正态性检验几种方法

正态性检验的几种方法
一、引言
正态分布是自然界中一种最常见的也是最重要的分布。

因此，人们在实际使用统计分析时，总是乐于正态假定，但该假定是否成立，牵涉到正态性检验。

目前，正态性检验主要有三类方法：一是计算综合统计量，如动差法、Shapiro-Wilk 法(W 检验)、D ’Agostino 法(D 检验)、Shapiro-Francia 法(W ’检验)。

二是正态分布的拟合优度检验，如2χ检验、对数似然比检验、Kolmogorov-Smirov 检验。

三是图示法(正态概率图Normal Probability plot)，如分位数图(Quantile Quantile plot ，简称QQ 图)、百分位数(Percent Percent plot ，简称PP 图)和稳定化概率图(Stablized Probability plot ，简称SP 图)等。

而本文从不同角度出发介绍正态性检验的几种常见的方法，并且就各种方法作了优劣比较，还进行了应用。

二、正态分布
2.1 正态分布的概念
定义1若随机变量X 的密度函数为
()()()+∞∞-∈=
--
,,21
2
2
2x e x f x σμπ
σ
其中μ和σ为参数，且()0,,>+∞∞-∈σμ
则称X 服从参数为μ和σ的正态分布，记为()2,~σμN X 。

另我们称1,0==σμ的正态分布为标准正态分布，记为()1,0~N X ，标准正态分布随机变量的密度函数和分布函数分别用()x ϕ和()x Φ表示。

引理1 若()2,~σμN X ，()x F 为X 的分布函数，则()⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ=σμx x F
由引理可知，任何正态分布都可以通过标准正态分布表示。

2.2 正态分布的数字特征
引理2 若()2,~σμN X ，则()()2,σμ==x D x E 引理3 若()2,~σμN X ，则X 的n 阶中心距为
()()N k k
n k k n k
n ∈⎩⎨
⎧=-+==2,
!!1212,02σμ
定义2 若随机变量的分布函数()x F 可表示为：
()()()()x F x F x F 211εε+-= ()10<≤ε
其中()x F 1为正态分布()2
1,σμN 的分布函数，()x F 2为正态分布()
2
2,σμN 的分
布函数，则称X 的分布为混合正态分布。

注：引理1、2、3的证明见参考文献[1]和[2]。

三、几种常见的正态性检验及其应用
3.1 计算综合统计量法
3.1.1 Shapiro-Wilk 检验（W 检验） 1.W 检验的一般步骤
Shapiro-Wilk 检验在大多数情况下具有很高的效能和综合性。

检验的基本步骤如下：
1)建立原假设0H :X 服从正态分布
2)把从总体中获得的n 个样本观测值按由小到大的次序排列成:
()()()n x x x ≤≤≤ (21)
3)选择恰当的统计量W 为:
()()()[]()∑∑=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡-⎪
⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=n i i i i n n i i x x x x w a W 12_
2
121 式中[]2/n 表示2/n 的整数部分，系数()W a i 可查W 检验的系数表，[]2/n 表示数2/n 的整数部分。

4）根据给定的检验水平α和样本容量n 查W 检验统计量W 的p 分位数得统
计量W 的α分位数αW 。

5)计算并判断:给定样本值1x ，…，n x ，计算W 并与αW 比较，若αW W <则拒绝0H ，反之，则不能拒绝0H 。

注：有关W 检验的原理及W 检验的系数及分位数表见参考文献[5]。

2.W 检验的应用
抽查用克矽平治疗的矽肺患者10名，得他们治疗前后血红蛋白的差(单位：克%)如下：2。

7，-1。

2，-1。

0，0，0。

7，2。

0，3。

7，-0。

6，0。

8，-0。

3，试用W 检验检验治疗前后血红单倍的差是否服从正态分布。

把题中的数据按由小到大的次序排好填入表1
表1 患者血红蛋白差值表
i ()i x ()i x -11 ()()i i x x --11
()W α 1 -1.2 3.7 4.9 0.5733 2 -1.0 2.7 3.7 0.3291 3 -0.6 2.0 2.6 0.2141 4 -0.3 0.8 1.1 0.1224 5
0.7
0.7
0.0399
把表的数据代入公式()()()[]()∑∑=-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥
⎦⎤⎢⎣
⎡-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=n i i i i n n i i x x x x w a W 12_
2
121，经计算得9251.0=W 。

若取05.0=α，查统计量W 的α分位数表得10=n 时，842.0=αW ，因为
αW W >，所以不拒绝原假设。

虽然W 检验是一种有效地正态性检验方法，但它一般只适用于容量为3至50的样本，随着n 的增大，一般用于计算分位数的分布拟合的技术不能使用。

3.1.2 D ’Agostino 检验 (D 检验)
D ’Agostino 检验适合测量次数较多的情况，检验统计量为
()()
∑∑
==-⎪⎭⎫
⎝⎛+-=
n
i i n
i i X
X n X n i D 122/31
21 在零假设为真时，
28209479.0)(≈D E ，
n D Var /02998598.0)(=，
()02998598
.028209479.0n D Y -=
，
渐进分布为)10(，N ，但由于接近)10(，N 的速度十分慢，因而 D ’Agostino 用随机模拟法得到了Y 的分位数表，在给定了显著性水平α后，用统计量Y 进行检验的拒绝域为
⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧≥≤-
212ααY Y Y Y 或。

