解析函数的孤立奇点与留数

(2) 判定 若f(z)在R<|z|<+内解析, 则在此圆环内有
f ( z ) c n z n c n z n , (*)
n 1 n0
z 为可去奇点 lim f ( z )＝c 0 z
f (z)
n n C n z （R z )不 含 正 幂 项
Re s[ f ( z ), ]
f ( z )dz C 2 i
L
1
1
其 中C 1为f ( z )在R z 内 的Laure nt 式 展
n
C n z n中z 1的 系 数

留数计算法：
(1) 若z0为f ( z )的可去奇点 , 则 Res[ f ( z ), z 0 ] 0 (2) 若z 0为f ( z )的1级极点 则 ,
Res[ f ( z ), z 0 ] 1 2 i
L
f ( z )dz C 1
无穷远点处的留数
设f ( z ) 在 无 穷 远 点 的 去 心 邻 域 z z R 内 解 析 L为R z 内 任 一 条 逆 时 针 方 向 的 , 简 单 闭 曲 线 ， 则( z )在处 的 留 数 定 义 为 f
k 1 n
利用留数计算复积分
ez 例4. 计算 L z( z 1) 2 dz , L为圆周|z| = 2,
取逆时针方向.
2 i .
si nz L z(1 e z ) dz
L : z 10, 逆 时 针 。
例5. (1)计算积分
4n i.

| z| n
tanπzdz , n为正整数.
lim f ( z )不存在也不为
z z0
二. 零点与极点的关系
(1) 定义: 若解析函数f(z)能表示成 f(z) = (zz0)m(z),
其中(z0)0, 且(z)在z0处解析, m为某一正整 数, 则称z0为f(z)的m级零点. (2) 性质 (a) 如果f(z)在z0处解析, 那么z0为f(z)的m级零点


0
1 R(cosx,sinx )dx R(cosx ,sinx )dx , 2
仍然可令z =
eix,
将 R(cosx,sinx )dx

化为单位圆周上的积分.
( 2)


R( x )dx 型, 其 中
Pm ( x ) a 0 a1 x a m x m R( x ) (a m 0, bn 0), n Qn ( x ) b0 b1 x bn x 满足：
z ( 4) f ( z ) cos z
思考：可去奇点留数是否必为零？
留数为零的(有限远奇点)是否一定是可去奇点？
1 例如： 函数 f ( z ) 1 以为可去奇点, 但c-1 = 1, z
故Res[f(z), ] = 10. 1 1 1 1 1 f ( z ) cos 1 2 4 z 1 2! ( z 1) 4! ( z 1) 0 < |z1|< +,
1 zk 为1级极点 k
( z 1) 2 si nz ( 2) f ( z ) 2 2 z ( z 1) 2
z 1为2级 极 点 z 1为 可 去 奇 点 z 0为1级 极 点
1 ( 3) f ( z ) 2 z z (e 1)
z 0为f ( z )的3级 极 点 , zk 2ki ( k 1,)为f ( z )的1级 极 点
f (n)(z0) = 0 (n = 0, 1, 2, …, m1), f (m)(z0) 0.
1 (b) z0为f(z)的m级极点 z0为 的m级零点. f (z)
例1 求下列函数的奇点，并指出其类型：
1 1 (1) f ( z ) z (s i n ) z
2
z 0为非孤立奇点
z = 是g(z) = (z 1)(z 2) = z2 3z + 2的二级极点.
s i nz 1 1 1 2 2 z 3 3! 5! z z
z 0为f ( z )的2级极点 z 为f ( z )的本性奇点 ,
四 .留数 设z0 为f(z) 的孤立奇点,在z0 的去心邻域 0 z z0 内 ， f(z) 的Laurent 展式为: f ( z )
注：. 3 1 ）中取 1, 即得（ （ m 2 ）；
2.从证明过程不难看出，即使极点的级数小于m, 也可当作级数为m 来计算。这是因为表达式
f ( z) ( z z0 )m (Cm Cm1 ( z z0 ) C1 ( z z0 )m1 C0 ( z z0 ) )
所以z = 1是f(z)的本性奇点, 且Res[f(z), 1] = c-1 = 0.
五.留数定理 由复合闭路定理,可得 留数定理1 设函数f(z)在区域D内除去有限个孤立奇点z1, z2, …, zn外处处解析, L是D内包围诸奇点的任意一 条逆时针简单闭曲线, 则

L
f ( z )dz 2 i Res[ f ( z ), z k ].
n C n z （R z )含 无 穷 多 个 正 幂 项

lim f ( z )不存在且不为
关于无穷远点的孤立奇点的分类可以转化为 原点情况或者利用已知函数的展开式来判定， 当然这个展开式必须是无穷远点去心邻域内 的Laurent展式。
1 例2. z = 是 f ( z ) ( z 1)(z 2) 的可去奇点.
解析函数的孤立奇点与留数
留数是区别解析点与孤立奇点的重要标志；留 数揭示了孤立奇点与围道积分的内在联系。 一.孤立奇点及其分类: 1.定义 若f(z)在z0不解析, 但在z0的某一去心邻域 0<|zz0|< 内解析, 则称z0为f(z)的孤立奇点.
由定义可知，若z0为f(z)的孤立奇点，则意味 着在z0的某个领域里只有z0一个奇点。 并非所有的奇点都孤立，例如：
z 为极点
f (z)
n n C n z （R z )只 含 有 限 个 正 幂 项
z 为m级 极 点 C m 0, C n 0( n m )
lim f ( z )
z
z 为本性奇点
f (z)
z
n


