第一讲 排列组合(加法与乘法原理)

第1讲排列组合（加法与乘法原理）

1、加法原理：

完成一件工作共有N类方法。在第一类方法中有m

1

种不同的方法，在第二

类方法中有m

2种不同的方法，……，在第N类方法中有m

n

种不同的方法，那么

完成这件工作共有N＝m

1＋m

2

＋m

3

＋…＋m

n

种不同方法。

运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。

2、乘法原理：

完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m

1

种方法，完成第二个步

骤有m

2种方法，…，完成第N个步骤有m

n

种方法，那么，完成这件工作共有

m 1×m

2

×…×m

n

种方法。

运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步

骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。

运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。

例1：（1）教室图书角放有4种不同的故事书，有7种不同的漫画书，从中取一本，共有多少种不同的取法？

（2）教室图书角放有4种不同的故事书，有7种不同的漫画书，从中各取一本，共有多少种不同的取法？

练习：（1）由镇往县城有3条路，由县城往长青山旅游区有4条路，由镇区经县城去长青山有几种不同的走法？

（2）某人到食堂去买饭菜，食堂里有4种荤菜，3种蔬菜，2种汤。他要各买一样，共有多少种不同的买法？

例2：用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？

练习：现有一架天平和1g，3g，9g，27g的砝码各一个，能称出多少种不同的重量？

例3：各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？

练习：在所有四位数中,各位上的数之和等于34的数有种。

例4：（1）用1 、2、 3、 4 四个数字,可以组成个不同的四位数；

（2）用1、 9 、9 、5 四个数字,可以组成个不同的四位数。

练习：（1）用1、2、3、4、5、6六个数字，可以组成多少个不同的四位数？

（2）用1、2、3、4、5、6六个数字，可以组成多少个不同的四位偶数？

（3）用0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个不同的四位数？

（4）用0、1、2、3、4、5六个数字，可以组成多少个不同的四位偶数？例5：一本书有235页，打印页码共用了多少个数字码？其中有多少个数字“1”？

练习：一本书打印页码共用了6889个数字码，这本书有多少页？

例6：下图中有7个点和10条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过。问：这只甲虫最多有几种不同的走法？

练习：（1）如图所示，从甲地到乙地，最近的道路有几条？

（2）如果沿图中的线段，以最短的路程，从A点出发到B点，共有多少种不同的走法？

巩固练习：

1、学生饭堂有主食3种，副食有6种。从主食或副食中挑一种配成盒饭，可以配成（）种。

2：学生饭堂有主食3种，副食有6种。从主、副食中各挑一种配成盒饭，可以配成（）种。

3：小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果每种颜色取一张，有（）种取法。

4：小明有7种红色画纸，4种蓝色画纸，3种黄色画纸，如果要取一张画纸，有（）种取法。

5.从1写到100,一共用了个“5”这个数字.

6：小红有不同的上衣4件，下装5种，鞋子3双，问小红能有（）种不同的穿着方法？

7.数字和是4的三位数有个.

8：小芳要买数学、语文、外语的参考书各一本，他看见书架上数学书有3种，语文书有2种，外语书有2种可供选择，她有（）种不同的选择方法？

9.用一个5分币、四个2分币，八个1分币买一张蛇年8分邮票，共有种付币方式.

10.“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色的笔,按上述要求能写出种不同颜色搭配的“IMO”.

11：公园里有小红旗4款，小白旗5款，小蓝旗6款，如果三种颜色的小旗各取一款，有（）不同的取法。

12.电影院有六个门,其中A、B、C、D门只供退场时作出口,甲、乙门作为入口也作为出口.共有种不同的进出路线。