q、股指期权、外汇期权、期货期权只要 根据定价公式即可得到其Delta值 n • 衍生证券组合的Delta
D wi D i
i 1
Dr. Fan
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Delta对冲
• 定义：建立对冲工具头寸，使得对冲工具头寸与 要保护的头寸的Delta等于零
2
期权的希腊字
期权的希腊字是指当公式的一个投入（参数）变化一单位而其它 投入保持不变时期权价值的变化。希腊字度量的重要用途之一 是评估风险的暴露。希腊字度量可以用于计算任何种类在下资 产上的期权，而不仅仅是股票期权上。 希腊字的定义 • delta（D）度量当股票价格增加1美元时期权价格的变化。 • gamma（G）度量当股票价格增加1美元时D的变化。 • vega度量当波动率有一个百分点的增加时期权价格的变化。 • theta（）度量当生命期减少1天时期权价格的变化。 • rho（）度量当利率有一个百分点（100个基差点）的增加时 期权价格的变化。
• Delta与股价的关系 1
S(0)
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• 命题：欧式看涨期权的Delta=N(d1)
N (d1 ) d1 c r N ( d 2 ) d 2 证明： N (d1 ) S Xe S d1 S d 2 S d1 d 2 由于 ,则 S S Xe
– 买权
– 卖权
r
• 标的股票不支付红利的欧式期权
rhoc XTe rT N (d2 )
rho p XTerT N (d2 )
• 组合的Rho为零称为Rho对冲
Dr. Fan 27
Rho——外汇期权
• 外汇期权涉及本币利率与外币利率，因此，有两 个rho，一个对应于本币利率(见上一页)，另一个 对应于外币利率
• 单个期权的Theta几乎总是负值，因为随着到期日 的临近，期权往往是变得越不值钱(若其他因素不 变,而仅仅时间改变) • 与股价呈随机波动不同，距离到期的时间是一个 完全确定的量，无需进行对冲
– 换句话说，未来股价是不确定的，因而需要对冲；但时 间走向却没有不定性，无需对冲。
Dr. Fan 13
r
N (d 2 ) 1 r Xe （ e ） d 2 2
2 d2 2
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Xe r 1 2 exp( (d1 2 d1 2 )) 2 2 1 Xe [ e 2
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Theta——欧式股票期权
• 欧式股票期权的Theta
– 买权
c
– 卖权
S0 N (d1 ) 2 T S0 N (d1 ) 2 T
rXe rT N (d 2 ) rXe
rT
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N (d 2 )
Dr. Fan
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Theta——欧式股票期权
Theta与股价的关系 X
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Vega——与股价的关系
X
Dr. Fan 24
Vega——与到期时间的关系
in the money at the money out of the money
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Vega对冲
• 组合的Vega为零称为Vega对冲 • 一般Vega和Gamma不能同时实现对冲 • Vega中性与Vega对冲
• 根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项
Delta Theta Vega Rho
c c c c 1 2c 2 Dc Ds Dt D Dr ( D s ) (3) 2 s t r 2 S
这里省略S的下标t Gamma
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Gamma
• Delta对冲，只有在股票价格小幅度变化时才时有 效的.
• 当股票价格出现大幅度变化时，对冲组合就必须 考虑2阶导数, 即Gamma. 否则, 维持原来的Delta 就会出现风险。 • 即:
– Gamma变化较小时，Delta变化变化缓慢，一般不需要 频繁调整头寸。 – Gamma较大时，对冲组合的Delta对标的资产相当敏感， 若不调整Delta则风险较大。
– 由于标的资产及其远期、期货合约的Vega都等于零， 因此，不能用来改变投资组合的Vega – 要改变投资组合的Vega ，必须使用那些Vega不等于零 的工具，例如期权 – 见课本相关例子
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Rho
• Rho是期权价值对无风险利率的偏导数，度量了期 权价值对利率变化的敏感性
rho
– 由于标的资产及其远期、期货合约的Gamma都等于零， 因此，不能用来改变投资组合的Gamma – 要改变投资组合的Gamma，必须使用那些价格与标的 17
Dr. Fan
Gamma——欧式股票期权
欧式股票期权的Gamma
Gc G p
N (d1 ) S0 T
Dr. Fan
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Gamma——欧式股票期权
Dr. Fan
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Gamma
• Gamma是期权的Delta对标的资产价格的偏导数， 也是期权价值对标的资产价格的二阶偏倒数 2 D G S S 2 • Gamma度量了期权Delta对标的资产价格变化的 敏感性，也度量了期权价值对标的资产价格的凸 性 1 D Dt G DS 2 2 • Gamma中性与Gamma对冲
– Delta中性：资产(或者组合)的Delta等于零 – 如果Delta为0.6,意味着股票价格变化DS,期权价格的变 化就是0.6DS –如果整个组合的Delta等于0,意味着什么?
• 动态对冲
– 由于资产的Delta通常是时间的函数，因此，为了实现 对冲目标，通常必须动态调整对冲工具头寸的数量
• 看涨期权价格的解
c S N (d1 ) Xer (T t ) N (d 2 )
d1 ln(S / X ) (r 2 / 2)(T t )
T t
ln(S / X ) (r 2 / 2)(T t ) d2 T t
Dr. Fan
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Gamma与股价的关系
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Dr. Fan 19
Gamma——欧式股票期权
Gamma与到期时间的关系
in the money at the money out of the money
Dr. Fan
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Gamma对冲
• 一个对冲组合是Gamma对冲的，意思就是这个组合的 Gamma为零，称为Gamma中性的。 • 见课本中关于Delta和Gamma中性的例子