教学设计：一元二次方程的解法公式法-
21.2.2-一元二次方程的解法(2)公式法
(2) m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？ 解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
b c x x （2）方程两边同除以a，得 a a
2
.
b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a ∵a≠0, 4a2>0,
b 2 4ac 0, 2 ∴当b2－4ac≥0时， 4a
b b2 4ac ∴ x . 2a 2a
b b2 4ac x . 2a
2
2 0 a 0）. 对于方程 ax bx c （
2 ax bx c . （1）将常数项移到方程的左边，得
b 2 ( ) 2a ，得 （3）方程两边同时加上_______ b b 2 c b 2 2 x x( ) ( ) . a 2a a 2a 左边写成完全平方式，右边通分，得 b 2 b 2 4ac (x ) . 2 2a 4a （4）开平方…
（3）
（ 4）
六、拓展练习 提升新知
(1)、若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有 两个实数根，则m的取值范围是 （ D ）
A 、 m ﹥0 C 、 m ﹥ 0 且m≠1 B、 m≥0 D m ≥0且m≠1
解：由题意，得 m-1≠0① ⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0② 解之得，m﹥0且m≠1，故应选D
解 a 1, b 4, c 7
△ b 2 4ac 4 4 1 (7) 44 0.
2
方程有两个不相等的实数根： b b 2 4ac x 2a 4 44 4 2 11 . 2 1 2 2 11
《一元二次方程》数学教案(优秀5篇)
《一元二次方程》数学教案（优秀5篇）元二次方程教案篇一教学设计思想解一元二次方程有四种方法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，这四种方法各有千秋。
直接开平方法很简单，在这里不做过多的介绍。
为保证学生掌握基本的运算技能，教学中进行了一定量的训练，但要避免学生简单的模仿。
我们在探究一元二次方程解法的过程中，要加强思想方法的渗透，发展学生的思维能力。
在解一元二次方程的几种方法中，均需要用到转化的思想方法。
如配方法需要将方程转化为能直接开平方的形式，公式法能根据一元二次方程转化为两个一元一次方程，所有这些均体现了转化的思想。
在教学时老师引导学生在主动进行观察、思考核探究的基础上，体会数学思想方法在其中的作用，充分发展学生的思维能力。
教学目标知识与技能：1.会用配方法、公式法、因式分解法解简单数字系数的一元二次方程。
2.能够根据一元二次方程的特点，灵活选用解方程的方法，体会解决问题策略的多样性。
过程与方法：1.参与对一元二次方程解法的探索，体验数学发现的过程，对结果比较、验证、归纳、理清几种解法之间的关系，并能根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
2.在探究一元二次方程的过程中体会转化、降次的数学思想。
情感态度价值观：在解一元二次方程的实践中，交流、总结经验和规律，体验数学活动乐趣。
教学重难点重点：掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的步骤，并熟练运用上述方法解题。
难点：根据方程的特点灵活选择适当的方法解一元二次方程。
教学方法探索发现，讲练结合元二次方程教案篇二一、教学目标1．使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。
2．通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。
3．通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。
二、重点·难点·疑点及解决办法1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。
一元二次方程的解法(公式法)教案
一元二次方程的解法（公式法）一、教学目标：1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；2.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程；3.经历探索求根公式的过程，发展学生合情合理的推理能力；4.通过运用公式法解一元二次方程，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心。
二、教学重难点：1、重点：求根公式的推导和公式法的应用2、难点：一元二次方程求根公式的推导三、教学过程（一） 创设情境，导入新课：前面我们己学习了用配方法解一元二次方程，想不想再探索一种比配方法更简单，更直接的方法？ 大家一定想，那么这节课我们一同来研究。
下面我们先用配方法解下列一元二次方程1．01422=--x x 2.x x 35.12-=+完成后小组内进行交流，并进行反馈矫正。
引导学生总结用配方法解一元二次方程的步骤教师板书：（1）移项；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；（4）原方程变形为()n m x =+2的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．问题：通过以上四个方程的求解，你能试着猜想一下上述问题的求解的一般规律吗？学生独立思考（二）新知探索作进一步引导，如果每一个一元二次方程都通过配方法解，那么计算就较繁杂，针对于一般的一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ） 能否也用配方法导出一般求解模式呢？动手试一试。
