现代控制理论 第4章李雅普诺夫稳定性理论(校内讲稿)

2 平衡状态
设系统 x( t ) f ( x , t )， 若存在状态xe 满足：
xe f ( xe , t ) 0
x e 系统的平衡状态
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1) 线性系统
x Ax
A非奇异 A奇异
xR
n
xe Axe 0 xe 0
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4.3
李雅普诺夫第二法
李氏第二法（直接法）：通过构造李氏函数，
从能量的角度直接判断系统稳定性。 李雅普诺夫直接法的思想 关键求储能V 储能V最小 李雅普诺夫函数 逐渐衰减至最小值 储能不变
dV 0 dt
虚构的广义 能量函数V
A
系统被激励 储能随时间
渐近稳定 不稳定
i 1,2 , n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左半部。 状态稳定 输出稳定的充要条件： W ( s )c( sI A )1 b 的全部极点位于复平面左半部。
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例4.2.1 设系统的状态空间表达式为：
1 0 1 x x 1 u 0 1 y1 0x
f x
x xe R( x ) T
f 1 x 2 f n x 2 f 1 x n f n x n
f 1 x f 1 其中： T x f n x1
向量函数的 雅可比矩阵
令
x x xe

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2.渐近稳定
1）是李氏意义下的稳定
2） 与t 0无关,且
lim x(t; x0 , t0 ) xe 0
t
x2
s( )
s( )
一致渐近稳定
x 0 xe
x1
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3.大范围渐近稳定
如果平衡状态xe 是稳定的，且从状态空间中 所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性，称这 种平衡状态xe为大范围内渐近稳定。 1)必要条件：在整个状态空间中只有一个平衡状态 2)线性系统：如果是渐近稳定的，必是大范围渐近 稳定的。 3)非线性系统：一般只能在小范围渐近稳定 即 s( )很小
1
1
极点位于复平面左半部，输出稳定。
说明: 1) 系统输出稳定不一定状态稳定; 2) 只有当系统传递函数W(S)无零极点对消，且 系统特征值与W(S)极点相同，二者才一致。
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4.2.2
非线性系统的稳定性 台劳级数 平衡状态处的稳定性
非线性系统在平衡状态附近 用线性化系统的特征值 设非线性系统状态方程
Ax e 0 x e 无穷多个
2) 非线性系统
xe f ( xe , t ) 0
x e 可能有多个平衡状态
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例4.1.1 x1 x1 3 x2 x1 x2 x2 求系统平衡状态。
解：令 e f ( xe ,t )0 x
李霞
现代控制理论的主要内容
1、控制系统的状态空间表示法； 2、状态方程的解； 3、控制系统的能控性和能观测性； 4、控制系统的李雅普诺夫稳定性分析与应用； 5、线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计； 6、最优控制系统及其解法。
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第4章
4.1 4.2
稳定性与李雅普诺夫法
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4.3.2标量函数的定号性
1.正定性: 标量函数V(x)在数域R中对所有x≠0有V(x)>0, 且V(0)=0 ，则称V(x)在R中是正定的。
V 如： ( x ) x1 x2 2.负定性: 标量函数V(x)在数域R中对所有x≠0有V(x)<0,
2 2
且V(0)=0 ，则称V(x)在R中是负定的。 如：V ( x )( x1 x2 ) 如V(0)=0 ，且对x≠0有V(x)≥0[V(x)≤0],则 3.正(负)半定性：
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注意： 1)以上仅仅是判断系统稳定性的充分条件，而 不是充要条件；
2)线性系统的平衡状态不稳定说明系统不稳定； 3)非线性系统的平衡状态不稳定只说明存在局
部发散的轨迹， s( ) 域外是否存在其它平衡状态， 若存在极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下 的稳定性。
dV 0 dt dV 0 储能越来越大 dt
李氏稳定
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4.3.1
稳定性定理
设系统状态方程为 x f ( x ) 平衡状态为 xe 0，如果存在一个标量函数V(x),且 V(x)对所有x具有连续的一阶偏导数：
定理1：若(1)V(x)正定； .
(2) V ( x) 负定。 (x) dV(x) 负定 说明：V dt
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说明： 1）稳定性是指系统相对于某个平衡状态的稳定性; 2）只讨论系统在状态空间原点的稳定性； 任意平衡状态 适当的坐标变换 状态空间原点
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4.1.2
稳定性的几个定义
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一个实数 ( , t0 ) 0 ,使当满足
造李氏函数，直接判断系统稳定性。
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4.1
李雅普诺夫意义关于稳定性的定义
从x0出发的 运动轨线
4.1.1 系统状态的运动及平衡状态 1 初始状态
设x( t ) f ( x , t ) 的解为x (t ; x0 , t0 )
则x0 ( t 0 ; x0 , t 0 ) 初始状态
xe
x1
x2
s( )
s( )
x 0 xe
x1
李氏稳定
x0
xe
渐近稳定
x1
不稳定
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4.2
4.2.1
李雅普诺夫第一法（间接法）
线性系统的稳定判据
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
x Ax Bu , yCx 1）李氏稳定的充要条件：
设给定系统为
Re( i ) 0
2 2
称V(x) 是正(负)半定的。
V 如： ( x )( x1 2 x2 ) 4.不定性： V(x)在R中可正可负,则称V(x) 是不定的。
2
V 如： ( x ) x1 x2
x0 xe ( ,t0 )时
从任意初始态 x 0 出发的解 x ( t ;x0 ,t0 )都满足：
x( t ; x0 , t0 ) xe ,
t0 t
则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。如果δ 与 t0无关,则称这种平衡状态是一致稳定的。
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x1e 0 x2e 0
x2e x23e x2e ( 1 x2e )( 1 x2e ) 0

