第十章 相似性原理和因次分析

决定性相似准数的定义：
对该性质的流动以该决定性相似准数来 判断是否满足了主要动力相似。 判断是否满足了主要动力相似。 只要满足了决定性相似准数相等后， 只要满足了决定性相似准数相等后，就 满足了主要动力相似，抓住了解决问题的实 满足了主要动力相似， 质。 注意：对于Eu准数而言， Eu准数而言 （注意：对于Eu准数而言，在其他相似 准数作为决定性相似准数满足相等时， 准数作为决定性相似准数满足相等时， Eu 准数同时可以满足） 准数同时可以满足）
m-表示模型
µ m ∂ 2 vmz ∂ 2 vmz ∂ 2 vmz + + + 2 2 ρ m ∂ xm ∂y m ∂z m 2
根据流动相似条件: 根据流动相似条件 几何相似： 几何相似： x p = Cl xm , y p = Cl ym , z p = Cl zm 运动相似： 运动相似：
l Sr = υt
第三节
模型律
综上所述， 综上所述，动力相似可以用相似 准数表示， 准数表示，若原型和模型流动动力相 各同名相似准数均相等， 似，各同名相似准数均相等，如果满 足则称为完全的动力相似。 足则称为完全的动力相似。但是事实 上，不是所有的相似准数之间都是相 容的，满足了甲，不一定就能满足乙。 容的，满足了甲，不一定就能满足乙。
第十章
相似性原理和因次分析
概述
本章简单阐述和实验有关的一些 理论性的基本知识。其中， 理论性的基本知识。其中，包括作为 模型实验理论根据的相似性原理， 模型实验理论根据的相似性原理，阐 述原型和模型相互关系的模型律， 述原型和模型相互关系的模型律，以 及有助于选择实验参数的因次分析法。 及有助于选择实验参数的因次分析法。
如对于重力起支配作用的流动， 如对于重力起支配作用的流动， 选用Froude Froude准数为主要相似准数 选用Froude准数为主要相似准数 决定性相似准数）， ），满足 （决定性相似准数），满足 Frm=Frp ； 管道流动，流体机械中的流动： 管道流动，流体机械中的流动： Re数为决定性相似准数 Rem=Rep，Re数为决定性相似准数
相似准则
讨论粘性不可压流体流动的相似准则
1. 纳维－斯托克斯方程(N－S方程)的相似分析 纳维－斯托克斯方程(N－ 方程)
实际系统 原型)： （原型 ：
p-表示原型
∂v pz ∂t p
+ v px
∂v pz ∂x p
+ v py
∂v pz ∂y p
+ v pz
∂v pz ∂z p
1 ∂p p = -g p − ρ p ∂z p
第二节
则
相似准数
由动力相似的定义推导相似准
建立相似准则的途径： 建立相似准则的途径：
建立微分方程描述的问题， 1. 对已建立微分方程描述的问题， 根据方程和相似条件建立相似准则； 根据方程和相似条件建立相似准则； 建立微分方程的问题， 2. 对未建立微分方程的问题，根据 影响流动过程的物理参数通过量纲 分析导出相似准则； 分析导出相似准则；
有一轿车， h=1.5m，在公路上行驶， 例1 有一轿车，高h=1.5m，在公路上行驶， 设计时速v=108km/h v=108km/h， 设计时速v=108km/h，拟通过风洞中模型实 验来确定此轿车在公路上以此速行驶时的空 气阻力。 气阻力。已知该风洞系低速全尺寸风洞 =2/3)， (kl=2/3)，并假定风洞试验段内气流温度与 轿车在公路上行驶时的温度相同，试求： 轿车在公路上行驶时的温度相同，试求：风 洞实验时， 洞实验时，风洞实验段内的气流速度应安排 多大？ 多大？
C v ÷ Cl
2
相似准则
原型方程 与模型方程 完全相同 边界条件 相同
由模型方Байду номын сангаас的解可获得原型方程的解
Cl Cv Cρ Cµ C 2v Cl = 2 = = =1 Cυ Cρ Cg Cl Ct Cυ Cp
由于惯性力相似与运动相似直接 相关， 相关，我们把以上的关系分写为和惯 性力相联系的下列等式： 性力相联系的下列等式：
导出的相似准数
l pυ p ρ p
µp
pp
=
=
lmυm ρm
µm
pm
2
=
lυρ
µ
p
2
= Re 雷诺数
欧拉数
υp ρp
2
υm ρ m
=
=
υ ρ
= Eu
υp
2
gl p
=
υm 2
glm
υ
2
gl
