6-1 lagrange插值

解2:
将x=0.472代入p= -0.435x2+1.31375x-0.027626 得p(0.472)=0.49555296 所以当x为0.472时，积分为0.495553。
按以下方法求当x为0.472积分值也可以。 用前三点（0.4955528）、后三点均可(0.49555296)。 x = 0.472 x0 = 0.46 X1 = 0.47 X2 = 0.48 y0 = 0.484655 Y1 = 0.493745 Y2 = 0.50275 y = y0 * (x - X1) * (x - X2) / ((x0 - X1) * (x0 - X2)) + Y1 * (x - x0) * (x - X2) / ((X1 - x0) * (X1 - X2)) + Y2 * (x - x0) * (x - X1) / ((X2 - x0) * (X2 - X1)) Print y
得到： a0+a10.4+a20.16+a30.064 =0.41075 a0+a10.55+a20.3025+a30.166375 =0.57815 a0+a10.65+a20.4225+a30.274625 =0.69675 a0+a10.80+a20.64+a30.512 =0.88811
利用全选主元高斯消去法解得：
X2 = 1.9: Y2 = 0.2818186: y2d = -0.5811571 L2 = (X ^ 2 - 2.9 * X + 2.08) / 0.18 L2d = (2 * X2 - 2.9) / 0.18
h0 = (1 - 2 * (X - X0) * L0d) * L0 ^ 2 h1 = (1 - 2 * (X - X1) * L1d) * L1 ^ 2 h2 = (1 - 2 * (X - X2) * L2d) * L2 ^ 2 k0 = (X - X0) * L0 ^ 2 k1 = (X - X1) * L1 ^ 2
利用三个点：
X = 1.5 X0 = 1.3: y0 = 0.620086: y0d = -0.5220232 L0 = (X ^ 2 - 3.5 * X + 3.04) / 0.18 L0d = (2 * X0 - 3.5) / 0.18
X1 = 1.6: Y1 = 0.4554022: y1d = -0.5698959 L1 = (-1 * X ^ 2 + 3.2 * X - 2.47) / 0.09 L1d = (-1 * 2 * X1 + 3.2) / 0.09
利用根的搜索法解方程： 设fnx = -0.435 * x ^ 2 + 1.31375 * x - 0.027626 - 0.505 h = 0.00001 求得根的范围是(0.4825134,0.4825234) 利用二分法确定方程在范围(0.4825134,0.4825234)内根 的精确解是：0.4825137（d >= 0.000001） 所以当x为0.4825137时该积分=0.505
xi 1.3 1.6 1.9 f(xi) 0.620086 0.4554022 0.2818186 f’(xi) -0.5220232 -0.569859 0.5811571
应用分段二点三次Hermite 插值求f(1.5)的近似值。
x = 1.5 x0 = 1.3: y0 = 0.620086: y0d = -0.5220232 x1 = 1.6: y1 = 0.4554022: y1d = -0.569859 h0 = (1 + 2 * (x - x0) / (X1 - x0)) * (((x - X1) / (x0 - X1)) ^ 2) h1 = (1 + 2 * (x - X1) / (x0 - X1)) * (((x - x0) / (X1 - x0)) ^ 2) k0 = (x - x0) * (((x - X1) / (x0 - X1)) ^ 2) k1 = (x - X1) * (((x - x0) / (X1 - x0)) ^ 2) y = y0 * h0 + y1 * h1 + y0d * k0 + y1d * k1 Print y F(1.5)=0.51182455
x0-x1
x0-x1
将a0和a1的值带到插值多项中得到：
2点1次插值也叫线性插值。
4.讨论三个节点x0、x1、x2 的插值多项式：
P2(x)=a0+a1x+a2x2 , 满足： a0+a1x0+a2x02=y0 a0+a1x1+a2x12=y1
a0+a1x2+a2x22=y2
a0=x1x2y0/a+x0x2y1/b+x0x1y2/c a1=-(x1+x2)y0/a-(x0+x2)y1/b-(x0+x1)y2/c a2=y0/a+y1/b+y2/c
a0=-0.002269 a1=1.015267 a2=-0.035733 a3=0.197333
所以： P3(x)= a3x3+ a2x2+a1x +a0 =0.197333 x3-0.035733x2+1.015267 x-0.002269
