2.2.1直线的参数方程

直线的参数方程

教学目标：

1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．

2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．

3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．

教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．

教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系．

教学方式：启发、探究、交流与讨论.

教学手段：多媒体课件．

教学过程：

一、回忆旧知，做好铺垫

教师提出问题：

1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．

2.直线的方向向量的概念．

3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？

4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．

5.如何建立直线的参数方程？

这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考．

【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．

二、直线参数方程探究

1．回顾数轴，引出向量

数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？

教师提问后，让学生思考并回答问题．

教师引导学生明确：如果数轴原点为O，数1所对应的点为A，数轴上点M 的坐标为t，那么：

=；

①OA为数轴的单位方向向量，OA方向与数轴的正方向一致，且OM tOA

②当OM与OA方向一致时（即OM的方向与数轴正方向一致时），0

t>；

当OM与OA方向相反时（即OM的方向与数轴正方向相反时），0

t<；

当M与O重合时，0

t=；

③||

=．教师用几何画板软件演示上述过程．

OM t

【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．

2.类比分析，异曲同工

问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？

（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？

M 教师提出问题后，引导学生思考并得出以下结论：选取直线l上的定点

0为原点，与直线l平行且方向向上(l的倾斜角不为0时)或向右（l的倾斜角为0时）的单位向量e确定直线l的正方向，同时在直线l上确定进行度量的单位长

度，这时直线l 就变成了数轴．于是，直线l 上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．

【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．

3. 选好参数，柳暗花明

问题（1）：当点M 在直线l 上运动时，点M 满足怎样的几何条件？

让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l 当成数轴后，直线

l 上点M 运动就等价于向量0M M 变化，

但无论向量怎样变化，都有0M M te =．因此点M 在数轴上的坐标t 决定了点M 的位置，从而可以选择t 作为参数来获取直线l 的参数方程．

【设计意图】明确参数．

问题（2）：如何确定直线l 的单位方向向量e ？

教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．

教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上启发学生得出(cos ,sin )e αα=，从而明确直线l 的方向向量可以由倾斜角α来确定．

当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方向向量e 的方向总是向上．

【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．

4. 等价转化，深入探究

问题：如果点0M ,M 的坐标分别为00(,)(,)x y x y 、

，怎样用参数t 表示,x y ？ 教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：

因为(cos ,sin )e αα=，（[0,)απ∈），00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--， 0//M M e 又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =，即

00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．

于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=，

即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+．

因此，经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为

⎩

⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． 教师提出如下问题让学生加强认识：

①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？

②参数t 的取值范围是什么？

③参数t 的几何意义是什么？

总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量；

②t R ∈；

③由于||1e =，且0M M te =，得到0M M t =，因此t 表示直线上的

动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．

【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．

三、运用知识，培养能力

例1.已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A,B 两点，求线段AB 的长度和点(1,2)M -到A,B 两点的距离之积．

先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可