学生动手亲自解方程02=++c bx ax （0≠a ） 找一名同学板演。
现在我们大家共同观察黑板上的探索过程02=++c bx ax （0≠a ）c bx ax -=+2移项ac x a b x -=+2 将二次项的系数化为1 22222⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++a b a c a b x a b x 即 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 配方 a ac b a b x 2422-±=+ 开平方运算思考：有条件限制吗？当04422≥-aac b 时,才可以开平方 问题1：在什么2244b aca -才能大于或等于0？学生（思考、回答）因为0≠a 所以042>a ，如果使 04422≥-a ac b ，那么只有 042≥-ac b问题2:如果 042<-ac b 时，可以进行开平方运算吗？不可以，因为负数没有平方根那么我们来总结一下，在用配方法解02=++c bx ax （0≠a ）时，需注意什么？归纳总结：对于02=++c bx ax （0≠a ），当042≥-ac b 时，在这里我们把称 为一元二次方程的求根公式，用公式可以直接解一元二次方程。
用公式法求解一元二次方程教学设计
第二章一元二次方程３．用公式法求解一元二次方程（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.学生活动经验基础：学生已经具备利用配方法解一元二次方程的经验；学生通过《规律的探求》、《勾股定理的探求》、《一次函数的图像》中一次函数增减性的总结等章节的学习，已经逐渐形成对于一些规律性的问题，用公式加以归纳总结的数学建模意识，并且已经具备本节课所需要的推理技能和逻辑思维能力.二、教学任务分析公式法实际上是配方法的一般化和程式化，然后再利用总结出来的公式更加便利地求解一元二次方程。
所以首先要夯实上节课的配方法，在此基础上再进行一般规律性的探求——推导求根公式，最后，用公式法解一元二次方程。
其中，引导学生自主的探索，正确地导出一元二次方程的求根公式是本节课的重点、难点之一；正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解方程，提高学生的综合运算能力是本节课的另一个重点和难点。
为此，本节课的教学目标是：①在教师的指导下，学生能够正确的导出一元二次方程的求根公式，并在探求过程中培养学生的数学建模意识和合情推理能力。
②能够根据方程的系数，判断出方程的根的情况，在此过程中，培养学生观察和总结的能力.③通过正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
④通过在探求公式过程中同学间的交流、使用公式过程中的小技巧的交流，进一步发展学生合作交流的意识和能力三、教学过程分析本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固；第二环节：探究新知；第三环节：巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。
第一环节；回忆巩固活动内容：①用配方法解下列方程：(1)2x 2+3=7x (2)3x 2+2x+1=0全班同学在练习本上运算,可找位同学上黑板演算②由学生总结用配方法解方程的一般方法:第一题： 2x2+3=7x解：将方程化成一般形式: 2x2-7x +3=0两边都除以一次项系数:2 023272=+-x x配方:加上再减去一次项系数一半的平方 0231649)47(2722=+-+-x x即: 01625)47(2=--x1625)47(2=-x两边开平方取“±” 得：4547±=-x 4547±=x写出方程的根 ∴ x1=3 , x2=21第二题： 3x2+2x+1=0解：两边都除以一次项系数:3 031322=++x x配方:加上再减去一次项系数一半的平方 02391)31(3222=+-++x x即: 01825)31(2=++x1825)31(2-=+x ∵01825<-∴原方程无解活动目的：（1）进一步夯实用配方法解方程的一般步骤.在这里相对于书上的解题方法作了小小的改动：没有把常数项移到方程右边，而是在方程的左边直接加上再减去一次项系数一半的平方，这样做的目的是为了与以后二次函数一般式化顶点式保持一致。
《解一元二次方程》教学设计【优秀9篇】
《解一元二次方程》教学设计【优秀9篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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初中数学_用公式法求解一元二次方程教学设计学情分析教材分析课后反思
