第四章 跳跃随机过程新1
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于是 τ 1 的概率密度函数为
fτ 2 (t2 ) = ∫ λ e
0
∞
2 − λ ( s + t2 )
ds = λ e
− λ t2
定理2 (到达时间序列分布)
设{N(t),t≥0} 是参数为λ的Poisson过程,则其到达时间
{Tn , n = 1, 2,⋯} 服从Γ分布,密度为
− λt (λ t )n −1 , λ e fTn (t ) = ( n − 1)! 0,
c t
则称随机过程N c = {N tc : t ≥ 0}是一个计数过程。
称随机序列 T1 < T2 < ⋯ < Tn ⋯ 为计数过程的到达时间.
令τ n = Tn -Tn-1 , n = 1, 2⋯
则称{τ n ,n = 1,2,⋯}为计数过程的到达时间间隔序列.
计数过程中的两个时间序列显然有以下关系
= P( N (t1 − δ1 ) = 0) P( N (t1 + δ1 ) − N (t1 − δ1 ) = 1) P( N (t2 − δ 2 ) − N (t1 + δ1 ) = 0) P( N (t2 + δ 2 ) − N (t2 − δ 2 ) = 1) = 4λ δ1δ 2 e
2 − λ ( δ 2 + t2 )
平稳性
独立性也可以证明如下
t ≥ 0时,Fτ ( t) = P{τ 1 ≤ t} 1 = 1 − P{τ 1 > t}
= 1 − P{N (t ) = 0} = 1 − e− λt
以下证明 τ 1 ,τ 2相互独立
P(t1 − δ1 < T1 ≤ t1 + δ1 , t2 − δ 2 < T2 ≤ t2 + δ 2 ) = P( N (t1 − δ1 ) = 0, N (t1 + δ1 ) − N (t1 − δ1 ) = 1, N (t2 − δ 2 ) − N (t1 + δ1 ) = 0, N (t2 + δ 2 ) − N (t2 − δ 2 ) = 1)
k =1
n
τ k 的特征函数为 ϕτ
k
(u) =
λ λ − ju
λ λ − ju
)n
=( 则 Tn 的特征函数为 ϕT (u)
n
故 Tn 的密度函数为
fTn (x)=λ e − λt (λt ) n −1 (n − 1)!
定理4.1.1 如果计数过程N c = {N tc : t ≥ 0}的到达时间间隔 序列{τ n , n = 1, 2,⋯}是独立的、且同服从参数为 λ > 0的 指数分布,则该计数过程一定是参数为λ
− λt ∞ k ∞ k −1
= λe
− λt
(λ t ) (n − 1)!
n −1
所以到达时间序列的密度函数为
− λt (λt ) n −1 , λ e fTn (t ) = (n − 1)! 0,
本题目还可以用特征函数证明.
t≥0 t<0
特征函数证明方法
Tn = ∑τ k ,而τ k ~E (λ )
1.若Nt表示直到时刻t为止进入某商店的人数, 则{Nt,t≥0}为 计数过程. 2. 若Nt表示某球员在时刻t之前进球的个数,则{Nt,t≥0}为计 数过程. 3. 若Nt表示时刻t之前诞生的总人数,则{Nt,t≥0}为计数过 程.
4. 。。。。。。
计数过程定义 计数过程 称实随机过程{Nc(t),t≥0}是计数过程, 如果Nc(t)表示直到t时刻为止发生的某随机事 件数. c 性质 ① ∀t , N (t ) ≥ 0 ② Nc(t)是非负整数 ③ ∀0 ≤ s < t , N c (t ) ≥ N c ( s ) ④∀0 ≤ s < t , N (t ) − N ( s ) 表示时间间隔 t-s内发生的随机事件数.
λ n +1
n!
0
x n e − λ x dx
[λ (t − s )]n e − λt = n!
