最全三角函数的图像与性质知识点总结

三角函数的图像与性质

一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质

二、正切函数的图象与性质

函数 y ＝sin x y ＝cos x

图 象

定义域 R R 值域

[－1,1]

[－1,1]

单调性

递增区间：2,2()

2

2k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣

⎦

递减区间：32,2()2

2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣

⎦

递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z )

递减区间：[2k π，2k π＋π]

(k ∈Z )

最 值

x ＝2k π＋π2

(k ∈Z )时，y max ＝1；

x ＝2k π－π2

(k ∈Z )时，y min ＝－1

x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；

x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1

奇偶性 奇函数

偶函数

对称性

对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点）

对称轴：x ＝k π＋π

2

，k ∈Z

对称中心：(k π＋π

2，0)(k ∈Z )

对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴）

最小正周期

2π

2π

定义域 {|,}2

x x k k Z π

π≠

+∈

值域 R

单调性

递增区间(,)()2

2

k k k Z ππππ-+∈

奇偶性 奇函数

对称性

对称中心：(

,0)()2

k k Z π

∈（含原点）

最小正周期 π

三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换

1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象

x y sin =

方法一：先平移后伸缩

方法二：先伸缩后平移 操作 向左平移φ个单位

横坐标变为原来的1

ω倍

结果 )sin(ϕ+=x y

x y ωsin =

操作 横坐标变为原来的1

ω倍

向左平移ϕ

ω个单位

结果 )sin(ϕω+=x y

操作 纵坐标变为原来的A 倍

结果

)sin(ϕω+=x A y

注意：定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。

2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质 （1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：

将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出；

（2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：

)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2

ππϕ±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ω

π2=T

3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义

(1) A 称为振幅；

(2)2T πω=称为周期；

(3)1f T

=称为频率；

(4)x ωϕ+称为相位； (5)ϕ称为初相

(6)ω称为圆频率.