九年级上第二章一元二次方程３．用公式法求解一元二次方程（一）教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一：创设情境导入新课【课堂引入】多媒体出示问题：1、我们把__ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2称为二次项，bx称为一次项，c称为常数项，a称为二次项系数，b称为一次项系数．2、把下列方程化为一般形式，并填表方程 a b c处理方式：教师用多媒体出示问题，引导学生阅读后填空，然后让学生说一说用配方法解方程的步骤．针对学生的基本学情，从一元二次方程的基本概念引入，复习abc的取值，并回忆归纳总结配方法解一元二次方程的一般步骤，为下面的学习做好铺垫.活动二：实践探究交流新知活动内容2：(多媒体出示)教师：提出问题：用配方法一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．学生在演算纸上自主推导，并针对自己推导过程中遇见的问题在小范围内自由研讨．最后由师生共同归纳、总结，得出求根公式．解：移项，得ax2＋bx＝－c.二次项系数化为1，得x2＋ba x＝－ca.配方，得x2＋ba x＋⎝⎛⎭⎫b2a2＝－ca＋⎝⎛⎭⎫b2a2，即⎝⎛⎭⎫x＋b2a2＝b2－4ac4a2.(提示：这时能不能开方解方程？为什么？进而引导学生讨论b2－4ac的值对解方程的影响)当b2－4ac＞0时，直接开平方，得x＋b2a＝±b2－4ac2a，即x＝－b±b2－4ac2a，∴x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a.当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根．当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．处理方式：由学生在练习本上独立完成，对于个别有困难的学生教师指导点拨．然后教师点评并在黑板上展示推导把握求根公式的关键是掌握公式的推导过程，掌握推导过程的关键是掌握配方法．让学生自主探索一元二次方程的求根公式，一方面可以巩固配方法，另一方面对配方后开方需要满足的条件先由学生独立判断，再经过教师引导，学生将会印象深刻，有助于理解求根公式．只有亲身经历公式的推导过程，才能发现问题、汲取教训、总结经验，形成自己的认识．才能在集体交流的时候，有感而发．通过例题的练习和讲解，使学生在使用公式法解一【直击中考】1、（2016•昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定2、（2016•丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0C．x2﹣1=0D．x2﹣2x﹣1=03、（2016•营口）若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k≥﹣1B．k＞﹣1C．k≥﹣1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错.拓展提升，最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，实现教学目标.活动四：课堂总结反思通过这节课的学习，你有哪些收获？1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何判断一元二次方程根的情况3.公式法求解一元二次方程的一般步骤有哪些？学生畅谈自己的收获！师生共同总结公式法求解一元二次方程的一般步骤：(1)把方程化为一般形式，进而确定a，b，c的值；(注意符号)(2)求出b2－4ac的值；(先判别方程是否有根)(3)在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入求根公式，求出－b±b2－4ac2a的值，最后写出方程的根．当b2－4ac<0时，方程没有实数根．【当堂检测】1.不解方程，判断方程根的情况2.用公式法解方程课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学知识进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈、自主发展的意识.当堂检测，及时反馈学习效果.【知识网络】提纲挈领，重点突出.学情分析：1、学生的知识技能基础：学生通过前几节课的学习，认识了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a ≠0),并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在上一节课的基础上，大部分学生能够利用配方法解一元二次方程，但仍有一部分认知较慢、运算不扎实的同学不能够熟练使用配方法解一元二次方程.利用配方法解方程时，有不少题计算起来非常麻烦，已经有学生迫切的想学习更为简洁的解方程的方法。
初中数学初二数学下册《一元二次方程的解法》教案、教学设计
（三）情感态度与价值观
1.培养学生勇于探索、善于思考的精神，增强学生克服困难的信心。
2.培养学生合作交流的意识，让学生在合作中学会倾听、表达和尊重他人。
3.培养学生严谨、认真的学习态度，提高学生的数学素养。
4.引导学生体会数学在生活中的应用，感受数学的价值，激发学生学习数学的兴趣。
初中数学初二数学下册《一元二次方程的解法》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一元二次方程的标准形式，掌握其基本性质。
2.学会使用直接开平方法求解一元二次方程，并掌握其适用条件。
3.学会使用配方法求解一元二次方程，理解其原理和步骤。
4.学会使用公式法求解一元二次方程，并熟练运用公式。
5.能够根据问题情境选择合适的解法求解一元二次方程，提高解决问题的能力。
（2）开展数学实践活动，让学生在实际操作中体验数学的乐趣和价值。
（3）鼓励学生参加数学竞赛、讲座等活动，拓宽学生的知识视野。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
（1）通过一个实际问题引入一元二次方程，如：一块正方形菜地的边长比它的面积多1，求这块菜地的边长。让学生尝试用已学过的知识解决问题，引导学生发现一元一次方程无法解答该问题。
2.难点：
（1）理解并掌握配方法的原理和步骤，特别是如何通过添加和减去同一个数使方程变形。
（2）熟练运用求根公式求解一元二次方程，并理解公式中各个参数的含义。
