同济第七版高等数学总复习ppt课件

P ( y ) dy
[ Q ( y ) e dy C ]
P ( y ) dy
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高阶微分方程
1、可降阶的高阶微分方程的解法
( n ) ( 1 )y f ( x )型
接连积分n次，得通解．
( 2 )y f ( x , y ) 型
不显含未知函数 y.
令 y P ( x ),
k x 设 y x e Q ( x ) , m
2 Q ( x ) ( 2 p ) Q ( x ) ( p q ) Q ( x ) P ( x ) m

k ( Q ( x ) x Q ) 11 m
x ( 2 ) f ( x ) e [ P ( x ) cos x P ( x ) sin x ] 型 l n
x 令 v y
通解
dv dy gvv y
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3 一阶线性微分方程
dy P ( x ) y Q ( x ) dx
y e
对称情况
P ( x ) dx
Hale Waihona Puke Baidu
[ Q ( x ) e dx C ]
P ( x ) dx
dx P (y )x Q (y ). dy
x e
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第八章 空间解析几何与向量代数
（一）向量代数
1、向量的坐标表示法 向量的分解式： a a i a j a k x y z 在三个坐标轴上的分向量： a i ,a j ,a k x y z
向量的坐标表示式：
a ( a ,a ,a ) x y z
向量的坐标： a x, a y, a z
i
y C1 e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C2 sin x )
1 2
2
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推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
( n ) ( n 1 ) y P y P y P y 0 1 n 1 n
其中 a a , a x , y , z 轴上的投 . x , y z分别为向量在
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向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式
b （ b ,b ,b ） a （ a ,a ,a ） x y z x y z
a b （ a b , a b , a b ） x x y y z z ( a b ) i ( a b ) j ( a b ) k x x y y z z a b （ a b , a b , a b ） x x y y z z ( a b ) i ( a b ) j ( a b ) k x x y y z z
同济第七版高等 数学总复习
1 可分离变量的微分方程
形如 g ( y ) dy f ( x ) dx 分离变量法
g ( y ) dy f ( x ) dx
2 齐次方程
y 令 u x
dy y 形如 f( ) dx x
du 1 dx f( u )u x
2
dx x 对称情况 g () dy y
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x )( 2 )
定理 2
设 y * 是( 2 ) 的一个特解, Y 是与(2)对应
*
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y 是二阶非
齐次线性微分方程(2)的通解.
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定理 3
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
若有 k 重共轭 复根 i
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4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y p y qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法
待定系数法.
0 不是根 k 1 是单根, 2 是重根
x ( 1 )f ( x ) e P ( x ) 型 m
k x ( 1 ) ( 2 ) 设 y x e [ R ( x ) cos x R ( x ) sin x ], m m


m max l , n 其中 R( x ), R( x ) 是 m 次多项式，
( 1 ) m ( 2 ) m
0 i 不是特征方程的根时 ; k 1 i 是特征方程的单根时 .
n n 1 特征方程为 r P r P r P 0 1 n 1 n
特征方程的根
通解中的对应项
k 1 rx ( C C x C x ) e 若有 k重实根 r 0 1 k 1
k 1 [( C C x C x ) cos x 0 1 k 1 k 1 x ( D D x D x ) sin x ] e 0 1 k 1
（1 ） 二阶齐次线性方程解的结构:
y P ( x ) y Q ( x ) y 0( 1 )
定理 1：如果 y1 ( x )与 y2 ( x )是方程(1)的两个线性无关
的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通解.
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
数之和, 如 y P ( x ) y Q( x ) y f1 ( x ) f 2 ( x )
* 而 y 1* 与 y 2 分别是方程,
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) 1 y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) 2
* * 的特解, 那么 y1 就是原方程的特解. y2
代入即可证得 .
解的叠加原理
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3、二阶常系数齐次线性方程解法
二阶常系数齐次线性方程
y p y qy 0
r pr q 0
通解的表达式
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特征方程为
特征根的情况
实根 r 1 实根 r
1
r2 r2
复根 r
1, 2
y P ,
代入原方程, 得 P f ( x , P ( x )).
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( 3 )y f ( y , y ) 型
不显含自变量 x.
令 y P ( x ),
dp y P , dy
dp 代入原方程, 得 P f (y,P). dy
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2、线性微分方程解的结构