到达时间间隔的 独立性
= 1 − P{τ 2 > t τ 1 = s1} = 1 − P{N (t + s1 ) − N ( s1 ) = 0} = 1 − e − λt
平稳性
t ≥ 0时
Fτ( t) = P{τ n ≤ t} n = 1 − P{τ n > t}
τ 1 ,τ 2 ,⋯ ,τ n ⋯ 的独立性
(17岁) (19岁) (21岁) (25岁) (28岁) (31岁) (59岁)
泊松过程 (第一讲) 泊松过程定义 称随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊 松过程,如果它满足以下三条件:
( 1) N0 = 0 (2) 对任意的0 ≤ s < t, 增量Nt -N s服从参数为
λ (t − s)的泊松分布,即 (λ (t − s )) k e − λ (t − s )
P( Nt - N s = k ) =
k! (3)对任意的n ≥ 2, 及0 ≤ t0 < t1 < ⋯ < tn < ⋯ , n个增量
, k = 0,1, 2,⋯
Ntn - N tn-1 ,⋯ , N t1 - N t0 是相互独立的随机变量.
其中(2)(3)合称为平稳独立增量性。
泊松过程的一维分布与数字特征 随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊松过程, 则 1)对∀t ≥ 0,N t 服从参数为λt的泊松分布.
第四章 跳跃随机过程
主讲人:李伟 西安电子科技大学数学与统计学院 2013年秋季
第四章 跳跃随机过程
直观讲:跳跃随机过程是指样本轨道存在跳跃点的随 机过程。如计数过程、泊松过程、复合泊松过程、泊 松点过程等. 本章重点学习:泊松过程、复合泊松过程
泊松: 法国著名数学家
1781年: 出生 1798年: 进入巴黎综合工科学校学习 1800年: 毕业留校 1802年:副教授 1806年:巴黎综合工科学校教授 1809年:巴黎理学院力学教授 1812年: 巴黎科学院院士 1840年 : 卒
证明 独立性 由于poisson过程是平稳的独立增量过程 所以 τ 1 ,τ 2 ,⋯ ,τ n ,⋯ 相互独立.
下证同分布 t ≥ 0时,Fτ ( t) = P{τ 1 ≤ t} 1 = 1 − P{τ 1 > t}
= 1 − P{N (t ) = 0} = 1 − e − λt t ≥ 0时,Fτ( t) = P{τ 2 ≤ t} 2 = 1 − P{τ 2 > t}
是独立增量
= E[N s ]E[N t − N s ] + D N ( s ) + (mN ( s )) 2 = λ s (λ t − λ s ) + λ s + λ 2 s 2 = λ 2 st + λ s = λ 2 st + λ min( s, t )
对泊松过程的进一步理解 一般地,如果Nt表示直到时刻t为止发生的某随机 事件总数, 则称实随机过程{Nt,t≥0}为计数过程. 计数过程的一些例子:
事实上,可以用数学归纳法给出证明。如下
n=1时,显然。为此假设Tn −1 =
τ k的密度函数为 ∑ k
=1
n −1
λ n −1 n − 2 − λ x x e , fTn−1 ( x) = (n − 2)! 0,
n −1 k =1
x≥0 x<0
n −1 k =1
则利用Tn −1 = ∑τ k 和τ n的独立性,可得Tn = ∑τ k +τ n的密度函数为
前述的计数过程是否满足泊松过程的三个条件?
为进一步讨论计数过程与泊松过程的关系, 给出计数过程的严格定义和一些记号:
定义4.1.1 设{Tn , n = 0, 1, 2,⋯}是一列非负随机变量, 满足P( lim Tn =+∞)=1和0=T0 < T1 < T2 < ⋯ < Tn ⋯.令
n →∞
N =max{n: Tn ≤ t}, t ≥ 0
证明 t < 0时, Tn 的分布函数
t≥0 t<0
FTn (t ) = 0
t ≥ 0时 FTn (t ) = P{Tn ≤ t} = P{N (t ) ≥ n}
第n个随机点的 到达时刻
( λ t ) k − λt =∑ e k! k =nλ t ) k (λ t ) ⋅ λ − λ t fTn (t ) = −λ e ∑ +∑ e k! k! k =n k =n k k −1 ∞ ∞ (λ t ) − λt ( λt ) − λt = −λ ∑ e + λ∑ e k! k =n k = n ( k − 1)!