（3）在实际问题中，能够根据方程的特点选择合适的解法。
（二）教学设想
1.对于重点内容的教授：
（1）通过实际例题引入，让学生感受一元二次方程解法的必要性，激发学生的学习兴趣。
数学教案一元二次方程的应用(6篇)
数学教案一元二次方程的应用（6篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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解一元二次方程——公式法--教学设计
人教版 初中数学 九年级上册§21.2.2解一元二次方程——公式法《解一元二次方程——公式法》教学设计一、内容和内容解析：本节是在学生掌握了直接开平方法、配方法基础上，完成一元二次方程求根公式的推导.在推导求根公式的过程中，从)0(02≠=++a c bx ax 到()p n x =+2，是配方法求解方程的推广，体现了从具体到抽象的过程；而推导的结果，是将求解方程的配方过程转化为代数式求值过程，体现了化归思想.公式法是配方法解一元二次方程一般形式的结果，直接适用于所有的一元二次方程，正是这抽象的一般形式才具有广泛的应用价值.教学重点：理解一元二次方程求根公式的推导过程；使用公式法求解一元二次方程. 教学难点：运用分类讨论正确推导求根公式，突破分式的开平方运算.二、目标和目标解析：1. 经历一元二次方程的求根公式的推导过程，应用化归思想把一元二次方程的一般形式转化为()p n x =+2的形式，实现从“二次”方程降为“一次”方程，体会转化、分类、类比的数学思想.2. 通过推导求根公式，培养了学生的计算能力和推理能力，感受了数学公式的简洁美、对称美.3. 掌握公式结构，会运用求根公式进行求解一元二次方程.三、教学问题诊断分析：学生通过之前直接开平方法、配方法解一元二次方程的学习，对于降次化归的理论依据（开平方）以及基本思路（将一元二次方程降次求解）已比较熟悉.根据已有的调查，普通初三学生在用配方法解方程()200ax bx c a ++=≠，结果仅有约为7.5%推导过程完全正确，而83.6%的错误都是出在未对代数式24b ac -进行分类讨论.四、教学支持条件分析：在教学中运用类比方法，通过求解两个具体的一元二次方程，以此复习巩固配方法，再用配方法把一元二次方程的一般形式转化为()p n x =+2，为用配方法推导求根公式作好准备.由于对根的判别式的分类讨论及其代数式的运算复杂，因此在教学中教师注重引导分析，层层推进，推导过程中字母、符号多，分式运算复杂,让学生自己先推导，再小组讨论完善推导过程，经过多次思维碰撞，有利于学生理解和记忆公式，同时培养学生的运算能力.五、教学流程展示：用配方法求解一元二次方程：(1)0742=--x x (2)2470x x -+= 从数到式，用配方法求解：20(0)ax bx c a ++=≠问题1：能否直接进行开平方运算？222424b b ac x a a -⎛⎫+=⎪⎝⎭问题2：2244b aca -分式一定是非负数吗？剖析公式：1.公式之美——求根公式包含初中阶段学过的所有运算；2.公式实质——把配方法化归为代数式求值求解一元二次方程；3.根的判别式——由24b ac -的值正、负或为零可以判断根的情况.六、教学过程设计：2.以填空的形式帮20b 4a ac ≠∴-所以只讨论的非负性12211,211x x =+=-242(4)4421211b b ac x a-±-=--±=⨯=±七、目标检测设计：预计时间 （分）教学内容教师活动 学生 活动 设计意图15学以致用，深化认识 1.不解方程判断下列方程根的情况(1) 2470x x --= (2)2470x x -+= 2.用公式法解方程 (1) 222210x x -+= (2) 2351x x x -=+ (3) 2178x x +=3. 用流程图梳理公式法求解一元二次方程的一般步骤.4.课堂测试反馈 （1）填空： ①方程21304x x --= 有_______实数根.②方程248411x x x ++=+根的判别式结果为______，方程_______实数根.（2）解下列方程 ①2460x x -= ②(24)58x x x -=-要求学生使用公式法求解各类一元二次方程： 解：（1）a=1,b=-4,c=-7 △=24b ac -=2(4)41(7)--⨯⨯-=44>0方程有两个不等的实数根：流程图展示用公式法求根的过程，再次深化公式法的本质就是代数式求值的过程.会用公式法解一元二次方程.会正确使用公式法解一元二次方程.1.在用公式法求解方程的过程中，深化学生对求根公式的认识，体会公式法的实质就是代数式求值的过程.而例题1正是复习引用的题目，凸显根的判别式的意义，也是公式法解方程关键的第一步.2.规范学生使用公式法求解的步骤，这也是正确求解方程的要求.通过课堂测试，及时反馈学生的学习情况。
一元二次方程的解法教学设计
一元二次方程的解法教学设计教学设计：一元二次方程的解法一、教学目标：1.理解一元二次方程的定义和形式；2.能够正确列出一元二次方程的解法；3.熟练掌握解一元二次方程的方法；4.能够独立解答一元二次方程的相关练习和问题。
二、教学准备：1.教师准备：教材、黑板、粉笔等；2.学生准备：纸和笔。
三、教学过程：Step 1: 引入知识（10分钟）1. 教师向学生介绍一元二次方程的定义，即形如"ax^2 + bx + c = 0"的方程。
2.教师通过几个例子向学生展示一元二次方程的一般形式。
3.教师询问学生是否了解一元二次方程的解法。
Step 2: 解法一：因式分解法（30分钟）1.教师通过示例向学生介绍通过因式分解法解一元二次方程的步骤。
2.教师指导学生利用因式分解法解一些简单的一元二次方程。
3.学生进行练习并解答一些相关问题。
Step 3: 解法二：配方法（30分钟）1.教师向学生介绍使用配方法解一元二次方程的步骤。
2.教师指导学生利用配方法解一些简单的一元二次方程。
