第1章 1.4 1.4.1 第1课时 空间向量与平行关系

1.4空间向量的应用

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系

第1课时空间向量与平行关系

学

习目标核心素养

1.了解空间中点、直线和平面的向量表示．

2．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点)

3．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)1.通过空间中点、直线和平面的向量表示的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养．

2．通过直线的方向向量和平面法向量的学习，培养学生数学运算的核心素养．

3．借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.

(1)如何确定一个点在空间的位置？

(2)在空间中给一个定点A和一个定方向(向量)，能确定一条直线在空间的位置吗？

(3)给一个定点和两个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？

(4)给一个定点和一个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？

1．空间中点、直线和平面的向量表示

点P的位置向

量在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量OP

→

表示，我们把向量OP

→

称为点P的位置向量.

空间直线的向量表示式a是直线l的方向向量，在直线l上取AB

→

＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP

→

＝OA

→

＋t a，也可以表示为OP

→

＝OA

→

＋tAB

→

.这两个式子称为空间直线的向量表示式.

空间平面ABC 的向量表示式设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得OP

→

＝x a＋y b.那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP

→

＝OA

→

＋xAB

→

＋yAC →

，这就是空间平面ABC 的向量表示式.

(1)直线的方向向量的定义

直线的方向向量是指和这条直线_平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量的定义

直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量． 思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？

[提示] 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它们分别是共线向量． 3．空间中平行关系的向量表示

线线平行

设两条不重合的直线l 1，l 2的方向向量分别为u 1＝(a 1，b 1，c 1)，u 2＝(a 2，b 2，c 2)，则l 1∥l 2⇔u 1∥u 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝λ(a 2，b 2，c 2)

线面平行

设l 的方向向量为u ＝(a 1，b 1，c 1)，α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔u·n ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0

面面平行

设α，β的法向量分别为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝λ(a 2，b 2，c 2)

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l 的方向向量a 一定是单位向量．

( )

(2)直线l 的一个方向向量为a ＝(－1,2,1)，平面α的一个法向量为n ＝(－1，－1,1)，l ⊄α，则l ∥α.

( ) (3)若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β.

( )

(4)若点A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的向量参数方程可以为AP →＝tAB →

. ( ) [提示] (1)× (2)√ (3)√ (4)√

2．已知向量a ＝(2,3,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2则( ) A ．x ＝9

2，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝15

2 C ．x ＝3，y ＝15 D ．x ＝92，y ＝15

2

D [由l 1∥l 2，得a ∥b ， 即32＝x 3＝y 5.

解得x ＝92，y ＝15

2，故选D.]

3．若直线l 的方向向量a ＝(2,2，－1)，平面α的法向量μ＝(－6,8,4)，则直线l 与平面α的位置

关系是________．

l ⊂α或l ∥α [∵μ·a ＝－12＋16－4＝0， ∴μ⊥a ，∴l ⊂α或l ∥α.]

4．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________. 4 [由α∥β得

1－2＝2

－4

＝－2k ，解得k ＝4.]

求平面的法向量

【例1】 四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝

1.

在如图所示的坐标系A -xyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．

[解] A (0,0,0)，D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)．∵AD ⊥平面SAB ，∴AD →

＝(1,0,0)是平面SAB 的一个法向量．设平面SCD 的法向量为n ＝(1，y ，z )，则n ·DC →

＝(1，y ，z )·(1,2,0)＝1＋2y ＝0，

∴y ＝－12.又n ·DS →＝(1，y ，z )·(－1,0,2)＝－1＋2z ＝0，∴z ＝12.∴n ＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫1，－12，12即为平面SCD 的

一个法向量．

求平面法向量的步骤 (1)设法向量n ＝(x ，y ，z )；

(2)在已知平面内找两个不共线向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)； (3)建立方程组⎩⎨⎧

n ·

a ＝a 1x ＋a 2y ＋a 3z ＝0，n·

b ＝b 1x ＋b 2y ＋b 3z ＝0； (4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量．

[跟进训练]

1．已知三点A (1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0)，求平面ABC 的一个法向量． [解] 设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由题意得AB →＝(－1,1,0)，BC →

＝(1,0，－1)．