《线性代数》习题集(含答案)
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《线性代数》习题集（含答案）
第一章
【1】填空题 （1） 二阶行列式
2a ab b
b
=___________。
（2） 二阶行列式
cos sin sin cos αααα-=___________。
（3） 二阶行列式2a bi b a
a bi
+-=___________。
（4） 三阶行列式x
y z
z
x y y
z
x =___________。
（5） 三阶行列式
a b
c c a b c a b
b
c a
+++=___________。
答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2
a b -；4.3
3
3
3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题
（1）若行列式12
5
1
3225x
-=0，则x=（）。
A -3；
B -2；
C 2；
D 3。
（2）若行列式11
1
1011x x x
=，则x=（）。
A -1
， B 0
， C 1
， D 2
，
（3）三阶行列式2
31503
2012985
2
3
-=（）。
A -70；
B -63；
C 70；
D 82。
（4）行列式
0000
0000a b
a b b a b
a
=()。
A 44
a b -；B ()
2
2
2a b
-；C 44b a -；D 44
a b 。
（5）n 阶行列式01000020
0001
000
n n -L
L
M M M
M L L
=（）。 A 0；B n ！；C （-1）·n ！；D ()
1
1!n n +-•。
答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。
【3】证明
33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z
x y bz ax bx ay by az
y
z
x
++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数：
（1）135L （2n-1）246L （2n ）；（2）246L （2n ）135L （2n-1）。 答案：（1）
12n （n-1）；（2）1
2
n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
（1）152332445166a a a a a a ；（2）215316426534a a a a a a ；（3）615243342516a a a a a a 答案：（1）正号；（2）负号。 【7】根据定义计算下列各行列式：
（1）00001
00020
0030004000
50000
；(2)
11
14
2223323341
44
000
00
a a a a a a a a ；（3）00010020
0100000
n n -L L
M M M M L
L
； （4）0
00100
0200100000000n n
-L L M
M
M M M L L
答案：（1）5！=120；（2）
()()114414412233233211223344112332441422334114223341
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --=-
-+；
（3）(1)
2
(1)!n n n --•；（4）(1)(2)
2
(1)!n n n ---。
【8】计算下列行列式：
（1）
1
312
153404115136
----；（2）
3111131111311113
；（3）
1111123414
9
16
182764
；
（4）
22223
3
3
3
1
111a b c d a b c d a b c d 。
答案：（1）-136；（2）48；（3）12；
（4）（b-a ）（c-a ）（d-a ）（c-b ）（d-b ）（d-c ） 【9】计算下列n 阶行列式：
（1）10001110000110000011
L L
L
M M M M M L
；（2）111112221233123n
L L
L M M M M L
；