弯曲内力

MA
FCs
2Fl
MC
C D
FDs F
F
B
MD 0
FDs
l
F
D

MD
B
计算原则
一般取一端进行计算，另一端进行校核 1、断开隔离体上的一切外部约束，代之以 约束反力 2、应断开索取隔离体上的全部荷载，不可 遗漏 3、标出横截面上的全部未知内力，未知剪 力按正方向，未知弯矩按使梁下侧纤维受拉 为正
解得
M E RA c 0
RA
A E
FSE ME
FSE RA
M E RA c
C
RA
A
c
FSE
E
ME
FSE ME
E
F1
C a- c b- c
F2
D
RB
B
l- c
取右段为研究对象
Fy 0
F SE RB F 1 F 2 0
RB ( l c ) F 1 (a c ) F 2 (b c ) M E 0
例题2 图示梁的计算简图。已知 F1、F2，且 F2 > F1 ， 尺寸a、b、c和 l 亦均为已知.试求梁在 E 、 F 点处横截面处 的剪力和弯矩.
解 (1)求梁的支反力 RA 和 RB
mA 0
RB l F1a F2b 0
RA
A
a
F1
C E
F2
D F
RB
B
mB 0
RAl F1 ( l a ) F2 ( l b) 0
FSE RA
+
ME 0
解得
M E RA c +
RA
A
a
F1
C E
F2 FSF
D F d B MF F d
RB
B
c
b
l
计算 F点横截面处的剪力 FS 和弯矩 MF .
Fy 0, mF 0,
FSF RB 0 M F RB d 0
解得：
FSF R B
RB
q0 a2 q0 (l 2 3a2) QC R A 2l 6l q0 a 2 a M C RA a 2l 3 q0 a(l 2 a 2) 6l
q0
A C B
a
l
RA
A
q0 a 2l
2
a3
l 当 a 3 时 QC 为正
MC 恒为正
QC
C
a
MC
例题
A
一长为2m的均质木料，欲锯下0.6m长的一段。为使在 锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的弯矩为零，木料 放在两只锯木架上，一只锯木架放置在木料的一端，试问 另一只锯木架放置何处才能使木料锯口处的弯矩为零。 q 2q1 x M D 0 FA 2 x B C D
A
q0 a 2l
2
a3
QC
C
a
MC
RA
列出平衡方程
2l 3
q0 l 2
l 3
RB
y0
A
q0
B C
q0 a 2 Qc 0 RA 2l
a
l
mc 0
RA
q0 a 2 a 0 M CRA a 2l 3
A
q0 a 2l
2
a3
QC
C
a
MC
RA
解得
2l 3
q0 l 2
l 3
对称弯曲
构件的几何形状、材料性能和外力作用均 对称于杆件的纵对称面
F1
F2
杆轴 FA 纵向对称面 Me FB
X
平面弯曲
梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面 相重合
对称弯曲必定是平面弯 曲，而平面弯曲不一定是 对称弯曲。
F
q
纵
向
对称面
B A
非对称弯曲
构件不具有纵对称面，或 虽有纵对称面但外力不作用 在纵对称面时的弯曲变形
F1 ( l a ) F2 ( l b) RA l
c b
d
l
F1a F2b RB l
记 E 截面处的剪力为FSE 和弯矩 ME ，且假设FSE 和弯矩ME 的指向和转向 均为正值.
RA A
a
F1 C
F2 D B
E
c
F
d
Fy 0 ,
RA FS E 0
b l
m E 0,
FS
i 1 左（右）
Fi
n
M
i 1 左（右）
Fi ai M k
k 1 左（右）
n
m
例题3 轴的计例算简图如图所示，已知 F1 = F2 = F = 60kN ， a = 230mm,b = 100 mm 和c = 1000 mm.求 C 、D 点处横截面 上的剪力和弯矩. F1=F
x Fs 图的坐标系
M 图的坐标系
剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧，标正负号 弯矩图为正值画受拉的一侧，不标正负号
x
Байду номын сангаас
O
O
剪力方程和弯矩方程
剪力图和弯矩图
q
A FA B
x
l
+ -
FB
ql FS qx 2
ql qx 2 M x 2 2
ql 2
ql 2
ql 2 8
由剪力方程可知 剪力 为一直线，因此 只需确定两点便可画 图剪力图；弯矩方程 为一抛物线需确定三 点才能画出弯矩图
简支梁
(simply supported beam)
外伸梁
(overhanging beam)
悬臂梁
(cantilever beam)
梁按支承方法的分类
悬臂梁 3（2） 简支梁 3（2）
外伸梁
3（2）
固定梁
6（4）
连续梁
4（3）
半固定梁
4（3）
作用在梁上的载荷形式
分布荷载
集中力
Me
均匀分布荷载
集中力偶
M＞0
M＜0
使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之 为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之 为负。
4.1
例 题
FA
A
试确定截面C及截面D上的剪力和弯矩
2Fl
C D
F
B
FCs F FCs F
M C Fl M C Fl
l
l
FCs
MA FA
A
M C 2 Fl Fl
l
C
MC
例题
4.5
F
图示悬臂梁AB,自由端受力F的作用,试作剪力 图和弯矩图.