x1e 0
有三个平衡状态
0 , x 0 , x 0 xe e e 1 0 2 1 3 1
则系统在原点 是渐近稳定的
能量随时间连续单调衰减
且如 x ,V(x) ,则系统是大范围渐进稳定的
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定理2：若(1)V(x)正定； .
(2) V ( x) 负半定； (3) 在非零状态 V ( x ) 0
.
则系统在原点 是渐近稳定的 运动轨迹某
则系统在原点 是不稳定的
说明： ( x ,t 正定 能量函数随时间增大， V ) x 在 xe 处发散。 . . 推论1：当 V ( x ,t )正定， ( x ,t )正半定，且 V ( x ,t ) V
在非零状态不恒为零时,则原点不稳定。 . 推论2： ( x ,t ) 正定， ( x ,t ) 正半定，若有 x0 V V . 时， ( x ,t )0 ，则原点是李雅普诺夫意义下的 V 稳定(同定理3)。
x f ( x )
式中 f ( x ) f1 f 2 f n T --非线性函数
在平衡状态 xe 0 附近存在各阶偏导数，则
f x T x xe R( x ) x
其中：
R( x ) --级数展开式中的高阶导数项。
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x
试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。 解：（1）系统的特征方程：
λ1 0 λI A ＝（λ＋1） λ－ 1 0 0 λ1 即 λ1＝－1 λ2＝ 1
故系统的平衡状态不是渐进稳定的。
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（2）由系统的传递函数：
s 1 0 1 W ( s ) c( sI A ) b 1 0 0 s 1 1 s 1 1 ( s 1 )( s 1 ) s 1
Fra Baidu bibliotek
x2
s( )
s( )
x0
xe
x1
时变系统： 与 t 0 有关 定常系统： 与 t 0 无关， 是一致稳定的。 xe 注意：
x-xe
欧几里得范数
在n维状态空间中，有：
x xe (x1 x1e )2 (x 2 x2e )2 (xn xne

1 )2 2
.
(3) 在非零状态 V ( x ) 0 . 说明： x 0 V ( x ) 0 系统维持等能量运动
则系统在原点 是李雅普诺夫 意义下稳定的
使 x维持在非零状态而不运行至原点。
x0
V ( x )C
xe
x2
x1
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定理4：若(1)V(x)正定； .
(2) V ( x) 正定。
李雅普诺夫关于稳定性的定义 李雅普诺夫第一法
4.3
4.4
李雅普诺夫第二法
李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
4.5
李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
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研究的目的和意义: 稳定性是自动控制系统正 常工作的必要条件，是一个重要特征。 要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被 打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平 衡状态，或者趋于另一平衡状态继续工作。 实质：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方 程解的收敛性，与输入作用无关。稳定性是系统本 身的一种固有属性。
现代控制理论的学习目的
通过学习本课程，能够正确建立各类典型系 统的数学模型，特别是状态空间模型，掌握分析 各类系统模型的方法，并且能够通过状态反馈、 极点配置、系统解耦和构造状态观测器等方法， 进行复杂系统的综合与优化设计，培养学生从事 系统分析和研究的能力。
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电工理论与新技术研究所
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4.不稳定性：对于 ，不管 有多小，只要由
s( )内出发的状态轨迹超出 s( ) 以外，则称
此平衡状态是不稳定的。
x2
s( )
s( )
x0
xe
x1
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x2
s( )
s( )
x2
s( )
s( )
x0
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稳定性分析
经典控制理论
输出稳定 状态稳定
现代控制理论 李雅普诺夫方法
1892年，俄国学者李雅普诺夫提出了稳定性定理， 适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多 变量等系统。 李氏第一法（间接法）：求解系统微分方程， 据解的性质判断系统稳定性； 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构
f A T x
则系统线性化方程为：
x xe
x Ax
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系统线性化方程为：
x Ax
结论： (1)若A的所有特征值都具有负实部，则非线性系统 在 x e 处是渐进稳定的，与 R( x )无关； (2)若A的特征值，至少有一个具有正实部，则非线 性系统在 xe 处是不稳定的； (3)若A的特征值,至少有一个实部为零，则稳定 性由 R( x ) 确定。
x0
V ( x )C
x2
说明: V ( x ) 0
.
瞬时与 V ( x )C 相切,但不
xe
维持在该状态而继续向原
x1
点收缩。
且如 x V ( x ) 则系统是大范围渐进稳定的
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定理3：若(1)V(x)正定； .
(2) V ( x) 负半定；