公司理财精要版第10版 Chap05-06
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r = 10; PV = -15,000; FV = 20,000 T= 3.02 years
5-19
Finance Formulas
5-20
关键概念与技能
概念
终值Future Value；现值Present Value；
复利Compound Interest；单利Simple Interest 贴现Discounting；贴现率Discount Rate
Today 1 Year 2 Years
5-6
5.1 终值和复利：单期投资的情形
终值（Future Value, FV）：
指在一定的利率水平下，现在一定量的资金在未来某一时
点上的价值。
如果你投资$10,000，收益率为5%，一年后你的投资将增长为
$10,500。 其中，
$500 是利息 ($10,000 ×0.05) $10,000 是本金偿还 ($10,000 × 1) $10,500 是本息合计，可由下式计算得到： $10,500 = $10,000×(1.05) 该投资在期末的本息合计金额被称为终值。
我们可以由最初的投资额、利率，计算终值，也可以由初
始投资额、终值，求利率。
Quick Quiz
Suppose you have $500 to invest and you believe that
you can earn 8% per year over the next 15 years.
5-12
5.2现值和贴现： 单期现值
现值（Present Value, PV）：
现值就是资金折算至基准年的数值。 我们经常用现值来估算债券、股票等金融资产的价值，也
用现值估算项目的价值。
如果你想在一年后保证得到 $10,000，假定利率为
5%，你的投资在今天的价值是 $9,523.81。
$ 10 ,0 00 $ 9,52 3.8 1 1 .0 5
一位借款者今天需要预留以便在一年后能够满足承诺 的 $10,000 支付的金额被称作 $10,000 的现值 (PV)。
注意，$10,000 = $9,523.81×(1.05)
5.2 现值和贴现：
现值和贴现
计算未来现金流量的现值的过程叫做“贴现”。它是
知道如何计算现值、终值、贴现率、期数
FV = PV(1 + r)t PV = FV / (1 + r)t
r = (FV / PV)1/t – 1
t = ln(FV / PV) / ln(1 + r)
第6章 贴现现金流量估值
6.1 6.2 6.3 6.4 多期现金流量的现值和终值 评估均衡现金流量：年金和永续年金 比较利率：复利的影响 贷款种类与分期偿还贷款
倒数。
FV = PV(1 + r)t PV = FV / (1 + r)t PV, FV, r, t 四个变量，只要知道其中3个，就可以求出
另外一个。
复利与终值对应 贴现与现值对应
5.3 确定贴现率源自文库
假设在12年后当你的孩子进入大学时大学的学费总额将
达 $50,000。你现在有 $5,000 作投资。为了够支付你孩 子大学教育的费用，你在投资上必须挣得多少利率？
$1,000
$500
$700
2年后你的账户中将有多少钱（在你存入$700后）？
6-25
6.1 多期现金流的终值
方法一：分别计算每笔现金流的终值，再汇总。
Today
1 Year
2 Years
$1,000
$ 500
$ 700 $1,124 $ 530
6-26
$2,354
6.1 多期现金流的终值
How much would you have at the end of 15 years using
compound interest? How much would you have using simple interest? 500×(1+8%)15= 500 + 500×8%×15=
计算公式：r = (FV / PV)1/t – 1
FV C0 (1 r)T
$ 5 0 ,0 0 0 ( 1r) 1 0 $ 5 ,0 0 0
1 2
$50,000 $5,000 (1 r )12 (1 r) 10
1 12
r 10
1 12
1 1 .2115 1 .2115
Today
1
2
3
4
5
PV
Today
复利(Compounding)
1
2
3
4
FV
5
6-24
PV
贴现(Discounting)
FV
6.1 多期现金流的终值
假定你今天在一个利率为 6%的账户中存入了$1,000。
1年后你将再存入$500，2年后你将再次存入$700。
Today
1 Year
2 Years
5.1 终值和复利：多期投资的情形
终值和复利计算
一项多期投资的终值的一般计算公式可以写为：
FV = C0×(1 + r)T 其中： C0 是时间0的现金流量 r 是适用的利率 T 是现金投资的时期数 (1 + r)T被叫做终值系数（Future Value Factor），缩写为FVIF(r,t)。
6-28
6.1 多期现金流的终值
• 直接将第2年末的资金复利到第5年末
Today
1
2
3
4
5
$1,000 500 700
$2,354
$2,803
6-29
6.1 多期现金流的终值
• 计算每笔现金流在第5年末的终值，再汇总。
Today
1
2
3
4
5
$1,000 500 700
6-30
$1,338 $ 631 $ 833 $2,803
You want to purchase a new car, and you are willing to pay $20,000. If you can invest at 10% per year and you currently have $15,000, how long will it be before you have enough money to pay cash for the car?
