隐函数求导法

连续偏导数的反函数 u = u ( x,y ) , v = v ( x, y ).
2) 求 u = u ( x,y ) , v = v ( x, y ) 对 x , y 的偏导数.
解: 1) 令 F (x, y,u, v) ≡ x − x (u, v) = 0
G(x, y,u, v) ≡ y − y (u, v) = 0
22
例4. 设
xu− yv
= 0,
y u + x v = 1,
求
∂u , ∂u , ∂v , ∂v . ∂x ∂y ∂x ∂y
解: 方程组两边对 x 求导，并移项得
x ∂u − y ∂v = −u ∂x ∂x
y ∂u + x ∂v = −v ∂x ∂x
练习:
求
∂u ∂y
,
∂v ∂y
答案:
由题设 J = x − y = x2 + y2 ≠ 0 yx
dy dx
x=0
,
d2y dx2
x=0
解: 令 F (x, y) = sin y + ex − xy −1, 则
① Fx = ex − y, Fy = cos y − x 连续 , ② F (0,0) = 0,
③ Fy (0,0) = 1 ≠ 0
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
19
∂u = − 1 ∂(F,G) = − ∂x J ∂( x, v )
1 Fu Fv
Fx Fv Gx Gv
Gu Gv
∂u = − 1 ∂(F,G) = − 1
Fy Fv
∂y J ∂( y, v)
Fu Fv Gy Gv
Gu Gv
∂v = − 1 ∂(F,G) = − ∂x J ∂(u, x)
1 Fu Fv
4
∂2 ∂x
z
2
=0
∂2z ∂x2
=
1+
(∂z)2 ∂x
=
(2
−
z)2
+
x2
2−z
(2 − z)3
13
解法2 利用公式 设 F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 4z
则 Fx = 2x , Fz = 2z − 4
∴ ∂z = − Fx = − x = x ∂x Fz z − 2 2 − z
导的隐函数 y = f (x) , 且
7
dy dx
= − Fx x = 0 Fy
x
=
0=
−
ex − y cos y − x
= −1 x = 0, y = 0
d2y dx2 x = 0
= − d ( ex − y ) dx cos y − x
x = 0,
y = 0, y′ = −1
( ex − y′)(cos y − x) − (ex − y)(− sin y ⋅ y′ −1)
⎧F(x, y,u,v) = 0 ⎩⎨G(x, y,u, v) = 0
⎧u = u(x, y) ⎩⎨v = v(x, y)
由 F、G 的偏导数组成的行列式
J
= ∂(F,G) ∂(u, v)
=
Fu Gu
Fv Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
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定理3. 设函数 F (x, y,u, v), G(x, y,u, v) 满足: ① 在点 P(x0 , y0 ,u0 , v0 ) 的某一邻域内具有连续偏 导数；
两边对 x 求偏导
∂2z ∂x2
=
∂ ∂x
( 2
x −
) z
=
(2
− z) + x ∂z ∂x
(2 − z)2
=
(2
− z)2 + x2 (2 − z)3
14
例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程 F (x , y) = 0,
求 dz.
zz
15
例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 已知方程 F (x , y) = 0,
导数
dy = − Fx (隐函数求导公式) dx Fy
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
3
设 y = f (x) 为方程 F (x, y) = 0 所确定的隐函数 , 则 F (x, f (x)) ≡ 0 两边对 x 求导 ∂F + ∂F dy ≡ 0 ∂x ∂y dx 在(x0 , y0 )的某邻域内 Fy ≠ 0 d y = − Fx dx Fy
第七章
第五节 隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
1
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
例如, 方程 x2 + y + C = 0
当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数; 2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性 及求导方法问题 .