注：有关D 检验的原理及D 检验的分位数表见参考文献[6]。

3.2 正态分布的拟合优度检验 3.2.1 2χ拟合优度检验法 1. 2χ拟合优度检验法的理论
2χ拟合优度检验法是基于2χ分布函数来分析连续性测量数据是否遵从正态分布的问题。

并根据正态分布的理论(期望)次数(oi f )和实际分布的次数(ei f )，对次数进行假设检验，从而判断分布是否遵从正态分布。

()∑
-=ei
ei oi f f f 2
2
χ
其中，oi f 为次数分布各区间实际次数，ei f 为正态分布各区间的理论次数。

在SPSS 中进行2χ拟合优度检验，读取检验的伴随概率(p )。

如果05.0>p ，则可以用正态分布来拟合；如果05.0<p ，则不能用正态分布来拟合。

2χ拟合优度检验法不仅适用于正态性检验，还适用于其他分布的检验，对正态性检验来说不具有特效型。

2. 2χ拟合优度检验法的应用
由于考试成绩总体是一个很特殊的总体，用2χ的拟合优度检验法对其进行
正态检验时存在明显缺陷。

例如，一组很低含有负值但有对称性的数据，经2χ检验后也可被认为服从正态分布，但它作为学生的考试成绩就不具有实际意义。

所以，对考试成绩总体进行正态分布检验时，仅按通常2χ拟合优度检验是不够的。

设试卷总分为W ，根据教育统计学的基本原理，在正常的教学条件下，学生成绩应该服从均值为 %70⨯W ，标准差为%10⨯W 的正态分布。

如果均值和标准差的值过低或过高，都说明我们在教学过程中出现了较大的失误，此时进行正态性检验已失去应有的实际意义。

为了能反映在正常教学条件下，教和学的具体情况，在对学生考试成绩这一特殊总体进行2χ的拟合优度检验时，合理服从正态分布的成绩应满足以下条件：
①()8.05.0/，
∈W X ，其中X 为学生平均成绩（样本均值） ②根据概率论中的σ3原则，标准差()155，
∈σ ③按通常拟合优度的2χ检验法，检验学生成绩总体服从正态分布。

计算公式如下：
样本均值∑==n
i i x n X 1
1，
样本方差()2
1
2
1∑=-=n i i X x n S ，
式中n 为考生人数。

判断均值和标准差是否满足条件①②，若不满足则认为成绩不服从正态分布。

若满足则利用试卷成绩的均值X 及方差2S 作为总体均值
μ 及总体方差2σ的估计，用ξ表示试卷成绩总体，则作如下假设：
()
20,~:S X N H ξ
为了检验上述假设是否正确，系统将成绩区间[]W ，0划分为k 个区间，分点为121-<<<k t t t ，从而计算试卷成绩在各区间内的频数i V ，若有),(~2S X N ξ，则可求得在各区间取值的理论概率)()(1--=i i i t F t F P ，其中
()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-Φ=≤=S
X t t X P t F i i i )(，)(x Φ表示标准正态分布的分布函数i=1，2，…，
k 。

则各区间的理论频数i i nP U = 构成统计量()∑
=-=n
i i
I i U V V x 1
22。

根据皮尔森定理可知，上述统计量趋近于自由度()m k --1的2χ分布。

其中m 为总体未知参数的个数，对于正态分布m 应等于2。

设给定信度α，查2χ分布表，得()212--k x a ，若()2122--<k x x a ，则接受0H ，
说明这批成绩分布服从正态分布，否则拒绝0H 。

3.2.2 Kolmogorov-Smirnov 检验 (K-S 检验)
Kolmogorov-Smirnov 检验通过样本的经验分布函数与给定分布函数的比较，推断该样本是否来自给定分布函数的总体。

容量n 的样本的经验分布函数记为)(x F n ，可由样本中小于x 的数据所占的比例得到，给定分布函数记为）（x G ，构造的统计量为
()))(max(x G x F D n n -=
即两个分布函数之差的最大值，对于零假设: 总体服从给定的分布）（x G 及给定的α，根据n D 的极限分布 (∞→n 时的分布) 确定统计量关于是否接受零假设的数量界限。