•
方法二： 将每期累计现金流每次向前复利一年，直至期末。 Today 1 Year 2 Years
$1,000
$ 500 $1,060 $1,560
$ 700
6-27
$1,654 $2,354
6.1 多期现金流的终值
• 在不增加存款的情况下，这个账户在第5年末将 有多少资金?
Today
1
2
3
4
5
$1,000 500 700
5.1 终值和复利：多期投资的情形
假定 Jay Ritter 投资 Modigliani company 首次公开发行的
新股。Modigliani 当前支付了 $1.10 的股利，预期未来五 年里股利将每年增长40%。 在五年后股利将为多少？ FV = C0×(1 + r)T $5.92 = $1.10×(1.40)5
• 注意在第五年的股利 $5.92 大大高于初始的股利加上初始 股利 $1.10 的五次40%的增长之和： $5.92 > $1.10 + 5×[$1.10×0.40] = $3.30 这是由于复利（compounding）的缘故，即利息的再投资。
5.1 终值和复利
$1.10 (1.40) $1.10 (1.40)4 $1.10 (1.40)3 $1.10 (1.40)2 $1.10 (1.40)
1
2
3
4
6-32
178.57 318.88 427.07 508.41 1,432.93
200
400
600 800
Quick Quiz
Suppose you are looking at the following possible cash
flows: Year 1 CF = $100; Years 2 and 3 CFs = $200; Years 4 and 5 CFs = $300. The required discount rate is 7%. What is the value of the cash flows at year 5? What is the value of the cash flows today? What is the value of the cash flows at year 3?
大约 21.15%.
5.3 求解期数
如果我们今天将 $5,000 存在一个支付 10% 利率的账
户里，它需要经过多长时间能增值到 $10,000？
计算公式：t = ln(FV / PV) / ln(1 + r)
FV C0 (1 r)
T
$10,000 $5,000 (1.10)
6.1 多期现金流的现值
和计算终值一样，有两种方法可以计算现值：可以
每次贴现一期，或者将每笔现金流单独贴现并且最 后汇总。
Today
1
2
3
4
200
400
600 800
6-31
6.1 多期现金流的现值
• • 将每笔现金流单独贴现，并进行汇总。 请用另外一种方法计算现值，并比较哪种方法更便捷。
Today
5
$1.10
0
$1.54 $2.16 $3.02
1 2 3
$4.23
4
$5.92
5
5.1 终值和复利
终值和复利计算
如果资金按复利（compound interest）计算，利息将被进
行再投资；而在单利（simple interest）情况下，利息没有 进行再投资，每期只赚取初始本金的利息。 $1×( 1 + r )2=1+2r+r2>1+2r 如果投资金额越大，期限越长，复利的威力就越大。 $V×( 1 + r )n >>V + V×r×n 附录表A-1给出了“1元钱在T期末的复利值（终值系数）”。
快速阅读
多期现金流量的现值和终值是如何计算的？
什么是实际利率（EAR）？年利率（APR）和实
际年利率（EAR）之间的关系？ 什么是永续年金？什么是年金？如何计算其现值 和终值。 如何计算贷款的支付额以及贷款的利率。
单期现金流量
• 在前面的章节中，我们介绍了单期现金流量的现值和终 值。 • 但现实生活中，大多数投资都涉及多期现金流的问题。
复利计算的相反过程。 一项多期投资的现值的一般计算公式可以写为：
CT PV (1 r )T
其中： CT 是在T期的现金流量 r 是适用的利率 1/(1 + r)T被叫做现值系数（Present Value Factor），缩写为PVIF(r,t)。 附录表A-2给出了“T期后得到的1元钱的现值（现值系数）”。
《公司财务》 Corporate Finance
1-1
第三部分 折现现金流量估价
第5章 货币的时间价值 第6章 贴现现金流量估价
1-2
第5章 货币的时间价值
5.1 终值与复利 5.2 现值与贴现 5.3 现值与终值的进一步讲解
快速阅读
现金流量的终值是如何计算的?