VB语句表示为： y = 0.197333 * x ^ 3 - 0.035733 * x ^ 2 + 1.015267 * x - 0.002269
其中a=(x0-x1)(x0-x2)
b=(x1-x0)(x1-x2) c=(x2-x0)(x2-x1)
3.三点二次插值多项式为：
总结：三点二次插值就是用过三点（x0,y0）、 （x1,y1）、（x2,y2）的抛物线来近似曲线y=f(x), 因此也称三点二次插值为抛物线插值。
3. 4点3次插值
3. 5点4次插值如何写？
√ 例1:利用100、121的开方求 115 。
练习:利用4、9的开方求 √ 6
。
例2:利用100、121和144的开方求 √ 115
。
[练习4]
xi yi 0.4
已知函数表如下：
0.55 0.57815 0.65 0.69675 0.80 0.88811
0.41075
求其3阶Lagrange插值多项式P3(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3 并以此计算x=0.6时，y的值。
取x0=0.47 y0=0.493745 x1=0.48 y1=0.502750 x2=0.49 y2=0.511668 得到： a0+a10.47+a20.2209 =0.493745 a0+a10.48+a20.2304 =0.502750 a0+a10.49+a20.2401 =0.511668
二、Hermite (埃尔米特)插值
特点：不但节点处值相同，一阶导数也相同。 Hermite 插值多项式为: n
H(x)= ∑{[1-2(x-xi)*li’(xi)]*li2(x)*yi+(x-xi)*li2(x) *y’i} i=0
用hi(x)表示1-2(x-xi)*li’(xi)]*li2(x) 用ki(x)表示(x-xi)*li2 (x) 当n=1时，即两个节点x0、x1 Hermite 插值多项式为(分 段三次插值法)：
k2 = (X - X2) * L2 ^ 2
y = h0 * y0 + h1 * Y1 + h2 * Y2 + k0 * y0d + k1 * y1d + k2 * y2d Print y
F(1.5)=0.51182455
课堂练习
已知 f(1)=2 f(2)=3 f(1)导数=0 f(2)导数=-1 求f(x) 的2点3次插值多项式及f(1.5)的函数值。 分析： h0(x)=(2x-1)(x-2)2 h1(x)=(3-2x)(x-1)2 k0(x)=(x-1)(x-2)2 k1(x)=(x-1)(x-1)2 结果： H(x)=-3x3+13x2-17x+9
所以当x=0.6时 p(0.6)=0.636651248
[练习5] 给出概率积分的数据表，试用抛物插值Fra Baidu bibliotek算：
(1) 当x为何值时该积分=0.505？
(2) 当x=0.472时，积分值=? 概率积分： 数据表： xi yi 0.46 0.484655 0.47 0.493745 0.48 0.502750 0.49 0.511668
第六章 插值与逼近
一.Lagrange插值问题
二.Hermite 插值问题 三.数据拟合的最小二乘法
一、Lagrange 插值问题 y
x
Lagrange 插值： 建立一个简单函数， 使这个简单函数经过给 定点。
1.定义
2.插值多项式
……
3.最简单的情形是只有2个点x0、x1, 设P1(x)=a0+a1x,满足： a0+a1x0=y0 a0+a1x1=y1 从方程中解得： a0= y1x0-y0x1 a1= y0-y1
得 到 ： H3(x)=2(1+2(x-1)(x-2)2+3(1-2(x-2))(x-1)2-(x-2)(x-1) 2=-3x3+13x2-17x+9 当x=1.5时函数值为：2.625 当x=1.7时函数值为:2.931
例2：设函数f(x)在x0=1.3 ，x1=1.6，x2=1.9的函数值及导 数值如下：
利用全选主元高斯消去法解得： a0=-0.027626 a1=1.31375 a2= -0.435 所以： P3(x)= a2x2+a1x +a0 = -0.435x2+1.31375x-0.027626
解1: -0.435x2+1.31375x-0.027626=0.55 即： -0.435x2+1.31375x-0.027626-0.55=0
例1:已知f(x)在节点1,2处的函数值为f(1)=2,f(2)=3 f(x)在 节点1,2处的导数值为f’(1)=0，f’(2)=-1 求f(x)的两点三次 插值多项，及f(x)在x=1.5，1.7处的函数值。 解：x0=1 x1=2 y0=2 y1=3 y0d=0 y1d=-1 根据两点 三次插值多项:
根据方程： a0+a1x0+a2x02+a3x03 =y0 a1+a1x1+a2x12+a3x13 =y1 a1+a1x2+a2x22+a3x23 =y2 a1+a1x3+a2x32+a3x33 =y3
取 x0=0.4 y0=0.41075 x1=0.55 y1=0.57815 x2=0.65 y2=0.69675 x3=0.80 y3=0.88811