材料力学的任务强度、刚度、稳定性
为了以后梁的强度和刚度计算前需要应 首先确定梁在外力作用下任意截面的内力。 计算粱的内力的方法仍然是截面法。
§2 梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图
F a
FS FA
A FA B
l
M
FB
M FA x
FA
x
Fs
一、内力计算（Calculating internal force)
M= 2、弯矩方程（Bending-moment equation） M(x)
二、剪力图和弯矩图 (Shear-force&bending-moment diagrams)
以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相 应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图
Fs(x) M(x)
分布载荷（distributed load )
荷载作用在梁的轴线上 (3） 支座的类型
A
可动铰支座 （roller support)
A
A
RA
A
固定铰支座 (pin support)
A
YA
A A
XA
A
固定端(clamped support or fixed end)
R H M
5、静定梁的基本形式 (Basic types of statically determinate beams)
工程
一. 工程实例（Example problem)
§1 对称弯曲的概念及梁的计算简图
力学模型
F1
F2
y
杆轴 FA 纵向对称面 FB X z 形心
构件几何特征
构件为具有纵对称面的等截面直杆
受力特征
横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在杆的纵向 对称面内
变形特征 杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线，
C A b a c D B
RA
RB
F2=F
解
(1)求支座反力
RA RB F 60kN
(2)计算C 横截面上的剪力FSC和弯矩 MC . 看左侧
FSC F1 60kN
M C F 1 b 6 .0kN.m
(3)计算D横截面上的剪力FSD 和弯矩 MD . 看左侧
第四章
弯曲应力
杆件承受垂直于其轴线方向的外力,或在其 轴线平面内作用有外力偶时, 杆的轴线变为曲线. 以轴线变弯为主要特征的变形称为弯 曲。
本章概述
如同杆件在受到拉（压）和扭转作用时其横截面上 将舍产生轴力和扭矩一样，当杆件在外力作用 下发生弯曲变形时，其横截面上也将会产生内力， 这种内力就是弯矩和剪力，这种以弯曲变形为主的 l杆件称为粱。本章从截面法入手，研究梁的内力 及其简化计算方法；通过研究粱的内力与分布荷载 的 关系，深入认识粱的内力图的特征，井进一步提出 画弯矩图简单有效的实用方法。
[举例]已知 如图，F，a，l. 求 距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
A l a
F
B
Fx 0 ,
XA 0
Fa XA A m A 0 , RB l F (l a ) Y A F y 0 , RA l
F
B
RB
求内力——截面法
F (l a ) F y 0 , Fs Y A l XA mC 0 , M Y A x
a
l
mB 0,
q0l l R Al 0 2 3
q0l , 6 q0l 3
解得：
RA
RB
在 C 点处梁上的荷载集度为
RA
2l 3
q0 l 2
l 3
RB
q0 a
l
A C
q0
B
该梁段上分布荷载的合力为
2
a
l
a q0 a q0 a 2 l 2l
RA
此合力距 C 点的距离为 a/3
一、剪力方程和弯矩方程 (Shear- force & bendingmoment equations）
分别称作剪力方程和弯矩方程.在列剪力和弯矩方程时可以根据 方便的原则取梁的左端或右端为坐标原点。 1、剪力方程(Shear- force equation ) FS= FS(x)
用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，
x
l 2m a 0.6m
l a 2 M C FA l a q
2
0
2q1 x 1.4 2 1.4 q 0 2 x 2
x 0.462m
剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
在梁的截面上所取截面不同，其剪力和弯矩 一般也是不同的，为了进行强度和刚度的验 算，需要知道沿梁轴线剪力和弯矩的变换规 律，以及剪力和弯矩的最大值及其所在位置。 用图形表示剪力和弯矩沿轴线的变换规律最 简单。 最直接的方法是列出剪力函数和弯矩函数， 它们的函数图形即使剪力图弯矩图
+
M F RB d
截开后取左边为示力对象：
向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力；
向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；
顺时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。
截开后取右边为示力对象：
向上的外力引起负剪力，向下的外力引起正剪力；
向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；
顺时针引起负弯矩，逆时针引起正弯矩。
RB
B
(2）求1-1截面的内力
FS 1 FSC左 R A 4kN
2.5m
M 1 M C左 R A 1 4kN.m
(3）求2-2截面的内力
m
FS 2 FSC右 RB ( 4) 4kN
1 C
2
M 2 M C右 RB ( 2 .5 1) ( 4) 1.5 6kN.m
x
FAy FBy
y
梁：以弯曲变形为主的杆件
静定梁 超静定梁
支座反力可以由静力平衡方程求解的梁 支座反力仅由静力平衡方程不能求解的梁
墙
楼板
梁
q
L称为梁的跨度
l
4、梁的力学模型的简化（Representing a real structure by an idealized model) (1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。 集中力（concentrated force) (2）载荷类型 集中力偶（concentrated moment)
剪力 弯曲构件内力
m
A
F
B
YA
m
x
RB
弯矩 1、弯矩(Bending moment )M 构件受弯时，横截面上其作用面垂 直于截面的内力偶矩. 2、 剪力(Shear force) FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力. YA M
FS M
C
F
C
FS
RB
符 号 规 定 ：
Fs＞0
Fs＜0
例题： 图示简支梁受线性变化的分布荷载作用， 最大荷载集度为 q0 。试计算梁在 C 点处横截面上的
剪力和弯矩
q0
A C B
a
l
解：求梁的支反力 RA 和 RB 由平衡方程得 ：
RA
2l 3
q0 l 2
l 3
RB
q0
A B C
q l 2l 0 m A 0, RBl 2 3 0
FSD R A F 1 60 60 0
M D R A (c a ) F 1 c Fa 13.8kN.m
F1=F
C
RA
RB
F2=F
A
b a c
D
B
求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩.
解 (1）求支座反力 RA=4kN RB=-4kN RA
A 1 1m 10kN.m 2 C