现金流量的现值是如何计算的？ 如何计算投资回报率？ 如何计算一项投资的价值增长到期望值所需要的
T
$ 1 0 ,0 0 0 ( 1 .1 0 ) 2 $ 5 ,0 0 0
T
ln(1.10)T ln 2
l n2 0 .6 9 3 1 T 7 .2 7y ears l n (1 .1 0 ) 0 .0 9 5 3
Quick Quiz
You are looking at an investment that will pay $1,200 in 5 years if you invest $1,000 today. What is the implied rate of interest? r = (1,200 / 1,000)1/5 – 1 = .03714 = 3.714%
时间？ 复利和单利的含义
Time and Money
Which would you rather receive: A or B?
Today
1 Year 2 Years
Today
1 Year
2 Years
Time and Money
Money received over time is not equal in value. So how do we “value” future money?
5.2 现值和贴现：
如果当前利率为15%，一个投资者为了在五年后能
获得 $20,000，现在必须投资多少？
PV
0 1 2 3 4
$20,000
5
$ 2 0 ,0 0 0 $ 9 ,9 4 3 .5 3 5 ( 1 .1 5 )
5.3 现值和终值的关系
在利率和期数相同时，现值系数恰好是终值系数的
5-19
Finance Formulas
5-20
关键概念与技能
概念
终值Future Value；现值Present Value；
复利Compound Interest；单利Simple Interest 贴现Discounting；贴现率Discount Rate
Today 1 Year 2 Years
5-6
5.1 终值和复利：单期投资的情形
终值（Future Value, FV）：
指在一定的利率水平下，现在一定量的资金在未来某一时
点上的价值。
如果你投资$10,000，收益率为5%，一年后你的投资将增长为
$10,500。 其中，
$500 是利息 ($10,000 ×0.05) $10,000 是本金偿还 ($10,000 × 1) $10,500 是本息合计，可由下式计算得到： $10,500 = $10,000×(1.05) 该投资在期末的本息合计金额被称为终值。
我们可以由最初的投资额、利率，计算终值，也可以由初
始投资额、终值，求利率。
Quick Quiz
Suppose you have $500 to invest and you believe that
you can earn 8% per year over the next 15 years.
