拉普拉斯变换及其性质分析

2.指数函数
1 e α t α t st L e e e d t 0 sα (α s ) 0

(σ α )
3.单位冲激信号
L (t ) (t ) e st d t 1
0
0

全 s 域平面收敛
L (t t0 ) (t t0 ) e st d t e st0
F ( ) f (t ) e jω t d t
0
考虑到实际信号都是有起因信号
所以
采用
0
系统，相应的单边拉氏变换为
F ( s ) L f (t ) f (t ) e s t d t 0 1 σ j 1 st f (t ) L f (t ) F ( s ) e ds σ j 2π j
1
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 一个信号f(t)满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即
F ( j ) f (t )e


j t
dt
1 f (t ) 2



F ( j )e j t d
当函数 f (t)不满足绝对可积条件时，则其傅里叶变换不一定存 在。此时，可采取给f(t)乘以因子e–t(为任意实常数)的办法，这样 即得到一个新的时间函数 f (t)e–t，使其满足条件
F ( s) L f (t )
1
f (t ) e s t d t
正变换 反变换
1 σ j st f (t ) L f (t ) F ( s ) e ds σ j 2π j
记作
f (t ) F ( s)， f (t ) 称为原函数，F ( s) 称为象函数
5.1 拉普拉斯变换 二．拉普拉斯变换的定义
F ( s)

f (t )e s t dt
j
f (t )
2 j j
1
F ( s)e st ds
s= +j，s为一复数变量，称为复频率。 以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。
4
5.1 拉普拉斯变换
第5章 连续时间LTI系统的复频域分析
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯逆变换 连续时间LTI系统的复频域分析
§5.5 连续时间LTI系统
§5.6 系统方框图和信号流图 §5.7 连续时间LTI系统的稳定性 §5.8 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系
当的值来达到)，根据傅里叶变换的定义，则有
F{ f (t )e
t
} f (t )e


t jt
e
dt f (t )e ( j ) t dt


它是 +j的函数，可以写为
F ( j )
F( +j)的傅里叶反变换为
t 1

5
5.1 拉普拉斯变换
•收敛域：使F(s)存在的s 的区域称为收敛域。
三 拉 氏 变 换 的 收 敛 域
•记为：ROC(region of convergence) •实际上就是拉氏变换存在的条件；
lim f (t ) eσ t 0
t
(σ σ0 )
收敛区
jω
收敛轴
收敛坐标
σ0
O
σ
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(2) lim U (t )e σ t 0
t
>0时该式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。
(3) lim cos(0t )e σ t 0
t
>0时上式成立， 故其收敛域为s平面的右半开平面， 0= 0。
(4) lim e a t e σ t lim e ( a ) t 0
t t
要使该式成立，必须有a+ > 0， 即 > – a。故其收敛域为 – a以
右的开平面， 0= – a。
7
四．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
L u(t ) 1 e d t
st 0

1 st e s
0
1 s
(αs )t
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(σ 0)
例
信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标0)
(1)
解:
f (t ) (t )
(2) f (t ) U (t ) (4) f (t ) e atU (t ) a0
(3) f (t ) cos 0tU (t )
(1) lim (t )e σ t 0
t
要使该式成立，必须有 > – ， 故其收敛域为全s平面， 0= – 。
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四．一些常用函数的拉氏变换
4．幂函数 t
n n
nu(t)
st
1 1 1 st n n 1 st e 2 t e d t 0 0 s s s 0 s n n 1 st n2 t e dt 2 2 1 2 s 0 2 L t L t 2 3 n n n 1 s s s s 所以 L t L t s n3 n 1 3 3 2 6 3 2 L t L t 3 4 st L t t e d t s s s s 0

f (t )e ( j ) t dt
1 jt f (t )e F {F ( j )} F ( j ) e d 2 1 ( j ) t 即 f (t ) F ( j ) e d 2 1 j st f ( t ) F ( s ) e ds s t F ( s) f (t )e dt j 2 j
lim f (t )e t 0
t
则函数 f (t)e–t 即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存 在。可见因子e–t 起着使函数 f (t)收敛的作用办法，故称e–t为收敛
因子。
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5.1 拉普拉斯变换
设函数 f (t)e–t 满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过选取恰