1.1-锐角三角函数
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B
0< sin A <1
0< cosA <1
A
C
B
例1 如图,在Rt△ABC中，
∠C=90°，AACB55，，BBCC33，求∠A、 5
3
∠B的正弦、余弦和正切.
解: 在Rt△ABC中
∵ AC 52 32 4
∴ sin A 3 ，cos A 4 , tan A 3
5
5
4
∴ sin B 4 ，cos B 3 , tan B 4
A
A的 邻 斜边
边
b c
正 切 函 数 ： tan A
A的 A的
对 邻
边 边
a b
A
B
c a
b
C
直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，你能说出各 条边的名称吗？
B
斜边 c
对边 a
┓┓
A
C
邻边 b
探索一、作一个∠A=30°,在角的边上任意取一 点B，作BC⊥AC于点C,计算 BC 的值.
AB
Ｂ Ｂ
2a a
Ａ 30°
3a
CC
BC 1 AB 2 AC 3 AB 2 BC 3 AC 3
探索二
BC AC BC
比值
,
,
AB AB AC
都是锐角α的三角函数.
知识要点
正弦
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐
角A的对边与斜边的比叫做∠ A的正弦
（sine），记作sinA，即
sin
A
A的对边 斜边
a c
知识要点
余弦
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐 角A的邻边与斜边的比叫做∠ A的余弦 （cosine），记作cosA，即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
知识要点
正切
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐 角A的对边与邻边的比叫做∠ A的正切 （tangent），记作tanA，即
tanA
A的对边 A的邻边
a b
三角函数的定义，必须在直角三角形中. (∠A是锐角)
• 1、注意：
①sin A是一个完整的符号，表示∠A的正弦，习惯上省 去“∠”号；cos A、tan A亦然.
(2)
BC 和 B1C 1
AB
AB1
,
AC 和 AC1 ,
AB
AB1
BC 和 B1C1 有什么关系?
AC AC1
(3)如果改变B在AB上的位置
呢?
A CC CC C C1
B
AБайду номын сангаас
C
一般地，对于每一个确定的
锐角α，在角的一边上任取
一点B，作BC⊥AC于点C，
BC , AC , BC AB AB AC
都是一个确定的值，与点B在 角的边上的位置无关.
比值 相等
在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c, 锐角∠A,∠B.这 五个元素之间有如下等量关系：
(1)三边之间关系： a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(2)锐角之间关系： ∠A+∠B=90°
(3)边角之间关系：
正 弦 函 数 ： sin A
A的 对 斜边
边
a c
余 弦 函 数 ： cos
13
AC2，BC3，求：
C
B
(1)sin A ，cos B； sin A 3 13 ,cos B 3 13
13
13
(2)cos A ，sin B； cos A 2 13 ,sin B 2 13
13
13
(3)观察(1)(2)计算结果，你发现了什么？
sin A cos B cos A sin B
5
5
3
A
4
C
由于∠A+∠B90°
sin A cos B cos A sin B tan A tan B 1
观察以上计算结果,你发现了什么?
1. 如图，在Rt△ABC中， ∠A90°.
则∠B的对边是 AC ； ∠B的邻边是 AB ； ∠C的对边是 AB ； ∠C的邻边是 AC .
A
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
②sin A不是 sin与A的乘积 ③sin A 是一个比值 ④sin A 没有单位 ⑤ sin A、cos A、tan A 的大小只与∠A的大小有关，
而与直角三角形的边长无关.
⑥角相等，则三角函数值相等；两锐角的三角函数值 相等，则这两个锐角相等.
想一想：
当A为锐角s时 inA， 的值会在什么范
作一个50o的∠A,在一边上任意取一点B，作BC⊥AC于点 C.用刻度尺先量出AB,AC,BC,的长度(精确到１毫米),再 计算 BC, AC, BC 的值(结果保留2个有效数字),并将所
AB AB AC
得的结果与你同伴所得的结果作比较.你发现了什么？
B
A
50° C
想一想
B
B B
B B
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角 三角形ABC有什么关系?
