画法几何制图—平面的投影及相对位置

a
实形性
c
b
水平面
投影特性：
1.在它所平行的投影面上的投影反映实形。 2.另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴 平行的直线。
投影特征：两线一实形
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17
3） 一般位置平面的投影（三类似）
b a B
一般位置平面
b a
b
b a
c a
b c
c
A b C
c
a
c
a
投影特性
1. abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形； 2.不反映、、 的真实角度。 三峡大学
三峡大学
15
侧平面
V c B b a A a b C a a c b c b W
b
a a
b
c
c
Hc
投影特性： 1.abc//OYY、 abc //OZ，分别积聚为直线； 2.侧平面投影abc 反映 ABC实形。
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16
积聚性
积聚性
a b c a c b
g’
g
//
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40
例1：过A点作平面平行于线段BC。
●
b ● b
a●
●
c 不在同一直线 上的三个点
c
c
直线及线外一点
两平行直线
两相交直线*
平面图形
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5
2.迹线表示法
空间平面与投影面的交线叫平面的迹线。 平面P与H面的交线为水平迹线PH，与V面的交线为正面 迹线PV，与W面的交线为侧面迹线PW。
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6
a.一般位置平面的迹线表示法 V PV PV
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的 投影反映直角。 ⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上 的投影反映直角。 ⒊ 两直线均为一般位置直线时，在三个投 影面上的投影不一定反映直角。 b a
.
直角投影 定理
c
即要在投影图中画垂直或判断 垂直，必须有投影面平行线。
b
c
小结
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⒈平面上取任意直线
在平面内取 直线的方法
定理一
若一直线过平面上的 两点，则此直线必在 该平面内。
定理二
若一直线过平面上的一点， 且平行于该平面上的另一 直线，则此直线在该平面 内。
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21
例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平 面内任作一条直线。
根据定理一 解法一
b m a m b n c a b d c
a b b a c
a b
c b
c
b
a c
a
c
b
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37
二、平面上的点与直线(P27-30)
⒈ 平面上的点 一定位于平面内的某条直线上.
e a
b d c
⒉ 平面上的直线（求线先找已知点） a ⑴ 过平面上的两个点。 e ⑵ 过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。
X
4 c a 1(2)
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b d 3
3
四、相互垂直的两直线的投影特性
⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该投影面上的 投影反映直角。 ⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上 的投影反映直角。 ⒊ 两直线均为一般位置直线时，在三个投 影面上的投影都不反映直角。 b a
.
直角投影 定理
投影面垂直面 特殊位置平面
铅垂面(⊥H) 正垂面(⊥V) 侧垂面(⊥W) 水平面(//H) 正平面(//V) 侧平面(//W)
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面平行面 一般位置平面
与三个投影面都倾斜
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9
1） 投影面垂直面的投影
铅垂面
V
P A a b H 投影特性：
1. abc积聚为一条线， 与OX、 OYH的夹角反映、角； 2 .abc、 abc为ABC的类似形；
b
b
a b
a
a
b
小结 1
b
β
γ
●
b
a(b)
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a
二、直线上的点
⒈ 从属性：点的投影在直线的同名投影上。
⒉ 定比性：点分线段之比在投影中不变。 AB:CB=a’c’:c’b’=a”c”:c”b”
b
c
cb
b
a
c
c
a
b c a
ac
b
a
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2
b
三、两直线的相对位置
⒈ 平行
11
侧垂面
V S b b SW b W c a b c a a
B
c
β
c α a
C A
H 投影特性：
1、 abc积聚为一条线， 与OYW 、 OZ 的夹角反映α、β角； 2 、 abc、 abc为 ABC的类似形。
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类似性
是什么位置 的平面？ a
b c c
根据定理二 解法二
b c
d
a
n c
a
有无数解。
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例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距离为10mm。
a m 10 b b c n a n c
唯一解！
m
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⒉
平面上取点
若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。 即：点在线上，则点在面上。
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PH
a b
QH
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5.已 知 平 面 图 形 的 两 个 投 影 ， 求 作 第 三 个 投 影 ， 并 判 断 平 面 的 空 间 位 置 。
a) b) c)
b a
c
三角形是
水平 面
平面图形是
正垂面
平面图形是
侧垂面
投影面平行面:两线一实形 投影面垂直面:一斜两类似
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三、平面上的直线和点
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面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助 线，然后再在该直线上确定点的位置。
例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
① k● a a
b
c
②
b d k ● c
a’ b
●
k
b
a
●
k
d
c 利用平面的积聚性求解
c 通过在面内作辅助线(细实线)求解
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18
2.用 有 积 聚 性 的 迹 线 表 示 下 列 平 面 :
例：用有积聚性的迹线表示下列平面：过直线AB的 过 直 线 AB的 正 垂 面 P； 过 点 C的 正 平 面 Q； 过 直 线 DE 的 水 平 面 R。 正垂面P；过点C的正平面Q；过直线DE的水平面R。 b’ RV PV a’
d a c
a
同面投影互相平行(注意投影面平行线)。 ⒉ 相交 同面投影相交，交点是两直线的 共有点，且符合点的投影特性。 ⒊ 交叉 同面投影可能相交，但“交点” 不符合点的投影特性。所谓“交点” 是两直线上一对重影点的投影。
c b
d
c k d a a c k
b d
b
d b
c 1 3(4) 2 a
A
B
C b a H c