3.学生进行练习并解答一些相关问题。
Step 4: 解法三：求根公式法（30分钟）1.教师向学生介绍使用求根公式法解一元二次方程的步骤。
2.教师指导学生利用求根公式法解一些简单的一元二次方程。
3.学生进行练习并解答一些相关问题。
Step 5: 解法比较与实战演练（30分钟）1.教师与学生一起讨论各种解法的优缺点。
2.教师通过实例向学生展示如何根据实际问题选择合适的解法。
3.学生进行一些实战演练，并利用所学解法解答问题。
四、教学延伸：1.可利用个别习题或考试模拟题进一步巩固学生对一元二次方程解法的理解和应用能力。
2.可考虑将一元二次方程的解法与实际问题相结合，进行更深入的讨论和应用。
3.可进行小组合作学习，让学生相互交流，共同解答一些较复杂的一元二次方程问题。
五、教学总结：通过本节课的学习，学生们掌握了一元二次方程的定义，以及因式分解法、配方法和求根公式法等解方程的方法。
一元二次方程解法公式法
《一元二次方程的解法—公式法》教学设计教学目标：知识与技能：1、了解求根公式的推导过程，掌握求根公式；2、正确、熟练地运用公式法来解一元二次方程。
3、尝试合理选用解法解一元二次方程。
过程与方法：自主导学与合作讨论相结合，经历观察、推导、交流归纳等活动导出解一元二次方程的方法——公式法。
情感、态度与价值观：1、通过求根公式的推导，体会数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想。
2、逐步养成的独立思考的习惯，同时又要培养具有合作交流的意识。
教学重点：正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解一元二次方程， 教学难点：1、正确地推导出一元二次方程的求根公式；2、理解 b 2-4ac 对一元二次方程根的影响。
教学流程：一、复习1、用配方法解一元二次方程；2x 2+5=4x2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？二、探究1、引入：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为呢？教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，因为0a ≠，方程两边都除以a ，得20b c x x a a ++= 移项，得 2b c x x a a +=-配方，得2222()()222b b b c x x a a a a ++=- 即2224()24b b ac x a a -+= 2、讨论交流：（1）、4a 2的取值情况有哪些？b 2-4ac 的取值情况有哪些？（2）、当b 2-4ac ＜0时，方程有实数根吗？当b 2-4ac=0呢？当240b ac -≥，且0a ≠时，2244b aca -大于等于零吗？让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当240b ac -≥时，因为0a ≠，所以240a >，从而22404b ac a -≥。
让学生讨论、交流，从中得出结论，当240b ac -≥时，一般形式的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根为22b x a a +=±，即2b x a -±=。
公式法解一元二次方程教案
公式法解一元二次方程教案小编导语：公式法解一元二次方程教案是小编为你准备的有关二元一次方程解法的相关内容。
希望同学们能够通过以下内容掌握二元一次方程的解法。
以下就是公式法解一元二次方程教案，供你学习参考!【学习目标】1.了解一元二次方程的含义.2.初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如(x-a)2=b(b≥0)的方程.3.初步掌握用配方法解一元二次方程，会用配方法解数字系数的一元二次方程.4.掌握一元二次方程的求根公式的推导，能够运用求根公式解一元二次方程.【主体知识归纳】1.整式方程方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程.2.一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程.3.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项.4.直接开平方法形如x2=a(a≥0)的方程，因为x是a的平方根，所以x=± ，即x1= ，x2=- .这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.5.配方法将一元二次方程ax2+b x+c=0(a≠0)化成(x+ )2= 的形式后，当b2-4ac≥0时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1;(2)将常数项移到方程右边;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方;(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根.6.公式法用一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x= (b2-4ac≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.【基础知识讲解】1.一元二次方程的概念包涵三个条件：(1)整式方程;(2)方程中只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2”.