高考文科数学平面向量专题(最新整理)

（2）若 a b与a 垂直，求 a与b 的夹角。
23.已知向量
a
(sin
x,
3
), b
(cos
x,
1)
．（1）当
a
//
b
时，求
cos2
x
sin
2x
的值；
4
（ 2） 设 函 数 f (x) 2(a b) b ， 已 知 在 △ ABC 中 ， 内 角 A、 B、 C 的 对 边 分 别 为 a、b、c ， 若
D. 2
12. 若向量 a (3, m) ， b (2, 1) ， a b ，则实数 m 的值为
A． 3 2
3
B．
2
C． 2
D．6
（）
13.如图，在 ABC中, BD 2DC.若AB a, AC = b,则AD=
C D
A
B
2a1b
2a1b
A. 3 3
B. 3 3
14. 已知向量 a , b 满足 | a | 1 , | b | 2 , a b 1 ,则 a 与 b 的夹角为 ( )
a
3,b 2,sin B
6 3
,求 f x 4 cos 2A
6
（
x
0,
3
）的取值范围．
4
2
1
A
B
2
2
C .0
D.-1
1
1
例 6.已知向量 a = (1,—1)，b = (2,x).若 a ·b = 1,则 x =
(A) —1
(B) —
(C)
(D)1
2
2
例 7.若向量 AB (1, 2) ， BC (3, 4) ，则 AC
A. (4, 6)
B. (4, 6)
C. (2, 2)
D. (2, 2)
例 2.设向量 a (1,2m) ， b (m 1,1) ， c (2, m) ，若 (a c) b ，则| a | ______.
例 3.如图 4，在平行四边形 ABCD 中 ，AP⊥BD，垂足为 P， AP 3 且 APAAC =
.
例 4.已知向量 a=（1,0），b=（1,1），则 （Ⅰ）与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为____________； （Ⅱ）向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为____________。
例 8.对任意两个非零的平面向量
和
，定义
.
若两个非零的平面向量 a ， b 满足 a 与 b 的夹角
4
,
2
，且
a
b
和
b
a
都在集合
n 2
n
Z
中，则
a
b
5
3
1
A.
B.
C. 1
D.
2
2
2
例 9.已知向量 a=（x-1,2），b=（2,1），则 a⊥b 的充要条件
1
A.x=- B.x-1 C.x=5
20.设平面向量 a (1, 2) ,b (2, y) ，若 a / /b ，则 y
21.向量 a,b 的夹角为 120°， | a | 1,| b | 3,则 | 5a b | =
．
22. 已知 a 1 ， b 2 。（1）若 a与b 的夹角为 3 ，求 (a b) (a b) 的值； 4
53
5
33
3
（A） （B） （C） （D）
2
2
2
2
10. 已知向量 a (1, x) ， b (1, x) ，若 2a b 与 b 垂直，则| a | (
)
A． 2
B． 3
C．2
D．4
11. 向量 a (1,1),b (2,t) , 若 a b , 则实数 t 的值为
A. 2
B. 1
C. 1
例 4.设 a 、 b 都是非零向量，下列四个条件中，使
a
b
成立的充分条件是（
）
|a| |b|
A、| a || b | 且 a // b B、 a b
C、 a // b
D、 a 2b
例 5.设向量 a =（1. cos ）与 b =（-1， 2 cos ）垂直，则 cos 2 等于 （ ）
A．－4 B．4 C．－2 D．2
2
6. 已知平面向量 a 和 b ，| a | 1，| b | 2 ，且 a 与 b 的夹角为 120°，则| 2a b | 等于
A．6
B． 2 5
C．4
D．2
r
r
rr
7. 已知向量 a (2,1) ， b (1, k) ，且 a 与 b 的夹角为锐角，则 k 的取值范围是（ ）
（D）
4
a
4
b
55
（A） 5 （B） 10 （C） 2 5 （D）10
例 3Βιβλιοθήκη Baidu设 a，b 是两个非零向量。
A.若|a+b|=|a|-|b|，则 a⊥b
B.若 a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得 b=λa
D.若存在实数λ，使得 b=λa，则|a+b|=|a|-|b|
A
的四等分点，过
C
作
AB
的垂线
l
，设
P
为垂线上任一点， OP
p, 则
p
(b
a)
A. 1 2
1
B.
2
C. 3 2
4. 已知平面向量 a (1, 2),b (2, k), 与 a与 b 共线，则 3a b =
3
D.
2
A． 5
B． 2 5
C． 5 2
D．5
5. 已知 | a | 6 ， | b | 3 ， a b 12 ，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( )
2
D.x=0
例 10.在△ABC 中， A=90°，AB=1，设点 P，Q 满足 AP = AB ， AQ =(1- ) AC ，
R。若 BQ CP =-2，则 =
1
（A）
3
2
（B）
3
4
C）
3
（D）2
1
例 1 已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b 10 ；则 b _____
17. 设 a ， b ， c 是单位向量，且 a b c ，则向量 a ， b 的夹角等于
．
18.在 直 角 三 角 形 ABC 中 ， ACB 90 ， AC BC 2 ， 点 P 是 斜 边 AB 上 的 一 个 三 等 分 点 ， 则
CP CB CP CA
．
19.若向量 a ， b 满足 a 1 ， b 2 ，且 a ， b 的夹角为 ，则 a b = ， a b ． 3
平面向量专题
一、选择题
例 1. ABC 中， AB 边的高为 CD ，若 CB a ， CA b ， a b 0 ，| a | 1，| b | 2 ，则 AD
（A）
1
a
1
b
（B）
2
a
2
b
（C）
3
a
3
b
33
33
55
例 2.设 x R ，向量 a (x,1),b (1, 2), 且 a b ，则| a b |
1a 2b C. 3 3
1a 2b D. 3 3
A、
3 B、
C、
D、
3
4
4
6
15. 等腰三角形 ABC 中， AB AC 5, B 30, P为BC 边中线上任意一点，则 CP BC 的值为（ ）
75
A、
2
B、 25
C、5
2
D、 75 2
3
16. 已知向量 a (1, 3) ， b (m , 2m 1) ．若向量 a 与 b 共线，则实数 m ______．
（A） 2,
（B） (2, 1) (1 , ) （C） (, 2) 22
（D） (2, 2)
2 2
8. ABC 中，设 AC AB 2 AM BC ，那么动点 M 的轨迹必通过 ABC 的（ ）
A.垂心
B.内心
C.外心
D.重心
9. 过点 M (2, 0) 作圆 x2 y2 1的两条切线 MA ， MB ( A ， B 为切点 ) ，则 MA MB （ ）
2.平面向量 a ， b 共线的充要条件是
A. a ， b 方向相同
B. a ， b 两向量中至少有一个为零向量
C. R ，使得 b a
D. 存在不全为零的实数 1 ， 2 ， 1a 2 b 0
3.如图，在等腰直角
ABO
中，设
OA
a,
OB
b,
OA
OB
1,
C
为
AB
上靠近点
例 5.已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE CB 的值为________， DE DC 的最大值为______。
练习：
1. AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线， AB (2, 4), AC (1, 3),则AD （ ）
A． (2, 4) B． (3, 7) C． (1,1) D． (1, 1)