W c b
a
投影特性：
c
1.abc//OX、 abc//OYW，分别积聚为直线; 2 .水平投影abc反映 ABC实形。
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正平面
V b a B b b W a c b a c
c
A C
a c
c
H
b
a
c
b
a
投影特性：
1.abc//OX 、 abc //OZ，分别积聚为直线； 2 .正面投影abc反映 ABC实形。
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34
椭圆的画法
椭圆的近似画法(四心法)：
4 E
C
F
A 1
O
D
3
B
2
1.CF=CE=OA-OC 2.作AF的中垂线,与两轴交得 1.2两点，取对称点3.4。
3.分别以1.2.3.4点为圆心， 1A.3B.2C.4D为半径作弧，拼成近 似椭圆。
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一节到此
35
四、相互垂直的两直线的投影特性
m a
k
n
c
b
n
m
k
c
a
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31
例8：在△ABC内确定K点，使K点距H面为18mm，距 面 为V面为15mm. 15mm。
6.在 △ ABC内 确 定 K点 ， 使 K点 距 H面 为 18mm， 距 V
分别画出：
k’
1’ 2’
1.距H面18mm的水平线（Z 相同=18）。 2.距V面15mm的正平线（Y 相同=15）。
18
2
15
k
1
3.两条线的交点满足K点的 条件。
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32
例9：在平面ABC上取一点K，使点K在点A之下15mm （△Z）、在点A之前20mm处（△Y）。（思考题）
K在点A之下15mm 的水平线上
K在点A之前20mm 的正平线上
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33
四、 圆的投影
圆的投影特性：
1、圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；(实形性) 2、圆平面在所垂直的投影面上的投影是直线，其长度等于圆 的直径φ；(积聚性) 3、圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆。其长轴是圆的 平行于这个投影面的直径AB的投影（ab）；短轴是与上述直径 垂直的直径DE的投影(de)。(类似性)本节到此
b
c d
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38
1.5
直线与平面及两平面的相对位置
相对位置包括平行、相交（垂直）。 一、平行问题
直线与平面平行 平面与平面平行
⒈ 直线与平面平行
定理: 若一直线平行于平面上的某一直线， 则该直线与此平面必平行。 即：将线面// ，转化为线线//
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39
特殊情况： ⒈ 直线与平面平行 1. 当直线与特殊位置平面相平行时，直线的投影平行 于平面的具有积聚性的同面投影，如图。 2.当直线与平面都为特殊情况且平行时，直线与平面 的积聚性投影在同面投影上。
P
H
PH PV
PH
b.特殊位置平面的迹线表示法
V
QV
QV
PH H
PH
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7
二、平面的投影
⒈ 平面对一个投影面的投影特性
平行
平面//投影面 投影反映实形面
垂直
平面⊥投影面 投影积聚成直线
倾斜
平面∠投影面 投影类似原平面
实形性
积聚性
类似性
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8
⒉ 各种位置平面的投影(三类七种情况)
垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面
例5：判断点K是否在平面上（另判断四点是否在同一平面*）
点在面上
点不在面上(*)
点不在面上
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29
例6：已知平面ABCD的边BC//H面，完成其正面投影。
分析：根据a’d’想办法求b’c’ a’
1’
d’
BC为水平线
b’c’//OX
b’ a b
c’
d
1
c
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30
例7 已知ABC 给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线， 过点A作属于该平面 的水平线。 b 正平线上的点Y坐 标相同，水平线上 的点Z坐标相同， 交点K是既满足Y坐 标又满足Z坐标的 点。
一、各种位置直线的投影特性(三大类七种位置直线)
⒈ 一般位置直线（三斜无实长）三个投影与各投影轴都倾斜。
⒉ 投影面平行线（一斜两平行）水平线、正平线、侧平线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的 夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。
⒊ 投影面垂直线（一点两垂直）铅垂线、正垂线、侧垂线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映 实长且垂直于相应的投影轴。 b b a a a a
c’ a 2
d
f
e
c
b
1
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27
例4：AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。
解法一 k b 解法二 c b
a
a
c
d d a c k a
d d c b 利用平行四边形 对边平行
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b 找点B先求线DB， 求线DB先找点K。
28
3.判 断 点 K是 否 在 平 面 上 。
b
类似性
a
积聚性
a
γ
β
c
b
铅垂面
投影特性：
1.在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影 轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。 2.另两个投影面上的投影有类似性。
投影特征：一斜两类似
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13
2） 投影面平行面的投影
水平面
V a b c a b a b c b a c
a
36
一、各种位置平面的投影特性
⒈ 一般位置平面（三类似）
三个投影为边数相等的类似多边形。
a
b c
b a
c
⒉ 投影面垂直面（一斜两类似）
在其垂直的投影面上的投影积聚成直线。 另外两个投影为类似多边形。
a c
b
c
⒊ 投影面平行面（两线一实形）
在其平行的投影面上的投影反映实形。 a 另外两个投影积聚为直线。
25
例2 已知ABC给定一平面,试判断点D是否属于该平面。 b
b
d
e
a
d
e
a
c
c
c a
c
a
d
e
d
e b
b
点D不属于平面ABC
点D属于平面ABC
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26
例3：作出三角形ABC平面内三角形DEF的水平投影。 b’
e’ d’
1’
求线先找两已知点， 求点先找已知线。
2’ a’
f’
三峡大学
c B W a a b a
c b
C PH c

c

b
10
正垂面
V QV a c Q C a A
b
c
b
b c a

B
W
a
α
c
H
投影特性： b
1. abc 积聚为一条线，与OX、 OZ的夹角反映α、 角； 2.abc、abc为 ABC的类似形。
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c
即要在投影图中画垂直或判断 垂直，必须有投影面平行线。
b
c
三峡大学
a
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1.4 平面的投影
一、平面的表示法
1、用几何元素表示平面
●
c a●
●
c
a●
●
c
d ●
● a
●
c
● a
●
c
a●
●
● ●
●
b ●b
a
● ●
b ●b
a●
●
●
b ●b
a● c
● ●
b ● b
d c a●