2014-2017高考真题 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ

第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ

考点1 函数的概念

1.(2015·浙江，7)存在函数f (x )满足：对任意x ∈R 都有( )

A.f (sin 2x )＝sin x

B.f (sin 2x )＝x 2＋x

C.f (x 2＋1)＝|x ＋1|

D.f (x 2＋2x )＝|x ＋1|

1.D [排除法，A 中，当x 1＝π2，x 2＝－π

2

时，f (sin 2x 1)＝f (sin 2x 2)＝f (0)，而sin x 1≠sin x 2，∴

A 不对；

B 同上；

C 中，当x 1＝－1，x 2＝1时，f (x 21＋1)＝f (x 2

2＋1)＝f (2)，而|x 1＋1|≠|x 2＋1|，

∴C 不对，故选D.]

2.(2015·新课标全国Ⅱ，5)设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )

A.3

B.6

C.9

D.12

2.C [因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－

1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.]

3.(2014·山东，3)函数f (x )＝

1

(log 2x )2－1

的定义域为( )

A.⎝⎛⎭⎫0，12

B.(2，＋∞)

C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)

D.⎝⎛⎦⎤0，1

2∪[2，＋∞) 3.C [(log 2x )2－1>0，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0＜x <1

2，故所求的定义域是⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞).]

4.(2014·江西，2)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )

A.(0,1)

B.[0,1]

C.(－∞，0)∪(1，＋∞)

D.(－∞，0]∪[1，＋∞)

4.C [由题意可得x 2－x >0，解得x >1或x <0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞).]

5.(2014·江西，3)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1

5.A [因为f [g (1)]＝1，且f (x )＝5|x |，所以g (1)＝0，即a ·12－1＝0，解得a ＝1.]

6.(2014·安徽，9)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4 D.－4或8

6.D [当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

3x ＋a ＋1，x >－1，

x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，

－3x －a －1，x <－a 2

，

如图1可知，当x ＝－a

2

时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 2－1＝3，可得a ＝8； 当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

3x ＋a ＋1，x >－a

2

，

－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2

，－3x －a －1，x <－1，

如图2可知，当x ＝－a 2时，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a

2＋1＝3，可得a ＝－4. 综上可知，答案为D.]

图1 图2

7.(2014·上海，18)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

(x －a )2

，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )

A.[－1,2]

B.[－1,0]

C.[1,2]

D.[0,2]

7.D [∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，

∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1

x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f (0)是f (x )的最

小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.]

8.(2016·江苏，5)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________.

8. [-3,1] [要使原函数有意义，需且仅需3-2x -x 2≥0.解得-3≤x ≤1.故函数定义域为[-3，1].]

9.(2015·浙江，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值

是________.

9.0 22－3 [f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2

x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，

取等号；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，∴f (x )的最小值为22－3.]

考点2 函数的基本性质

1.（2017•北京,5）已知函数f （x ）=3x ﹣（ ）x ， 则f （x ）（ ）

A. 是奇函数，且在R 上是增函数

B. 是偶函数，且在R 上是增函数

C. 是奇函数，且在R 上是减函数

D. 是偶函数，且在R 上是减函数

1.A 显然，函数的定义域为全体实数，f （x ）=3x ﹣（

）x =3x ﹣3﹣

x ， ∴f （﹣x ）=3

﹣x

﹣3x =﹣f （x ），即函数f （x ）为奇函数，又由函数y=3x 为增函数，y=（ ）x 为减函数，故

函数f （x ）=3x ﹣（

）x 为增函数，故选A ．

2.（2017•新课标Ⅰ,5）函数f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f （1）=﹣1，

则满足﹣1≤f （x ﹣2）≤1的x 的取值范围是（ ） A.[﹣2，2] B.[﹣1，1] C.[0，4] D.[1，3]

2. D ∵函数f （x ）为奇函数．若f （1）=﹣1，则f （﹣1）=1，又∵函数f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f （x ﹣2）≤1，∴f （1）≤f （x ﹣2）≤f （﹣1），∴﹣1≤x ﹣2≤1，解得：x ∈[1，3]，故选D.

3.（2017•山东,10）已知当x ∈[0，1]时，函数y=（mx ﹣1）2 的图象与y= +m 的图象有

且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ） A 、（0，1]∪[2

，+∞）

B 、（0，1]∪[3，+∞）

C 、（0， ）∪[2

，+∞）

D 、（0，

]∪[3，+∞）

3. B 根据题意，由于m 为正数，y=（mx ﹣1）2 为二次函数，在区间（0， ）为减函

数，（

，+∞）为增函数，函数y=

+m 为增函数，

分2种情况讨论： ①当0＜m≤1时，有

≥1，

在区间[0，1]上，y=（mx ﹣1）2 为减函数，且其值域为[（m ﹣1）2 ， 1]，