0< sin A <1
0< cosA <1
A
C
B
例1 如图,在Rt△ABC中，
∠C=90°，AACB55，，BBCC33，求∠A、 5
3
∠B的正弦、余弦和正切.
解: 在Rt△ABC中
∵ AC 52 32 4
∴ sin A 3 ，cos A 4 , tan A 3
5
5
4
∴ sin B 4 ，cos B 3 , tan B 4
A
A的 邻 斜边
边
b c
正 切 函 数 ： tan A
A的 A的
对 邻
边 边
a b
A
B
c a
b
C
直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，你能说出各 条边的名称吗？
B
斜边 c
对边 a
┓┓
A
C
邻边 b
探索一、作一个∠A=30°,在角的边上任意取一 点B，作BC⊥AC于点C,计算 BC 的值.
AB
Ｂ Ｂ
2a a
Ａ 30°
3a
CC
BC 1 AB 2 AC 3 AB 2 BC 3 AC 3
探索二
BC AC BC
比值
,
,
AB AB AC
都是锐角α的三角函数.
知识要点
正弦
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐
角A的对边与斜边的比叫做∠ A的正弦
（sine），记作sinA，即
sin
A
A的对边 斜边
a c
知识要点
余弦
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐 角A的邻边与斜边的比叫做∠ A的余弦 （cosine），记作cosA，即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
知识要点
正切
在Rt△ABC中， ∠C=90 °，我们把锐 角A的对边与邻边的比叫做∠ A的正切 （tangent），记作tanA，即
tanA
A的对边 A的邻边
a b
三角函数的定义，必须在直角三角形中. (∠A是锐角)
• 1、注意：
①sin A是一个完整的符号，表示∠A的正弦，习惯上省 去“∠”号；cos A、tan A亦然.
(2)
BC 和 B1C 1
AB
AB1
,
AC 和 AC1 ,
AB
AB1
BC 和 B1C1 有什么关系?
AC AC1
(3)如果改变B在AB上的位置
呢?
A CC CC C C1
B
AБайду номын сангаас
C
一般地，对于每一个确定的
锐角α，在角的一边上任取
一点B，作BC⊥AC于点C，
BC , AC , BC AB AB AC
都是一个确定的值，与点B在 角的边上的位置无关.
比值 相等
在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c, 锐角∠A,∠B.这 五个元素之间有如下等量关系：
(1)三边之间关系： a2 +b2 =c2 (勾股定理)
(2)锐角之间关系： ∠A+∠B=90°
(3)边角之间关系：
正 弦 函 数 ： sin A
A的 对 斜边
边
a c
余 弦 函 数 ： cos
13
AC2，BC3，求：
C
B
(1)sin A ，cos B； sin A 3 13 ,cos B 3 13
13
13
(2)cos A ，sin B； cos A 2 13 ,sin B 2 13
13
13
(3)观察(1)(2)计算结果，你发现了什么？
sin A cos B cos A sin B
5
5
3
A
4
C
由于∠A+∠B90°
sin A cos B cos A sin B tan A tan B 1
观察以上计算结果,你发现了什么?
1. 如图，在Rt△ABC中， ∠A90°.
则∠B的对边是 AC ； ∠B的邻边是 AB ； ∠C的对边是 AB ； ∠C的邻边是 AC .
A
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
②sin A不是 sin与A的乘积 ③sin A 是一个比值 ④sin A 没有单位 ⑤ sin A、cos A、tan A 的大小只与∠A的大小有关，
而与直角三角形的边长无关.
⑥角相等，则三角函数值相等；两锐角的三角函数值 相等，则这两个锐角相等.
想一想：
当A为锐角s时 inA， 的值会在什么范
作一个50o的∠A,在一边上任意取一点B，作BC⊥AC于点 C.用刻度尺先量出AB,AC,BC,的长度(精确到１毫米),再 计算 BC, AC, BC 的值(结果保留2个有效数字),并将所
AB AB AC
得的结果与你同伴所得的结果作比较.你发现了什么？
B
A
50° C
想一想
B
B B
B B
B1 (1)直角三角形AB1C1和直角 三角形ABC有什么关系?