奥数知识点解析之抽屉原理
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奥数知识点解析之抽屉原理
第一步:初步理解该知识点的定理及性质
1、提出疑问:什么是抽屉原理?
2、抽屉原理有哪些内容呢?
【抽屉原理1】:将多于n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件;
【逆抽屉原理】:从n个抽屉中拿出多于n件的物品,那么至少有2个物品来至于同一个抽屉。
【抽屉原理2】:将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于(m+1)件。
第二步:学习最具有代表性的题目
【例1】证明:任取8个自然数,必有两个数的差是7的倍数。
【例2】对于任意的五个自然数,证明其中必有3个数的和能被3整除。
【总结】以上的例题都是在考察抽屉原理在整除与余数问题中的运用。以上的题目我们都是运用抽屉原理一来解决的。
第三步:找出解决此类问题的关键
【例3】从2、4、6、…、30这15个偶数中,任取9个数,证明其中一定有两个数之和是34。
【例4】从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中,至少任选几个数,就可以保证其中一定包括两个数,它们的差是12。
【例5】从1到20这20个数中,任取11个数,必有两个数,其中一个数是另一个数的倍数。
{1,2,4,8,16}
{3,6,12},{5,10,20}
{7,14},{9,18}
{11},{13},{15},{17},{19}。
【总结】根据题目条件灵活构造“抽屉”是解决这类题目的关键。
第四步:重点解决该类型的拓展难题
我们先来做一个简单的铺垫题:
【铺垫】请说明,任意3个自然数,总有2个数的和是偶数。
【例6】请说明,对于任意的11个正整数,证明其中一定有6个数,它们的和能被6整除。
【总结】上面两道题目用到了抽屉原理中的“双重抽屉”与“合并抽屉”,都是在原有典型抽屉原理题目的基础上进行的拓展。
什么是抽屉原理?
(1)举例
桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,有的抽屉可以放一个,有的可以放两个,有的可以放五个,但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
(2)定义
一般情况下,把n+1或多于n+1个苹果放到n个抽屉里,其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。
(一)、利用公式进行解题
苹果÷抽屉=商……余数
余数:(1)余数=1,结论:至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里
(2)余数=,结论:至少有(商+1)个苹果在同一个抽屉里
(3)余数=0,结论:至少有“商”个苹果在同一个抽屉里
(二)、利用最值原理解题
将题目中没有阐明的量进行极限讨论,将复杂的题目变得非常简单,也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法.
举个例子:把3个苹果任意放到2个抽屉里,必有一个抽屉至少放了2个苹果。这个生活中最简单的道理,在数学上就叫做抽屉原理。
应用抽屉原理可以解决很多奇妙的问题,当然在实际问题中,“抽屉”和“物体”的表述是不明确的,解题的关键就是找出问题中哪个概念对应的是“抽屉”,哪个概念对应的是“物体”,精心制造“抽屉”是解决此类问题的关键。
【题目1】:
至少在多少个人中,才能找到两个同月份出生的人?
【解析】:
每年都有12个不同的月份,可以看着是12个抽屉。人就看着苹果。
原题就相当于:多少个苹果放到12个抽屉里,可以保证至少有一个抽屉里有2个苹果?
12+1=13(人)
所以至少在13个人中,才能找到两个同月份出生的人。
【题目2】:
在任意3个自然数中,是否其中必然有两个数,它们的和为偶数?为什么?【解析】:
我们先把奇数看作一个抽屉,把偶数看作一个抽屉。
自然数不是奇数就是偶数,那么这任意3个自然数不是奇数就是偶数,把这3
个数放到上面奇、偶数两个抽屉里,至少有一个抽屉里有两个数,即3个自然数中有两个奇数或两个偶数必居其一。
假如3个数中有两个奇数,这两个奇数的和一定是偶数;假如3个数中有两个偶数,这两个偶数的和也一定是偶数。
所以在任意3个自然数中,其中必然有两个数,它们的和为偶数。
班上有50名小朋友,老师至少要拿几本书,随意分给小朋友,才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本的书?
【解析】:
“保证至少有一个小朋友能得到不少于两本的书”意思就是:保证至少有一个小朋友最少得到两本书。
我们把50个小朋友看着50个抽屉,至少要多少本书放到50个抽屉里,能保证至少有一个抽屉里最少有两本书呢:50+1=51(本)。
【题目4】:
在1,2,3,…,99,100这100个整数中,选出一些数,使得任意两数的差都不等于1,2,6,那么,从中最多能选出几个数?
【解析】:
第一步:先从1开始列一列。
①先选1;②至少加3(差不能为1、2)选4;③至少要加4(差也不能为6)选8;④接着再加3选11;⑤加4选15……可列举如下:
1、4、8、11、15、18、2
2、25.29……
第二步:观察上面的数列,找规律。
从1到7七个数中可以选2个数;从8到14七个数中又可以选2个数;从15
到21七个数中又可以选2个数……
即每7个数一组可以选出2个数,这2个数可以选7个数中的第1个和第4个。
100÷7=14(组)……2(个)
共有14组,每组选2个数,还剩下2个数,即第十五组的第1个数和第2个数。每组第1个数也是可选的。所以从中最多可以选出数:
14×2+1=29(个)。
【题目5】:
泡泡糖出售机内有各种颜色的糖,有红色糖10颗、白色糖15颗、蓝色糖3颗、黄色糖20颗。如果投入1元钱钱币可得到1颗糖,那么至少投入多少元钱,就可以保证得到5颗颜色相同的糖?