一元二次方程的概念中“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”是对化成一般形式之后而言的.例如，判断方程2x2+2x-1=2x2是否是一元二次方程?应先整理方程，得2x-1=0，所以此方程不是一元二次方程.2.在求二次项、一次项和常数项时，要先整理方程，把方程化成一般形式，即ax2+bx+c=0，再确定所求.方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时，才是一元二次方程，例如a=0，b≠0时，它就是一元一次方程，因此，如果明确指出ax2+bx+c=0是一元二次方程，那么就一定包括a≠0这个条件.3.直接开平方法适用于解化为x2=a形式的方程，当a≥0时，方程有实数解;当a0时，方程没有实数解.4.配方法是先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解;如果右边是负数时，方程无实数解.5.求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，代入公式求出方程的根;当b2-4ac0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了.【例题精讲】例1：指出下列方程中哪些是一元二次方程：(1)5x2+6=3x(2x+1);(2)8x2=x;(3)y3-y-1=0;(4)4x2-3y=0;(5)-x2=0;(6)x(5x-1)=x(x+3)+4x2.剖析：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，化成一般形式，然后再根据条件：①整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数为2.只有当这三个条件缺一不可时，才能判断为一元二次方程.解：(1)去括号，得5x2+6=6x2+3x，移项、合并同类项，得x2+3x-6=0，∴此方程是一元二次方程.(2)移项，得8x2-x=0，∴此方程是一元二次方程.(3)因为未知数的最高次数是3，∴此方程不是一元二次方程.(4)∵方程中含有两个未知数，∴它不是一元二次方程.(5)∵a=-1≠0，∴它是一元二次方程.(6)整理，得4x=0∴它不是一元二次方程.例2：写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)2x2=3x+5;(2)(x+1)(x-1)=1;(3)(x+2)2-4=0.剖析：虽然该题没有要求把方程化成一般形式，但在做题时，也要先把方程化成一般形式.因为方程的二次项系数、一次项系数及常数项是在方程为一般形式下的，所以必须先整理方程.解：(1)整理，得2x2-3x-5=0.二次项系数是2，一次项系数是-3，常数项是-5.(2)整理，得x2-2=0.二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是-2.(3)整理，得x2+4x=0.二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0.例3:关于x的整式方程(m-1)x2+(2m-1)x+4=0是一元二次方程吗?剖析：要判别原方程是否是一元二次方程，易想到用定义，满足条件：(1)整式方程;(2)方程中只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.原方程显然满足(1)、(2).由于不知m是怎样的实数，所以不一定满足(3).因此，需分类探讨.解：当m-1≠0，即m≠1时，原方程是一元二次方程.当m-1=0，即m=1时，原方程是x+4=0是一元一次方程.说明：在移项、合并同类项时，易出现符号错误，需格外小心，要认真区别题目要求是指出方程的各项还是各项系数.特别要小心当某项的系数为负数时，指出各项时千万不要丢负号.例4:用直接开平方法解下列方程：(1)3x2-27=0;(2)(3x-5)2-7=0.解：(1)3x2-27=0，3x2=27，x2=9，∴x=± ，即x=3或x=-3.∴x1=3，x2=-3.(2)(3x-5)2-7=0，(3x-5)2=7，∴3x-5=± ，即3x-5= 或3x-5=- .∴x1= ，x2= .例5：用配方法解方程2x2+7x-4=0.剖析：此题考查对配方法的掌握情况.配方法最关键的步骤是：(1)将二次项系数化为1;(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边;(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x+a)2=k的形式，然后用开平方法求解.解：把方程的各项都除以2，得x2+ x-2=0.移项，得x2+ x=2.配方，得x2+x+( )2=2+( )2= ，即(x+ )2= .解这个方程，得x+ =± ，x+ =± .即x1= ，x2=-4.说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x为何实数，代数式2x2-4x+3的值恒大于零，可以做如下的变形：2x2-4x+3=2x2-4x+2+1=2(x-1)2+1.例6：用公式法解下列方程：(1)2x2+7x=4;(2)x2-1=2 x.解：(1)方程可变形为2x2+7x-4=0.∵a=2，b=7，c=-4，b2-4ac=72-4×2×(-4)=810，∴x= .∴x1= ，x2=-4.(2)方程可变形为x2-2 x-1=0.∵a=1，b=-2 ，c=-1，b2-4ac=(-2 )2-4×1×(-1)=160.∴x= .∴x1= +2，x2= -2.说明：在用公式法解方程时，一定要先把方程化成一般形式.例7：一元二次方程(m-1)x2+3m2x+(m2+3m-4)=0有一根为零，求m的值及另一根.