导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

第一部分：历届导数高考压轴题

(全国2理)设函数f (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，若对所有的x ≥0，都有f (x )≥ax 成立，求实数a 的取值范围．

（全国1理）已知函数()11ax

x f x e x -+=-.

（Ⅰ）设0a >，讨论()y f x =的单调性； （Ⅱ）若对任意()0,1x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围.

（全国1理）设函数()e e x x f x -=-． （Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥； （Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．

（全国2理）设函数sin ()2cos x

f x x

=

+．

（Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．

（辽宁理）设函数ln ()ln ln(1)1x

f x x x x

=

-+++. ⑴求()f x 的单调区间和极值;

⑵是否存在实数a ,使得关于x 的不等式

()

f x a 的解集为(0,)+∞?若存在,求a 的取值

范围;若不存在,试说明理由.

（新课标理）设函数)(x f =21x e x ax ---. （Ⅰ）若0=a ，求)(x f 的单调区间;

（Ⅱ）若当x ≥0时)(x f ≥0，求a 的取值范围. （新课标文）已知函数2()(1)x f x x e ax =--.

（Ⅰ）若()f x 在1x =-时有极值，求函数()f x 的解析式；

（Ⅱ）当0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围. （全国大纲理）设函数()1x f x e -=-. （Ⅰ）证明：当1x >-时，()1

x

f x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1

x

f x ax ≤+，求a 的取值范围.

（新课标理）已知函数ln ()1a x b

f x x x

=

++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>+-，求k 的取值范围.

例题：若不等式3sin x x ax >-对于(0,)2x π

∈恒

成立，求a 的取值范围

第二部分：泰勒展开式

1.23

11,1!2!3!

!(1)!

n n x

x x x x x x e e n n θ+=++++

+++其中(01)θ<<；

2. 23

1

ln(1)(1)

,2!3!

!

n

n n x x x x x R n -+=-+-

+-+其中11

1(1)

()(1)!1n n

n n x R n x θ++=-++； 3.35

21

1

sin (1)

3!5!

(21)!

k k n x x x x x R k --=-+-

+-+-，

其中21

(1)

cos (21)!

k k

n x R x k θ+=-+；

4. 24

22

1

cos 1(1)

2!4!

(22)!

k k n x x x x R k --=-+-

+-+-，

其中2(1)

cos (2)!

k

k

n x R x k θ=-； 第三部分：洛必达法则及其解法

洛必达法则：设函数()f x 、()g x 满足： （1）lim ()lim ()0x a

x a

f x

g x →→==；

（2）在()U a 内，()f x '和()g x '都存在，且

()0g x '≠；

（3）()

lim

()

x a f x A g x →'='

（A 可为实数，也可以是±∞）. 则()()

lim lim ()()

x a x a f x f x A g x g x →→'=='. 1.（新课标理）已知函数ln ()1a x b

f x x x

=

++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为

230x y +-=.

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>+-，求k 的取值范围. 常规解法

（Ⅰ）略解得1a =，1b =.

（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法 由（Ⅰ）知

ln 1

()1x f x x x

=+

+，所以22ln 1(1)(1)()()(2ln )

11x k k x f x x x x x x

---+=+--.

考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)

k x x --(0)x >，则

22

(1)(1)2'()k x x

h x x

-++=. (i)当0k ≤时，由22

2

(1)(1)'()k x x h x x +--=知，

当1x ≠时，'()0h x <.因为(1)0h =， 所以当(0,1)x ∈时，()0h x >，可得

2

1

()01h x x

⋅>-；当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，可得

2

1

()01h x x

⋅>-，从而当0x >且1x ≠时，ln ()()01x k f x x x -+>-，即ln ()1x k

f x x x

>+-；

（ii ）当01k <<时，由于当1

(1,)1x k ∈-时，

2(1)(1)20k x x -++>，故'()0h x >，而(1)0h =，

故当1

(1,

)1x k

∈-时，()0h x >，可得2

1

()01h x x ⋅<-，与题设矛盾. （iii ）当1k ≥时， '()0h x >，而(1)0h =，故当(1,)x ∈+∞时，()0h x >，可得

2

1

()01h x x ⋅<-，与题设矛盾.综上可得，k 的取值范围为

(0]-∞，.

注：分三种情况讨论：①0k ≤；②01k <<；③1k ≥不易想到.尤其是②01k <<时，许多考生都停留在此层面，举反例1

(1,

)1x k

∈-更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练

也很难提升.

洛必达法则解法 当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>

+-，即ln 1ln 11x x k

x x x x

+>++-， 也即2

ln 1ln 2ln 1111x x x x x x

k x x x x <+-=++--，记

2

2ln ()11x x g x x =+-，0x >，且1x ≠