曲面曲率计算方法的比较与分析

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研究生专业课程报告
题目：曲面曲率直接计算方法的比较
学院：信息学院
课程名称：三维可视化技术
任课教师：刘晓宁
姓名：朱丽品
学号： 201520973
西北大学研究生处制
曲面曲率直接计算方法的比较
1、摘要
曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。

关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格
2、引言
传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。

CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。

点的法向量
和曲率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。

由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。

在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。

本节中针对近几年来国际上提出的对三角网格曲面估算离散曲率的直接估算法，从数学思想与表达形式等方面进行系统的归纳与总结.
3、三角网格曲面的曲率的计算及代码实现
为了叙述清楚起见, 引入统一的记号.k 1和k 2表示主曲率,曲面的主曲率即过曲面上某个点具有无穷个曲线，也就存在无穷个曲率（法曲率），其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值k 1，垂直于极大曲率面的曲率为极小值k 2。

这两个曲率的属性为主曲率。

它们代表着法曲率的极值。

主曲率是法曲率的最大值和最小值。

H 表示平均曲率,是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。

如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K 1、K 2，
那么平均曲率则为：H= (K 1 +K 2 ) / 2。

K 表示曲面的高斯曲率, 两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称总曲率，反映某点上总的完全程度。

K=k 1*k 2。

N fk表示法曲率, n 表示法向量.考虑三角网格的顶点V i。

（1）曲面三角网格的表示形式
给一个三维曲面，如下图所示，如果用文本形式将其打开，则是由两部分组成，第一部分以v开头是三维的点，第二部分以f开头是三个点组成的面三角形。

（2）三角网格模型曲率计算---直接计算
第一步：估计给定点的法向量
三角网格模型一般情况下可以由一对线性表表示，M=（V,F）；其中V={v i：1<=i<=n v}表示顶点集，F={f K:1<=k<=n f}表示三角片集。

如下图所示：
各个三角片的法向量的计算，在计算以v i为公共顶点的法向量时，由于后面的计算要取其平均值，故必须保证法向量方向的一致性，在这里要用到了数学上的右手法则或者左手法则，即与v i相邻的点形成一个三维的封闭的圈，按照右手法则给其线段标注方向，如下图所示。

三角面片f k 的法向量N fk 的计算公式如下：
N fk=(v i-v j+1)*(v j+1-v j)/||(v i-v j+1)*(v j+1-v j)||;
我们称1-环邻域是与点v i相邻的三角形集合。

图中除顶点v i外其它顶点组成的集合记为V i。

如果顶点v j属于V i，则v j是v i的相邻点。

V i中顶点的个数称为其顶点的度，记为|N(i)|。

包含v i的三角形片集
合记为F i。

如果三角形片记f k属于F i。

记为f k∈F i。

记|f k|为三角形片的面积。

包含点v i的三角片的面积之和记为N(v i)。

离散三角网格上法向量和法曲率也有一般的定义方法，这些几何量估算的准确度对高斯曲率和平均曲率的准确度影响很大。

对于离散三角网格曲面M=(V,F)，任意点v i的法向量一般可定义为1-环三角形某些几何量的加权和。

最简单的加权方法为1-环三角形的法向量平均值，定义如下：
对于三角网格上任意点v i，法曲率通常使用公式
第二步：计算法曲率，得到两个主曲率K 1和K 2
对于三角网格上任意点v i，法曲率通常使用公式
第三步：计算高斯曲率和平均曲率
K=K 1*K 2H=（K 1+K 2）/2
实现代码见附件
4、点云曲面的曲率的计算及代码实现
(1)点云简介
点云(Cloud Points)是由很多单个的点组成的集合。

点是最简单、最基本的几何定义实体。

记录了模型表面离散点上的各种物理信息，例如模型表面离散点的三维位置坐标、大小、法向量、颜色、透明度、纹理特征等。

用点云表示的颅骨如下图所示：
（2）点云模型曲率计算---直接计算
1)选取当前的点P i ‘(x,y,z);
2)运用kd-tree 查找点P i ’的最近邻的m 个点，够成m*3的矩阵A ；
3)计算协方差矩阵A ’A ；
4)求解3）中获得的协方差矩阵的特征值1λ，2λ，3λ；
5）取1λ，2λ，3λ中的最小特征值min λ；
6）计算’
i p 的曲率：min λ/(1λ+2λ+3λ);
实现代码见附件
5、曲面曲率的应用
（1）基于曲率的点采样曲面简化
对于从原始的几何形体采样得到的密集点云来说,有时并不需要丰富的细节特征只需要形体的大致轮廓,或者为了避免对利用采样得
到的密集点云进行曲面重建后再简化。