= Fr
弗劳德数
相似准数的物理意义
Re = lυρ
µ
雷诺数：惯性力和粘性力的比值。 雷诺数：惯性力和粘性力的比值。 的比值
1 ∂pm − Cl Cρ ρm ∂zm Cp
Cυ Cµ µm ∂2 vmz ∂2 vmz ∂2vmz + 2 + + 2 2 2 Cl Cρ ρm ∂xm ∂ym ∂zm
将方程与模型系统流动微分方程相比较
如果： 如果： Cp Cv Cµ Cv C 2v = = Cg = = 2 Ct Cl Cl Cρ C l Cρ
一、瑞利方法
前提条件： 前提条件： 影响流动现象的变量之间的函 数关系是幂函数乘积形式。 幂函数乘积形式 数关系是幂函数乘积形式。
具体步骤： 具体步骤：
1、确定影响流动的重要物理参数，假 、确定影响流动的重要物理参数， 定它们之间的关系为幂函数乘积形式； 定它们之间的关系为幂函数乘积形式； 2、根据量纲和谐原理，建立各物理参 、根据量纲和谐原理， 数指数的联立方程组； 数指数的联立方程组； 3、求解方程组得各物理参数得指数值， 、求解方程组得各物理参数得指数值， 代入所假定得函数关系得无量纲数之间的函 数关系； 数关系； 4、通过模型实验确定待定系数； 、通过模型实验确定待定系数；
欧拉数：流体压力和惯性力的比值； 欧拉数：流体压力和惯性力的比值； 压力和惯性力的比值
Eu = p
υ2 ρ
一般，两液流的雷诺数相等，欧拉数也相等；两液流 一般，两液流的雷诺数相等，欧拉数也相等； 的弗汝德数相等，欧拉数也相等。 的弗汝德数相等，欧拉数也相等。只有出现负压或存在气 蚀情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证液流相似。 蚀情况的液体，才需考虑欧拉数相等来保证液流相似。 斯特劳哈尔数：速度随时间变化引起的力与惯性力之比； 斯特劳哈尔数：速度随时间变化引起的力与惯性力之比； 非恒定流体流动中，当地加速度， 非恒定流体流动中，当地加速度，这个加速度所 产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。 产生的惯性作用与迁移加速度的惯性作用之比。
π定理（又称巴金汉法）： 定理（又称巴金汉法）：
若某一物理过程需要n个物理参数来描述， 若某一物理过程需要 个物理参数来描述， 个物理参数来描述 且这些物理参数涉及到r个基本量纲，则此物理 且这些物理参数涉及到 个基本量纲， 个基本量纲 过程可用n-r个无量纲数来描述 个无量纲数来描述， 过程可用 个无量纲数来描述，这些无量纲的 数称为π 其数学表达式为： 数称为π项，其数学表达式为：
v1''
v1' 1 A 2 v2'
1 A o
2
v2''
l′ l ′′ v′ = 系统1： 系统 ： v 系统 ： ′′ = t ′ 系统2： t ′′
o
三、动力相似
流动的动力相似，要求同名力作用， 流动的动力相似，要求同名力作用， 相应的同名力成比例。 相应的同名力成比例。
式中， 式中，ν、p、 G 、 I 、 E 分别表示 、 粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力。 粘性力、压力、重力、惯性力、弹性力。
l3' A l1' 模型 l2'
l2'' B l1''
原型
′′ ′′ l1′′ l2 l3 lp = = = = Cl 长度比尺 ′ ′ l1′ l2 l3 lm
原型几何特征尺度
模型几何特征尺度
二、运动相似
相应点的流速大小成比例，方向相同。 相应点的流速大小成比例，方向相同。
v3'' 3
v3' 3
第一节
力学相似性原理
流动相似概念
在两个几何相似的空间中的流动系 统，若对应点的同名物理量之间有一定的 若对应点的同名物理量之间有一定的 同名物理量 比例关系，则这两个流动系统相似。 比例关系，则这两个流动系统相似。
流动相似包括
几何相似 运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似
一、几何相似
l3''