3.3 图示法
3.3.1 图示法的原理
一般的二维概率图是这样一种散点图，其中一个坐标为原始数据排序后的数据，而另一个坐标来自标准分布的期望有序统计量。

如果来自某一总体的数据的分布只与标准分布仅差一位置或尺度常数，那么最终概率图将近似为一条直线，极端偏离直线表明该资料不是来自所指定的分布。

随着概率图的不断发展，目前已发展了许多新型的概率图，如SP 图等。

设)()2()1(n X X X ≤≤≤ 是分布函数)(X F 的有序随机样本，假设存在连续位置尺度函数(){}σμ/0-X F (本文假定)(0X F 为正态分布)，其中μ和σ分别为总体
均值和标准差，通常可用样本的极大似然估计μ
ˆ和σˆ代替。

要检验0F F =，等价于下列散点图中点近似在一条直线上。

(1)QQ 图就是作1q 与()1X 的散点图。

(2)PP 图就是作i t 与i u 的散点图。

(3)SP 图就是作i r 与i s 的散点图。

表2 三种图形的()%-1100α接受区间计算公式
图形形式 接受区间界限
QQ ()[]{}{}
a i d q F F X 2/arcsin sin 2/10210πσμ±+=-
PP {
}
a d t u 2/)arcsin(sin 2/12π±=
SP a d r s ±=
这里QQ 图较为常用，而SP 图效率最高，因为SP 图相当于对统计量进行方差稳定化转换(反正弦变换)。

此外，由于人们对概率图中点偏离直线的看法不同，因而在作结论时带有人为主观因素，所以给它们加上接受区间是十分必要的，本文采用Michael 拟合优度检验方法[2]给出了这些图形的接受区间。

Michael 拟合优度统计量sp D 是一种类似于Kolomgrov-Smirnov 拟合优度统计量D 的统计量，
11max s r D SP -=
通过它可在以上概率图上加()%-1100α接受区间，如果图中所有点落在这些区间之间，那么就可认为在α水准上接受假设，其中a d 为sp D 在显著性水准α处的界值。

3.3.2 图示法的应用
某市1971年调查200例正常成人血铅含量(ug/100g)，数据见表3，试考察此资料是否服从正态分布?
表3 200例正常成人血铅含量(x)与人数(f)的原始记录频数表
x f x f x f x f x f x f 3 1 10 9 17 12 24 6 31 4 40 2 4 5 11 5 18 5 25 2 32 6 43 1 5 10 12 7 19 6 26 5 33 2 47 1 6 7 13 12 20 8 27 2 36 1 50 1 7
13
14
10
21
5
28
2
38
2
53
1
8 11 15 7 22 6 29 2 39 1 60 1 9 7
16
6
23
3
30
2
40
1
200
由()n u t D i i 2/1max +-=算得Dsp=0.1587，得到0624.0001.0=d ，所以在
01.0=α水平上认为该样本不是来自正态总本，图1(a)、图1(b)和图1(c)分别
是具有99%接受区间的NP 图、QQ 图、PP 图和SP 图，从中可以看出，有几个点落在99%的接受区间外，即认为该资料不服从正态分布，而实际上该样本是服从对数正态分布的。

若对该资料取对数后得0479.0=sp D ，10.0>P 。

图1 具有99%接受区间的(a)QQ 图，(b)PP 图，(c)SP 图
3.3.3 图示法的比较
在这些图形中，QQ 图和PP 图的接受区间都为两条曲线，且图中点散布不十分均匀，应用效果较差。

而SP 图的接受区间为两条直线，图中点散布比较均匀，也非常直观，效果最好，同时SP 图还有许多优良性质:
(1)点的横坐标只依赖于样本含量而于所假设的分布无关[2，3]。

(2)所有点子全部落在单位面积上。

(3)因为纵坐标的方差近似相等，所以点散布比较均匀，而不象QQ 图和PP 图那样一些点较集中，而另一些点较分散，因而解释起来比较容易。

综上所述，本文认为，在实际中使用SP 图较好。

四、结束语
正态性检验是数理统计上一个极富价值的课题，上述的各种正态性检验方法各自有其优劣处。

2χ拟合优度检验不仅能检验分布的正态性，也能检验总体是否服从其他分布，但它对正态性检验缺乏特效，效果并不十分理想；而W 检验与D 检验只检验总体服从正态分布的特定方法，相对来说，效果比较理想，但各自使用的范围不一样。

相对于以上两类方法，图示方法计算量最小，可直观判断样本所对应的总体分布模式，但这类方法难免个人判断的主观性。

基于统计指标计算的正态性检验方法比图示法更加客观。

因此，我们在使用以上方法进行正态性
检验时一定要注意具体问题中所包含的信息，从中选择适宜的检验方法。

参考文献
[1]沈恒范.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,1998.
[2]陈希孺.数理统计学教程[M].上海:上海科技出版社,1988.
[3]王斌会,徐勇勇.正态性检验的图示方法及其应用,数理统计与应用概率[J].1996,9(3):250-255.
[4]周洪伟.正态性检验的几种常用的方法,南京晓庄学院学报[J].2012,5(3):13 -18.
[5]Shapiro S S. An analysis of variance test for normality, Biometrika[J]. 1965(52):591-611.
[6]Agostino D. An omnibus test of normality for moderate and large size samples,Biometrika[J].1971(58):341-348.。