解：因为方程有一根为零，所以它的常数项m2+3m-4=0，解得m1=1，m2=-4，又因为此方程是一元二次方程，所以m-1≠0，即m≠1，所以m=-4.把m=-4代入方程，得-5x2+48x=0，解得：x1=0，x2=9.6，所以方程的另一根为9.6.说明：方程有一根为零时，常数项必须为零;求解字母系数的一元二次方程的问题中，二次项系数的字母必须保证二次项系数不等于零，这是解此类问题的先决条件.【同步达纲练习】1.选择题(1)下列方程中是一元二次方程的是( )A. =0B. =0C.x2+2xy+1=0D.5x=3x-1(2)下列方程不是一元二次方程的是( )A. x2=1B.0.01x2+0.2x-0.1=0C. x2-3x=0D. x2-x= (x2+1)(3)方程3x2-4=-2x的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A.3，-4，-2B.3，2，-4C.3，-2，-4D.2，-2，0(4)一元二次方程2x2-(a+1)x=x(x-1)-1的二次项系数为1，一次项系数为-1，则a的值为( )A.-1B.1C.-2D.2(5)若方程(m2-1)x2+x+m=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是( )A.m≠0B.m≠1C.m≠1且m≠-1D.m≠1或m≠-1(6)方程x(x+1)=0的根为( )A.0B.-1C.0，-1D.0，1(7)方程3x2-75=0的解是( )A.x=5B.x=-5C.x=±5D.无实数根(8)方程(x-5)2=6的两个根是( )A.x1=x2=5+B.x1=x2=-5+C.x1=-5+ ，x2=-5-D.x1=5+ ，x2=5-(9)若代数式x2-6x+5的值等于12，那么x的值为( )A.1或5B.7或-1C.-1或-5D.-7或1(10)关于x的方程3x2-2(3m-1)x+2m=15有一个根为-2，则m的值等于( )A.2B.-C.-2D.2.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)4x+1=9x2; (2)(x+1)(x-3)=2x-3;(3)(x+3)(x-3)=2(x-3)2; (4) y2- y= y2- y+ .3.当m满足什么条件时，方程(m+1)x2-4mx+4m-2=0是一元二次方程?当x=0时，求m的值.4.用直接开平方法解下列方程：(1)x2= ;(2)x2=1.96;(3)3x2-48=0;(4)4x2-1=0;(5)(x-1)2=144;(6)(6x-7)2-9=0.5.用配方法解下列方程：(1)x2+12x=0; (2)x2+12x+15=0 (3)x2-7x+2=0;(4)9x2+6x-1=0; (5)5x2-2=-x; (6)3x2-4x=2.6.用公式法解下列方程：(1)x2-2x+1=0; (2)x(x+8)=16; (3)x2- x=2; (4)0.8x2+x=0.3;(5)4x2-1=0; (6)x2=7x; (7)3x2+1=2 x; (8)12x2+7x+1=0.7.(1)当x为何值时，代数式2x2+7x-1与4x+1的值相等?(2)当x为何值时，代数式2x2+7x-1与x2-19的值互为相反数?8.已知a，b，c均为实数，且 +|b+1|+(c+3)2=0，解方程ax2+bx+c=0.9.已知a+b+c=0.求证：1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根.10.用配方法证明：观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
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17.2一元二次方程的解法(公式法)
一、教学目标
1.知识与能力
理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．
2 能力训练要求
1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．
2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．
3. 情感感与态度
体会从一般到特殊的思维方式，养成严谨、认真的科学态度和学风
二、教学重点与难点
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．
三、教学过程
1、复习引入。
用配方法解下列方程 （1）
03832=-+x x
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）． （1）移项；
（2）二次项系数为1；
（3）程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为()n m x =+2
的形式；
（5）右边是非负数，就可以直接开平方求出方程 解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基
本步骤是相同的．因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程
02=++c bx ax
()0≠a ，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方
程时，就会方便简捷得多
这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式
2、探索新知
问题：刚才我们已经利用配方法求解了一个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程02=++c bx ax ()0≠a 呢?