5-12
5.2现值和贴现： 单期现值
现值（Present Value, PV）：
现值就是资金折算至基准年的数值。 我们经常用现值来估算债券、股票等金融资产的价值，也
用现值估算项目的价值。
如果你想在一年后保证得到 $10,000，假定利率为
5%，你的投资在今天的价值是 $9,523.81。
$ 10 ,0 00 $ 9,52 3.8 1 1 .0 5
一位借款者今天需要预留以便在一年后能够满足承诺 的 $10,000 支付的金额被称作 $10,000 的现值 (PV)。
注意，$10,000 = $9,523.81×(1.05)
5.2 现值和贴现：
现值和贴现
计算未来现金流量的现值的过程叫做“贴现”。它是
知道如何计算现值、终值、贴现率、期数
FV = PV(1 + r)t PV = FV / (1 + r)t
r = (FV / PV)1/t – 1
t = ln(FV / PV) / ln(1 + r)
第6章 贴现现金流量估值
6.1 6.2 6.3 6.4 多期现金流量的现值和终值 评估均衡现金流量：年金和永续年金 比较利率：复利的影响 贷款种类与分期偿还贷款
倒数。
FV = PV(1 + r)t PV = FV / (1 + r)t PV, FV, r, t 四个变量，只要知道其中3个，就可以求出
另外一个。
复利与终值对应 贴现与现值对应
5.3 确定贴现率源自文库
假设在12年后当你的孩子进入大学时大学的学费总额将
达 $50,000。你现在有 $5,000 作投资。为了够支付你孩 子大学教育的费用，你在投资上必须挣得多少利率？
$1,000
$500
$700
2年后你的账户中将有多少钱（在你存入$700后）？
6-25
6.1 多期现金流的终值
方法一：分别计算每笔现金流的终值，再汇总。
Today
1 Year
2 Years
$1,000
$ 500
$ 700 $1,124 $ 530
6-26
$2,354
6.1 多期现金流的终值
How much would you have at the end of 15 years using
compound interest? How much would you have using simple interest? 500×(1+8%)15= 500 + 500×8%×15=
计算公式：r = (FV / PV)1/t – 1
FV C0 (1 r)T
$ 5 0 ,0 0 0 ( 1r) 1 0 $ 5 ,0 0 0
1 2
$50,000 $5,000 (1 r )12 (1 r) 10
1 12
r 10
1 12
1 1 .2115 1 .2115
Today
1
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4
5
PV
Today
复利(Compounding)
1
2
3
4
FV
5
6-24
PV
贴现(Discounting)
FV
6.1 多期现金流的终值
假定你今天在一个利率为 6%的账户中存入了$1,000。
1年后你将再存入$500，2年后你将再次存入$700。
Today
1 Year
2 Years
5.1 终值和复利：多期投资的情形
终值和复利计算
一项多期投资的终值的一般计算公式可以写为：
FV = C0×(1 + r)T 其中： C0 是时间0的现金流量 r 是适用的利率 T 是现金投资的时期数 (1 + r)T被叫做终值系数（Future Value Factor），缩写为FVIF(r,t)。
6-28
6.1 多期现金流的终值
• 直接将第2年末的资金复利到第5年末
Today
1
2
3
4
5
$1,000 500 700
$2,354
$2,803
6-29
6.1 多期现金流的终值
• 计算每笔现金流在第5年末的终值，再汇总。
Today
1
2
3
4
5
$1,000 500 700
6-30
$1,338 $ 631 $ 833 $2,803
You want to purchase a new car, and you are willing to pay $20,000. If you can invest at 10% per year and you currently have $15,000, how long will it be before you have enough money to pay cash for the car?
•
方法二： 将每期累计现金流每次向前复利一年，直至期末。 Today 1 Year 2 Years
$1,000
$ 500 $1,060 $1,560
$ 700
6-27
$1,654 $2,354
6.1 多期现金流的终值
• 在不增加存款的情况下，这个账户在第5年末将 有多少资金?
Today
1
2
3
4
5
$1,000 500 700
5.1 终值和复利：多期投资的情形
假定 Jay Ritter 投资 Modigliani company 首次公开发行的
新股。Modigliani 当前支付了 $1.10 的股利，预期未来五 年里股利将每年增长40%。 在五年后股利将为多少？ FV = C0×(1 + r)T $5.92 = $1.10×(1.40)5
• 注意在第五年的股利 $5.92 大大高于初始的股利加上初始 股利 $1.10 的五次40%的增长之和： $5.92 > $1.10 + 5×[$1.10×0.40] = $3.30 这是由于复利（compounding）的缘故，即利息的再投资。
5.1 终值和复利
$1.10 (1.40) $1.10 (1.40)4 $1.10 (1.40)3 $1.10 (1.40)2 $1.10 (1.40)
1
2
3
4
6-32
178.57 318.88 427.07 508.41 1,432.93
200
400
600 800
Quick Quiz
Suppose you are looking at the following possible cash
flows: Year 1 CF = $100; Years 2 and 3 CFs = $200; Years 4 and 5 CFs = $300. The required discount rate is 7%. What is the value of the cash flows at year 5? What is the value of the cash flows today? What is the value of the cash flows at year 3?