P( z) (4) 设f ( z ) , P ( z )及Q( z )在z 0 解 析 ， 且 ( z 0 ) 0, P Q( z ) P( z0 ) Q( z 0 ) 0, Q ( z 0 ) 0, 则 Res[ f (z ), z 0 ] Q ( z 0 ) 1 1 (5) Res[ f ( z ), ] Res[ f ( ) 2 ,0] z z
n
C n ( z z0 )n

L为0 z z 0 内 包 含 0的 任 一 条 简 单 闭 曲 线 ， z 对 上 式 两 边 积 分 得 f ( z )dz 2iC 1 L 1 称 C 1 L f ( z )dz 为f ( z )在z 0的留数， 2 i 记为Res[ f ( z ), z 0 ], 即
(1)n m 2, ( 2)在 实 轴 上 n ( z ) 0, 即R( z )在 实 轴 上 无 奇 点 ， Q 则
3).若有无穷多个负幂项, 则称z0为f(z)的本性奇点。 判别： (1)如果z0为f(z)的可去奇点, lim0 f ( z ) c 0 , zz (2) z0为f(z)的极点 lim f ( z ) ; zz
0
z0为f(z)的m级极点 l i m( z z0 )k f ( z ) ,0 k m z z0 l i m( z z0 )m f ( z ) c m , c-m为有限复常数; z z0 (3) z0为f(z) 的本性奇点：
f (z) 1 1 si n z
2. 分类 由Laurent级数中负幂项的个数来分类
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设z0为f(z)的孤立奇点, 则f(z)在0<|zz0|< 内
cn ( z z0 )n . 解析， Laurent展式为 n

1).若无负幂项, 则称z0为f(z)的可去奇点；
2).若只有有限个负幂项, 则称z0为f(z)的极点； 若c-m 0, 而cn = 0 (n<-m), 的m级极点, 则称z0为f(z)
的系数 C m , C m1 , 中可能有一个或几个为零 而已，这不影响证明结果。
例3 求下列函数的奇点并计算留数：
3z 2 (1) f ( z ) 2 z ( z 2)
Re s f ( z ),2] 1 [
Re s f ( z ),0] 1 [
Re s f ( z ),] 0 [
(2) e
1 1 z
Re s[ f ( z ),1] C1 1.
Re s[ f ( z ), ] C 1 1.
1 e 2z ( 3) f ( z ) z4
4 Re s[ f ( z ), 0] C 1 . 3 4 Re s[ f ( z ), ] C 1 . 3
例6. 计算 I
2 0
dx ,其中a > 0且a 1. 2 1 2a cos x a
1 dz . i | z | 1 ( z a )(1 az)
2 1 a 2 (a 1) I . 2 2 (a 1) a 1
注: 若R(cosx, sinx)为x的偶函数, 则
Re s[ f ( z ), z 0 ] lim ( z z 0 ) f ( z )
z z0
(3) 若z0为f ( z )的m级极点则 ,
m 1
1 d m 1 Re s[ f ( z ), z 0 ] lim m 1 ( z z 0 ) m f ( z ) ( m 1)! z z0 dz
1 z2 1 z2 1 设f ( z ) R( , ), iz 2z 2iz

2
0
R(cosx,sinx )dx
f ( z )dz 2 i Re s f ( z ), zk ]. [
k 1 n
|z| 1
其中zk (k=1,2,…,n)为f(z)在|z|<1内的孤立奇点.
1 ( 2) I dz 5 L ( z 3)(z 1)

5 L : z ,逆时针。 2
i
121
( 3) I

L
z dz 5 z 1
L : z 2, 逆 时 针 。
六 . 用留数计算某些实积分
(1)
2
0
R(cos x, sin x )dx 型, 其中
R(cosx, sinx)为cosx, sinx的有理函数.
k 1
n
利用这个定理，可将求沿封闭曲线L的积分， 转化为求被积函数在L中的各孤立奇点处的 留数。
留数定理2 如果函数f(z)在扩充复平面内除去有限个孤立奇 点外处处解析, 那么f(z)在所有奇点(包括点)的 留数的总和等于零.
Res[ f ( z ), ] Res[ f ( z ), z k ] 0.
1 ( 4) f ( z ) z cos z
z 0为f ( z )的本性奇点
1 ( 5) f ( z ) 2 sin z
z ( 6) f ( z ) (1 z 2 )(e z 1)
三. 函数在无穷远点的性态 (1) 分类: 若f(z)在z = 的去心邻域R<|z|<+内解析, 则称为f(z)的孤立奇点. 令t = 1/z, 则t = 0是(t) = f(1/t)的孤立奇点. 我们规定: 若t = 0是(t) = f(1/t)的可去奇点 (m级极点, 本性奇点), 则称z=是f(z) 的可去奇点(m级极点, 本性奇点).