适用范围： 适用范围：主要受水流阻力即粘滞力作用的流 体流动，凡是有压流动，重力不影响流速分布， 体流动，凡是有压流动，重力不影响流速分布， 主要受粘滞力的作用， 主要受粘滞力的作用，这类液流相似要求雷诺 数相似。另外，处于水下较深的运动潜体，在 数相似。另外，处于水下较深的运动潜体， 不至于使水面产生波浪的情况下， 不至于使水面产生波浪的情况下，也是以雷诺 数相等保证液流动力相似。 数相等保证液流动力相似。如层流状态下的管 隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。 道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。
基本物理量的量纲： 基本物理量的量纲：
长度： 长度：[L] ； 质量： ； 质量：[M]； 时间： ； 时间：[T]； 热力学温度[Θ]; 热力学温度
量纲和谐原理
所谓量纲和谐原理，是说完 整的物理方程式中各项的因次应相 同的性质。例如， 同的性质。例如，伯努利方程中各 项的因次均为长度[L]。 项的因次均为长度 。
µp + ρp
∂ 2 v pz ∂ 2 v pz ∂ 2 v pz + + 2 ∂x 2 ∂y p ∂z p 2 p
模型系统 ∂vmz ∂vmz ∂vmz ∂vmz 1 ∂pm 模型)： （模型 ： ∂t m + vmx ∂xm + vmy ∂y m + vmz ∂z m = - g m − ρ m ∂z m
第四节
因次分析法
一、因次分析的概念和原理 因次是指物理量的性质和类别。 因次是指物理量的性质和类别。例 如长度和质量， 如长度和质量，它们分别用 [ L ] ， [ M ]表达。而单位除表示物理量的性质 表达。 表达 还包含着物理量的大小， 外，还包含着物理量的大小，如同为长 度因次的米，厘米等单位。 度因次的米，厘米等单位。因次又称为 量纲。 量纲。
弗劳德数： 流体在流动过程中重力位能与动 弗劳德数 ： 流体在流动过程中 重力位能与动 的比值。 能 的比值 。 重力位能和动能分别与重力和惯 性力成正比， Fr也表示流体在流动中重力 性力成正比 ， 故 Fr 也表示流体在流动中重力 和惯性力的比。 和惯性力的比。
Fr =
υ
2
gl
适用范围： 适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自 由变动的各种流动（重力起主要作用的流动）， 由变动的各种流动（重力起主要作用的流动）， 如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、 如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻力 平方区的有压管流与隧洞流动等。 平方区的有压管流与隧洞流动等。
f (π1,π2,...,πn−r ) = 0
是独立的、 式中 π1，π2，…πn-r，是独立的、无量纲的 π 由方程中的若干个物理量所构成的。 数，由方程中的若干个物理量所构成的。
π 项的选取原则： 项的选取原则：
r个基本物理参数必须包含 个基本量 个基本物理参数必须包含r个基本量 个基本物理参数必须包含 纲； 所选择的物理参数至少应包含一个几 何特征参数，一个质量特征参数， 何特征参数，一个质量特征参数，一个流 动特征参数； 动特征参数； 非独立变量不能作为基本物理参数。 非独立变量不能作为基本物理参数。
υ px = Cvυmx ,υ py = Cvυmy ,υ pz = Cvυmz
动力相似： p p = C p pm , g p = C g g m 动力相似： 其他物理量相似： 其他物理量相似： ρp
= Cρ ρm , µp = Cµ µm
将相似变换代入原型系统流动微分方程
Cυ ∂vmz Cυ 2 ∂vmz ∂vmz ∂vmz + + vmy + vmz vmx = -C g g m Ct ∂t m Cl ∂xm ∂y m ∂z m
第三节
模型律
如果所有的相似准数都相等， 如果所有的相似准数都相等，意 味着各比例系数均等于1 味着各比例系数均等于1，这实际上 意味着模型流动和原型流动各对应参 数均相等， 数均相等，模型流动和原型流动就成 为了相等流动。因此， 为了相等流动。因此，要使两者达到 完全的动力相似，实际上办不到， 完全的动力相似，实际上办不到，我 们寻求的是主要动力相似 主要动力相似。 们寻求的是主要动力相似。