大约 21.15%.
5.3 求解期数
如果我们今天将 $5,000 存在一个支付 10% 利率的账
户里，它需要经过多长时间能增值到 $10,000？
计算公式：t = ln(FV / PV) / ln(1 + r)
FV C0 (1 r)
T
$10,000 $5,000 (1.10)
6.1 多期现金流的现值
和计算终值一样，有两种方法可以计算现值：可以
每次贴现一期，或者将每笔现金流单独贴现并且最 后汇总。
Today
1
2
3
4
200
400
600 800
6-31
6.1 多期现金流的现值
• • 将每笔现金流单独贴现，并进行汇总。 请用另外一种方法计算现值，并比较哪种方法更便捷。
Today
5
$1.10
0
$1.54 $2.16 $3.02
1 2 3
$4.23
4
$5.92
5
5.1 终值和复利
终值和复利计算
如果资金按复利（compound interest）计算，利息将被进
行再投资；而在单利（simple interest）情况下，利息没有 进行再投资，每期只赚取初始本金的利息。 $1×( 1 + r )2=1+2r+r2>1+2r 如果投资金额越大，期限越长，复利的威力就越大。 $V×( 1 + r )n >>V + V×r×n 附录表A-1给出了“1元钱在T期末的复利值（终值系数）”。
快速阅读
多期现金流量的现值和终值是如何计算的？
什么是实际利率（EAR）？年利率（APR）和实
际年利率（EAR）之间的关系？ 什么是永续年金？什么是年金？如何计算其现值 和终值。 如何计算贷款的支付额以及贷款的利率。
单期现金流量
• 在前面的章节中，我们介绍了单期现金流量的现值和终 值。 • 但现实生活中，大多数投资都涉及多期现金流的问题。
复利计算的相反过程。 一项多期投资的现值的一般计算公式可以写为：
CT PV (1 r )T
其中： CT 是在T期的现金流量 r 是适用的利率 1/(1 + r)T被叫做现值系数（Present Value Factor），缩写为PVIF(r,t)。 附录表A-2给出了“T期后得到的1元钱的现值（现值系数）”。
《公司财务》 Corporate Finance
1-1
第三部分 折现现金流量估价
第5章 货币的时间价值 第6章 贴现现金流量估价
1-2
第5章 货币的时间价值
5.1 终值与复利 5.2 现值与贴现 5.3 现值与终值的进一步讲解
快速阅读
现金流量的终值是如何计算的?
现金流量的现值是如何计算的？ 如何计算投资回报率？ 如何计算一项投资的价值增长到期望值所需要的
T
$ 1 0 ,0 0 0 ( 1 .1 0 ) 2 $ 5 ,0 0 0
T
ln(1.10)T ln 2
l n2 0 .6 9 3 1 T 7 .2 7y ears l n (1 .1 0 ) 0 .0 9 5 3
Quick Quiz
You are looking at an investment that will pay $1,200 in 5 years if you invest $1,000 today. What is the implied rate of interest? r = (1,200 / 1,000)1/5 – 1 = .03714 = 3.714%
时间？ 复利和单利的含义
Time and Money
Which would you rather receive: A or B?
Today
1 Year 2 Years
Today
1 Year
2 Years
Time and Money
Money received over time is not equal in value. So how do we “value” future money?
5.2 现值和贴现：
如果当前利率为15%，一个投资者为了在五年后能
获得 $20,000，现在必须投资多少？
PV
0 1 2 3 4
$20,000
5
$ 2 0 ,0 0 0 $ 9 ,9 4 3 .5 3 5 ( 1 .1 5 )
5.3 现值和终值的关系
在利率和期数相同时，现值系数恰好是终值系数的