创意平板折叠桌设计

承诺书

我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D中选择一项填写）： B

我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：

所属学校（请填写完整的全名）：

参赛队员 (打印并签名) ：

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）

日期：年月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

创意平板折叠桌参数设计

摘要

折叠桌具有使用方便易于携带的特点，创意精美的折叠桌由于需要巧妙的结构设计会使得加工难度增大，因此材料形状和加工尺寸的选择对折叠桌设计方案的确定十分重要。本文基于力学原理和几何理论，详细研究了一类创意折叠桌的动态变化过程和加工参数。

对于问题一，基于力学原理分析了桌子保持稳定的临界条件和承重能力，在桌腿投影与桌面投影相切的几何约束下，得出折叠桌最外侧桌腿长度及其与水平线之间的夹角；通过判断钢筋沿着桌腿槽口的滑动是单向运动，确定钢筋的运动路程就是桌腿要开槽的长度，再根据几何理论计算钢筋与桌腿交点到桌面边缘的距离，结合钢筋初始固定位置得到每条桌腿的开槽长度分别为4.67、8.11、10.93、13.28、15.21、16.76、17.94、18.78、19.27；通过建立空间坐标系并引入桌腿旋转角度θ，描述了桌子的动态变化过程，并用参数方程给出了桌脚边缘线。

对于问题二，以木板长、宽与桌面圆半径及桌高的几何关系为约束，建立以木板面积最小为目标的非线性规划模型；接着利用桌腿开槽长度与钢筋固定位置的优化模型，得出钢筋越靠近桌腿底端，桌腿开槽长度越短的结论。通过施加最短的桌腿不会滑出钢筋这一约束条件，确定了固定钢筋的合理位置，最终得到最优平板尺寸为长161.05cm、宽80cm，每条桌腿的具体开槽长度见表4。

对于问题三，假定客户给出的桌面边缘线为

g，通过确定其外接圆曲线

x y

(,)

f，利用问题二的模型即可确定合理的木材尺寸和支撑腿长度。然后根据客户(,)

x y

ϕ，利用其与桌面边缘线之间的距离可以得到每条桌腿的给出的桌脚边缘线

(,,)

x y z

长度。利用问题二中确定钢筋位置的模型，根据最短的桌腿长度计算钢筋最优位置，进而确定每条桌腿的开槽长度。最后根据特定的桌面边缘线正六边形和桌角边缘线椭圆，给出了折叠桌的动态变化过程见图5。

最优平板尺寸及加工参数的计算模型，在力学理论的基础上兼顾了美观和实用的要求，显得更为合理科学。

关键词：稳定性边缘线非线性规划动态变化外接圆

一、问题重述

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。

试建立数学模型并讨论下列问题：

1）给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。

2）折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。

3）公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

二、模型的基本假设

1）假设每条桌腿间的缝隙可忽略不计且桌腿与桌面之间是紧密连接；

2）木材的强度和刚度均足够，不会发生变形和折断；

3）计算过程中，木板的厚度可忽略不计；

4）加工是否方便仅由桌腿开槽长度决定；

5）所有桌子的单侧的桌腿数均为20；

三、符号说明

符号名称符号意义单位i

d第i根桌腿木条对应的桌面木条长度的一半cm i

D第i根木条开槽长度cm i

θ第i条桌腿旋转的角度度L长方形平板的长度cm

W

h

a i t

d

n

R

r

长方形平板的宽度

折叠桌高度

桌腿宽度

第i条桌腿的长度

钢筋固定位置与最外侧桌腿端点距离

桌子单侧的桌腿数

桌面边缘线外接圆半径

桌面圆半径

cm

cm

cm

cm

cm

个

cm

cm

其余符号在在首次出现出说明

四、问题分析

4.1问题一分析

问题一中给定了平板尺寸为120cm×50cm×3cm，为了确定折叠桌的加工参数以及准确地描述折叠的动态过程，首先要计算出最外侧四个支撑腿的长度和桌面圆的半径，这样就得出了折叠桌从平板到完全撑开的过程中的运动轨迹。对于桌腿木条的开槽长度以及桌脚边沿线的数学描述，我们建立了空间直角坐标系，便容易得到钢筋在桌腿完全撑开状态下的坐标值，根据点的距离公式计算折叠前后钢筋位置与桌腿端点的距离，进而确定出桌腿木条的开槽长度；引入桌腿旋转角度θ和沿桌面圆直径方向偏移量x，利用钢筋始终保持水平这一约束条件，用参数方程表示桌脚边沿线。

4.2问题二分析