高考数学一轮复习第七章立体几何7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图理

【解析】由斜二测画法的规则可知①正确;②错误,是 一般的平行四边形;③错误,等腰梯形的直观图不可能 是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形,④也 错误. 答案:1
感悟考题 试一试
3.(2015·北京高考)某四棱锥的三视
图如图所示,该四棱锥最长棱棱长为
()
A.1
B.
C.
D.2
2
3
【解题提示】作出直观图,计算出各棱长比较大小.
【解析】对于①,平行六面体的两个相对侧面也可能是 矩形,故①错;对于②,对等腰三角形的腰是否为侧棱未 作说明(如图),故②错;对于③,若底面不是矩形,则③错; ④由线面垂直的判定,侧棱垂直于底面,故④正确. 综上,命题①②③不正确. 答案:①②③
【加固训练】 1.给出下列命题: ①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; ②用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是 棱台;
不变
长度为原来的一半
【特别提醒】 1.正棱柱、正棱锥的结构特征 (1)正棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是 正多边形的直棱柱叫做正棱柱.反之,正棱柱的底面是 正多边形,侧棱垂直于底面,侧面是矩形.
(2)正棱锥:底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面 正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.特别地,各棱均相 等的正三棱锥叫正四面体. 2.三视图的长度特征:长对正,高平齐,宽相等.
C.有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是 棱台 D.棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
(2)以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是 圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆 台;
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆;
④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x′轴,
y′轴的夹角为____________,z′轴与x′轴和y′轴所 在平面_____. 45°或135°
垂直
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍_平__行__于__
_______;平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 坐标轴
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_____;平行于y轴的线段在直观图中_________________.
(2)选B.命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边, 则得不到圆锥;命题②错,因为这条腰必须是垂直于两底 的腰;命题③对;命题④错,必须用平行于圆锥底面的平 面截圆锥才可以.
【规律方法】解决与空间几何体结构特征有关问题的 技巧 (1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空 间几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辨析, 即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例即可. (2)圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上, 解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.
第七章 立体几何 第一节 空间几何体的结构及其三视图
和直观图
【知识梳理】 1.多面体的结构特征
平行且相等 全等
多边 公共点
平行于底面 相似
2.旋转体的形成
几何体 旋转图形
旋转轴
圆柱 圆锥 圆台
球
矩形
_任__一__边__所在的直线
直角三角形 _任__一__直__角__边__所在的直线
直角梯形 半圆
正视图 侧视图 俯视图
(2)三视图的画法:
①在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成
_____. 虚线 ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体
的_____方、_____方、_____方观察到的几何体的正
投影正图前. 正左
正上
4.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用_______画法来画,其规则是: 斜二测
【解析】选C.由三视图可知AD=BC=CD=DE=EB=1,
AE=AC= ,AB= .所以最长棱棱长为 .
2
3
3
4.(2014·江西高考)一几何体的直观图如图所示,下列 给出的四个俯视图中正确的是 ( )
【解析】选B.因为俯视图是几何体在下底面上的投影, 所以选B.
考向一 空间几何体的结构特征 【典例1】(1)下列说法正确的是 ( ) A.有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多 面体是棱柱 B.四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
_______________所在的直线 垂直于底边的腰
_____所在的直线
直径
3.空间几何体的三视图 (1)三视图的形成与名称: ①形成:空间几何体的三视图是用平行投影得到的,在 这种投影之下,与投影面平行的平面图形留下的影子, 与平面图形的_____和_____是完全相同的; ②名称:三视图形包状括___大__小__、_______、_______.
3.斜二测画法中,原图形面积S与其直观图面积S′的关
系:S′= 2 S . 4.底面是梯4 形的四棱柱,侧放后易被看作是四棱台.
【小题快练】 链接教材 练一练 1.(必修2P10习题1.1B组T1改编)如图,长 方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分,其 中EH∥A′D′.剩下的几何体是 ( ) A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.简单组合体
【解析】选C.由空间几何体的结构特征知,该剩下部分 为五棱柱ABFEA′-DCGHD′.
2.(必修2P19练习T3改编)利用斜二测画法得到的: ①三角形的直观图一定是三角形; ②正方形的直观图一定是菱形; ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的个数是________.
(3)棱(圆)台是由棱(圆)锥截得的,所以在解决棱(圆) 台问题时,要注意“还台为锥”的解题策略.
【变式训练】给出下列四个命题: ①有两个侧面是矩形的图形是直棱柱; ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥; ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体; ④底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱 柱是正棱柱. 其中不正确的命题为__________.
其中正确命题的个数为 ( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解题导引】(1)根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征进 行判断. (2)根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征进行判断.
【规范解答】(1)选B.A错,如图1;B正确,如图2,其中底 面ABCD是矩形,可证明∠PAB,∠PCB都是直角,这样四 个侧面都是直角三角形;C错,如图3;D错,由棱台的定义 知,其侧棱必相交于同一点.