这时为了有利于绘制, 方便后续处理就有必要对点采样曲面进行简化。

关于点采样曲面的简
化,Pauly 等【4】提出了几种有效的方法, 主要是将原来网格曲面成熟的简化算法推广到点采样曲面。

从微分几何的角度来看, 原始曲面曲率较高的区域, 应该用较多的采样点表示, 相反则用相对较少的采样点表示。

曲率是反映曲面的基本特性, 因此常用作简化的阈值准则之一。

一般基于曲率的简化是这样的:设一个阈值, 小于阈值的简化掉, 反之则给予保留;反复重复该过程直至简化之后的点个数满足要求为止, 或者当没有小于阈值的采样点了。

然而这种做法一个明显不足的是, 简化可能一直在某个曲相差微小的区域进行, 相反在需要简化的曲面区域则没有简化到。

为此, 简化算法可以这样改进:首先根据曲率大小把曲率分成不同的区间段, 相当于对点采样曲面进行分割, 然后设一个曲率偏差, 最后把每个区间段内与最大曲率点相差小于偏差的采样点简化掉。

这样做法的最大好处在于点采样曲面的不同曲率间段的区域都简化到。

根据不同的需要,区间段的个数, 曲率偏差可以取不同的值, 甚至每个区间段的曲率偏差可以取不同。

（2）特征提取
特征提取在计算机视觉、图像处理、逆向工程等领域得到广泛研究。

在逆向工程中, 三维几何形体的特征提取在曲面的重建、光顺去噪等都占有重要的地位。

Gumhold等【5】通过Hoppe 等的主元分析, 为每个采样点加权, 接着利用最小生成图(minimum spanning graph)提出一种直接在点云曲面进行特征提出的方法;与之类似,Pauly 等
[ 5] 将图像处理中的多尺度概念引入点采样曲面,提出一种抗干扰性更强的多尺度特征提取方法。

本文对点采样曲面进行特征提取采用的方法也与Gumhold 类似, 只不过算法中的曲率计算方法不一样。

曲率计算在工程、医学、信息学等方面都有很多的应用，在法医学上，对于无身源颅骨和失踪人照片重叠的过程中，轮廓线的曲率是一个重要的指标。

在工程制造方面，曲率的一致性也发挥了很大的作用
6、总结
本文首先给出了两种方法在点集上直接计算曲率,试验表明这两种方法都可以达到很小的误差,然后我们从准确度和效率上对这两种方法做了比较,给出了各自的适用场合.进一步的工作可以考虑曲率的一些应用.在点集的重采样和点集的简化[6]中,曲率可以起指导作用,比如曲率小的区域比较平坦,采样密度可以小一些. 在点集的绘制方面, A. Ka laiah等人[4]提出了一种基于曲率的绘制方法,但是他们的曲率是通过参数曲面或者网格计算得到的,而结合我们的方法,就可以直接从点集进行绘制.本文填补了从点集模型计算曲面曲率的空白,拓展了点集模型的应用。

7、参考文献
【1】邬凯，等．山区公路路基边坡地质灾害远程监测预报系统开发及应用［J］．岩土力学，
【2】贺美芳．基于散乱点集数据的曲面重建关键技术研究［D］．南京航空
航天大学，2006．
【3】吴剑煌.点采样曲面曲率估计。

【4】王奎武.基于点表示的曲面曲率计算方法。

【5】Zwicker M , Pauly M, Knoll O et al. Poin tsh op 3D: an int eractive s yst em f or point-bas ed s urf ace editing [C ] . Proceedings of Sigg raph 2002, San Antoni o, TX, Jul y 2002, 322-329.
【6】Paul y M, Gross M. Eff ecient simplif icati on of point-sampl ed su rfaces [C ] . IEEE Proceedings of Vi sualizati on 2002, Bos ton, M A, Oct ober 2002.。