P( N t − N s = n) = P(Tn ≤ t − s < Tn +1 )
= P(Tn ≤ t − s ) − P(Tn +1 ≤ t − s )
Tn
t−s
(Tn ≤ t − s ) ⇔ ( N t − s ≥ n)
=∫
t −s
λn
(n − 1)!
0
x n −1e − λ x dx-∫
t −s
= 1 − P{τ n > t τ 1 = s1 ,τ 2 = s2 ,⋯τ n −1 = sn −1} = 1 − P{N (t + s1 + ⋯ + sn −1 ) − N ( s1 + s2 + ⋯ sn −1 ) = 0} = 1 − P{N (t ) = 0} = 1 − e − λt
得证
fTn ( x) = ∫ fτ n ( x − u ) fTn−1 (u )du
0
∞
= ∫ λ e − λ ( x −u ) i
0
∞
λ n −1
(n − 2)! ,
x n − 2 e − λ x du
=
λn
(n − 1)!
x e
n −1 − λ x
x≥0
第n个随机点 的到达时刻
对0 ≤ s < t , 有t − s > 0,
因此二维随机变量(T1,T2)的联合密度函数为
λ e , t1 > t2 > 0 fT1 ,T2 (t1 , t2 ) = 否则 0,
由于 τ 1 = T1 ,τ 2 = T2 − T1 , (τ 1 ,τ 2 ) 的概率密度函数为
2 − λ t2
λ 2 e − λ (t1 +t2 ) , t1 > t2 > 0 fτ1 ,τ 2 (t1 , t2 ) = 0, 否则
2)由1)显然有 mN (t ) = λt , DN (t ) = λt , t ≥ 0. 又对s≥0, t ≥0,不妨设s≤t,则有 R N (s ,t ) = E[N s N t ]
= E[( N s − N 0 )( N t − N s + N s )] = E[( N s − N 0 )( N t − N s )] + E[ N s ]2
Tn = τ 1 + τ 2 + ⋯ + τ n = τk ∑ k
n
=1
n = 1,2, ⋯
τ n = Tn − Tn −1
τ1
0=T0
τ2
T1
τn
T2
T3
⋯
Tn −1
Tn
⋯
定理1 (到达时间间隔分布) 设{N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程, {τ n , n = 1, 2,⋯}是其到达时间间隔序列,则 τ 1 ,τ 2 ,⋯ ,τ n ,⋯ 是相互独立同服从参数为λ 的指数分布.
t≥0
计数过程的轨道性质
(a) 零初值性 ,状态空间是0及自然数 (b) 样本轨道是单调不减,右连续 (c)轨道间断点跳跃的高度永远是1
易知计数过程的样本轨道是跳跃的、右连续的
泊松过程是一类特殊的计数过程。
如果一个计数过程满足泊松过程定义中的三个条件, 这个计数过程就是泊松过程。
试思考或直观判断:
c c
实例 1.电话交换台的呼叫次数 2.放射性裂变的质点数 3.发生故障而不能工作的机器数 4.通过交通路口的车辆数 5.来到某服务窗口的顾客数 ……….. 以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也 统一叫做随机点
计数过程的另一种表示
N tc = ∑ nI[Tn ,Tn+1 ) (t )
n=0 ∞
2) mN (t ) = λt ,
2
DN (t ) = λt ,
t≥0 s, t ≥ 0
RN ( s, t ) = λ st + λ min( s, t ),
1) 对∀t ≥ 0,
P(N t = k ) = P( N t − N 0 = k )
由定义
(λt )k e − λt = ,k = 0,1,2,⋯ k!
n
的泊松分布.
证明: 显然计数过程满足泊松过程定义中(1),以下验证(2)(3)即可.
由Tn =
τ k 知, Tn 服从Γ(n ,λ ),即参数为(n,λ )的伽玛分布. ∑ k
=1
密度函数为
λn n −1 − λ x x e , fTn ( x) = (n − 1)! 0,
x≥0 x<0