=
0
F1′⋅
(
zdx − z2
xd
z)
+
F2′
⋅
(
zd
y− z2
ydz)
=
0
xF1′+ yF2′ z2
dz
=
F1′dx +F2′ d y z
dz
=
x
F1′
z +
y
F2′
(F1′dx
+
F2′d
y)
17
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
10
设 z = f (x, y) 是方程 F (x, y) = 0 所确定的隐函数 , 则
F(x, y , f (x , y ) ) ≡ 0
同样可得
两边对 x 求偏导
Fx + Fz
∂z ∂x
≡0
在 (x0 , y0 , z0 ) 的某邻域内Fz ≠ 0
∂z = − Fx ∂x Fz
∂z = − Fy ∂ y Fz
2
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 F (x, y)在点 P(x0 , y0 )的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数;
② F (x0 , y0 ) = 0;
③ Fy (x0 , y0 ) ≠ 0 则方程 F (x, y) = 0 在点 x0 的某邻域内可唯一确定一个
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件 y0 = f (x0 ) , 并有连续
在点P
的某邻域内
系数行列式 J = Fu Fv ≠ 0, 故得 Gu Gv
21
∂ u = − 1 ∂(F,G) ∂x J ∂( x, v ) ∂ v = − 1 ∂(F,G) ∂x J ∂(u, x )
同样可得
∂ u = − 1 ∂(F,G) ∂ y J ∂( y , v ) ∂ v = − 1 ∂(F,G) ∂ y J ∂(u , y )
=−
( cos y − x )2
= −3
x=0 y=0 y′ = −1
8
导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y + ex − xy −1 = 0, y = y(x) 两边对 x 求导
cos y ⋅ y′+ ex − y − xy′ = 0 两边再对 x 求导
y′ x = 0 = − ex − y
∂u ∂x ∂v ∂x 0=∂ y⋅ ∂u +∂ y⋅ ∂v
②
∂u ∂x ∂v ∂x
26
注意 J ≠ 0, 从方程组②解得
Fu Fx Gu Gx
定理证明略. 仅推导偏导 数公式如 下：
Gu Gv
∂v = − 1 ∂(F,G) = − ∂y J ∂(u, y )
1 Fu Fv
Gu Gv
Fu Fy Gu Gy
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设方程组
⎧F ( ⎩⎨G(
x, x,
y,u, y,u,
v) v)
= =
0 0
有隐函数组
⎧u ⎩⎨v
= =
u (x, v (x,
11
例2.
设
x2
+
y2
+
z2
−
4z
=
0,
求
∂2z ∂x2
.
12
例2. 设 解法1
x2 + y2 + z2 − 4z 利用隐函数求导
=
0,
求
∂2z ∂x2
.
2x + 2z ∂z − 4 ∂z = 0 ∂x ∂x
∂z = x ∂x 2− z
再对 x 求导
2+
2(∂z )2+ ∂x
2
z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∂2 ∂x
z
2
−
邻域内有连续的偏导数,且 ∂(x, y) ≠ 0 ∂(u, v)
1)
证明函数组
⎩⎨⎧
x y
= =
x(u, v) y(u, v)
在与点
(u,
v)
对应的点
( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有
连续偏导数的反函数 u = u ( x,y ) , v = v ( x, y ).
2) 求 u = u ( x,y ) , v = v ( x, y ) 对 x , y 的偏导数.
cos y − x (0,0) = −1
− sin y ⋅ ( y′)2 + cos y ⋅ y′′ + ex − y′ − y′ − x y′′ = 0
令 x = 0 , 注意此时 y = 0 , y′ = −1
d2y dx2
x = 0 = −3
9
定理2 . 若函数 F (x, y, z)满足: ① 在点 P(x0, y0, z0)的某邻域内具有连续偏导数 , ② F(x0 , y0, z0) = 0 ③ Fz (x0 , y0, z0) ≠ 0
y) y)
,
则
⎧F (x, y,u (x, y),v (x, y)) ≡ 0
⎩⎨G(x, y,u (x, y),v (x, y)) ≡ 0
两边对 x 求导得
⎩⎨⎧
Fx + Gx +
Fu Gu
⋅ ⋅
∂u
∂x ∂u
∂x
+ +
Fv Gv
⋅ ⋅
∂v
∂x ∂v
∂x
=0 =0
这是关于 ∂u ∂x
,
∂v 的线性方程组, ∂x
25
则有 J = ∂ (F,G) = ∂ ( x, y ) ≠ 0, ∂ (u,v ) ∂ (u,v )
由定理 3 可知结论 1) 成立.