解： 二次项系数化为1得：;02
=++
a
c
x a b x
移项，得： ;2a
c
x a b x -=+
配方得：
222)2()2(a
b
a c a
b x a b x +-=++
2
22
442a ac b a b x -=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+
能直接开平方吗？当b 2-4ac ≥0时 ∵b 2
-4ac ≥0且4a 2
>0
∴22
44b ac
a -≥0
直接开平方，得：x+2b
a
=
±
2a
即a
ac
b b x 242-±-=
∴x 1
x 2
由上可知，一元二次方程02=++c bx ax ()0≠a 的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax
2
+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子
x=
2b a
-就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
上面的式子称为一元二次方程的求根公式，利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。
例 1 解方程： x 2-7x-18=0 解：
a=1 b=-7 c=-18 b 2-4ac=(-7)2-4×(-18) =121＞0
2
121
7±=
x =
2117±
x1=9 x2=-2
例2：
X2+3=23X
解：
化简得：x2 -23x+3=0
a=1 b=-23c=3
b2-4ac=(-23)2-4x1x3=0
X1=X2=3
当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根
例3：
（x-2)(1-3x)=6
解：
化简得：3x2-7x+8=0
b2-4ac=-(-7)2-4x3x8=-47<0
所以此方程无解
3、用公式法解一元二次方程的步骤。
(1)把方程化为一般形式，进而确定a、
b b，c的值．
(2)求出b2-4ac的值．(先判别方程是否有根)
(3)在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，
求出
a ac
b b
2
4 2-
±
-的值，最后写出方程的根．
4、用公式法解下列方程：
（1）x2-5x+6=0
（2）2x2-3x-7=0
（3）3x2-x=1
拓展延伸
1、m取什么值时，方程x2+（2m+1）x+m2-4=0有两个相等的实数解。
2.已知关于x的方程x²+（2m+1）x-(2m-1)=0的一个根为1求m 的值.
5、小结
1、课我们学习了一元二次方程的求根公式的推导及其运用
要求同学们能理解熟记公式，能正确熟练地运用公式
a ac
b
b
x
2
4 2-
±
-
=
2、解一元二次方程应注意哪些？b2-4ac是否大于0？等于0？还是小于0？
6、作业
P28 1、2、3
教学反思
公式法解一元二次方程是学生在学习配方法后，进一步探究学习的一种适用性强，应用性广的解一元二次方程的方法，是每位学生通过学习完全可以掌握的一种方法，针对班级的实际情况和教材内容的特点，我在本课教学实施的过程中采用先复习的方法，再推导公式，然后讲例题的方法，最后再练习的方法。
学生参与度较广，积极性高。
本节课基本完成教学目标，学生能够熟练掌握。
一、教学设计方面：
先复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入利用配方法解一般形式的一元二次方程推导公式，在此步学习过程中，利用小组成员参差不齐的性质，要求一位同学在前面做，剩下的同学在下面做或小组讨论。
然后我和同学们一起推导出一元二次方程的求根公式，让每位学生在此环节都有不同的参与，避免了成绩差同学游离于课堂之外的现象，在获取公式之后，采用了传统的记忆方法，边读边写记忆公式三遍，自我总结运用公式法解一元二次方程的步骤和注意事项，同时教师有目的的设计了三个例题，第一个符合一般形式，第二有两个相等实数根，第三个无实数根，运用这三类型帮助学生归纳总结不同类型的方程处理方式，随同练习我又设计了三个题目，要求一名学生直接计算，其余学生在下面进行计算，目的让学生体会一元二次方程的解有三种情况。
最后我又设计了一个又一个两个拓展延伸题目，同时引导学生思考，学会探究。
二、教学实施方面：
1、公式法是解一元二次方程通用的方法，它适合所有的一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式，是用公式法解一元二次方程的关键.
由求根公式的推导过程可知，所以在讲本节课之前，很有必要复习一下前两种解法：直接开方法和公式法。
在用公式法解一元二次方程的时候，首先把方程化为一般形式，然后才能确定a、b、c的值；再计算b2－4ac的值，最后再代人求根公式即可求出原方程的根.
2、学生利用配方法推导公式的过程难度很大，出现的问题很多，让学生多练，值得我们注意。
3、本节课我讲的多，学生练得少，课后让学生们多练。
由于我对信息化教学还不熟练，因此漏洞很多。
4、本节课的内容相对比较枯燥，在教学环节的设置上缺乏一些创新，学习的积极性不高；对学生地鼓励性的语言过少，在今后的教学中，我应多设计新颖题目，多鼓励学生。
通过以上的反思，我将在以后的教学中对自己存在的优点我会继续保持，针对不足我将会不断地改进，使自己的课堂教学逐步走上一个新的台阶。
鼓励每个学生动手、动口、动脑，积极参与到数学的学习过程中来。
注意发挥学生的主题性，给学生留下充分的时间与空间进行活动。
通过实践与练习可以发挥学生的理解能力，巩固所学习的知识。