2) 求反函数的偏导数.
⎧ x ≡ x(u(x, y),v(x, y))
⎨ ⎩
y
≡
y (u ( x,
y), v( x,
y))
①
①式两边对 x 求导, 得
1= ∂x⋅ ∂u +∂x⋅ ∂v
4
若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,则还有 − Fx
二阶导数 :
Fy
d2y dx2
=
∂ (− Fx ) + ∂ (− Fx ) dy ∂x Fy ∂y Fy dx
xy x
=
−
Fxx
Fy − Fyx Fy2
Fx
−
Fx y
Fy − Fy Fy2
y
Fx
(−
Fx Fy
)
=
−
Fxx Fy 2
−
2Fxy Fx Fy Fy3
故有
∂ u = 1 − u − y = − xu + yv
∂x J −v x
x2 + y2
∂v = 1 ∂x J
x − u = − xv − yu
y −v
x2 + y2
∂u ∂y
=
−
yu − xv x2 + y2
∂v ∂y
=−
xu + x2 +
yv y2
23
例5.设函数 x = x (u , v), y = y (u , v)在点(u,v) 的某一
则方程 F (x, y, z) = 0 在点 (x0 , y0 ) 某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 z0 = f (x0 , y0 ) , 并有连续偏导数
∂z = − Fx , ∂z = − Fy ∂x Fz ∂ y Fz 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
+
Fy y Fx2
5
例1. 验证方程 sin y + ex − xy −1 = 0 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 y = f (x) ,并求
dy dx
x=0
,
d2y dx2
x=0
6
例1. 验证方程 sin y + ex − xy −1 = 0 在点(0,0)某邻域 可确定一个单值可导隐函数 y = f (x) ,并求
F2′
⋅
(−
y z2
)
= z F2′ x F1′ + y F2′
故
dz
=
∂z dx ∂x
+
∂z dy ∂y
=
z x F1′ +
y F2′
(F1∂∂′dxzx += F−2′FFdyxz )
16
解法2 微分法. 对方程两边求微分:
F(x , y) = 0 zz
F1′⋅
d(
x) z
+
F2′
⋅
d(
y) z
求 dz.
zz
解法1 利用偏导数公式. 设 z = f (x, y) 是由方程
F (x , y) = 0 确定的隐函数, 则
z
z
∂z ∂x
=
−
F1′ ⋅
1 z
F1′
⋅
(−
x z2
)
+
F2′
⋅
(−
y z2
)
= z F1′ x F1′ + y F2′
∂z = −
F2′
⋅
1 z
∂y
F1′
⋅
(−
x z2
)
+
② F (x0 , y0 ,u0 , v0 ) = 0, G(x0 , y0 ,u0 , v0 ) = 0;
③ J = ∂(F,G) ≠ 0 P ∂(u, v) P
则方程组 F (x, y, u, v) = 0, G (x, y, u, v) = 0 在点(x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 = u(x0 , y0 ) , v0 = v(x0 , y0 ) 的单值连续函数 u = u(x, y) , v = v(x, y), 且有偏导数公式 :
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例5.设函数 x = x (u , v), y = y (u , v)在点(u,v) 的某一
邻域内有连续的偏导数,且 ∂(x, y) ≠ 0 ∂(u, v)
1)
证明函数组
⎩⎨⎧
x y
= =
x(u, v) y(u, v)
在与点
(u,
v)
对应的点
( x, y) 的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有