热力学温度与内能

(4) S面上的压强 ·S受的平均冲力 F= = ( )i 2ix m
l1 I t
· S面上的压强 P= F S = [( )i 2ix] m l1 l2 l3 1 = ( )i 2ix m V
2
x
=
2 i ix
N ·因为 V = l1 l2 l3 n= N V 有
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2
P = nm
2 x
= nm 1 3 理想气体压强公式 2
Chapter VII：热学 (Calorifics) Thermodynamics
★引言 一、热学研究对象及内容 1.对象：热力学系统 ·由大量分子或原子组成 ·系统外的物体称外界 2.内容：与热现象有关的性质和规律 热现象：物质中大量分子热运动的集体 表现。 二、热学的研究方法 1.宏观描述方法---热力学方法 ·由实验确定的基本规律，研究热现象的宏 观特性和规律。 ·对系统进行整体描述。
f () = ( ) 1 N
dN d
二、麦克斯韦速率分布律 ·1859年Maxwell用概率论 证明了理想气体分子按速 度的分布是有规律的。
·速率分布律：分子数按速度大小的分布。 1.麦克斯韦速率分布函数 理想气体；平衡态；无外场
f () = 4( m
)3/22e
2kT
- m2 2kT
麦克斯韦速率分布曲线
t=
1 2 3 2 2
m2 = kT
= 3kT m 3RT =
有 §2 能量均分定理 理想气体的内能 一、自由度 1.自由度(degree of freedom)：决定物体空间位置所需要的独立坐标的 数目。 ·质点: i = t 3， (t--平动自由度) ·刚体: i = 6
质心平动： x z y
3.状态参量 ·描述系统平衡态的宏观参量 ·常用：P、V、T ·平衡态下状态参量不随时间变化 ·在P---V图上一个点表示一个平衡态。
4.状态方程(Equation of State) ·状态参量之间的函数关系 f (P,V,T) = 0
·理想气体状态方程 PV = RT M
P = nkT
(n—分子数密度) ·玻耳兹曼常数 k = = 1.3810-23 J/K R NA
Chapter VIII： 气体分子运动理论 (Kinetic Theory of Gases) 本章讨论： ·气体的压强与温度 ·气体分子按速率和按能量的分布 ·实际气体的状态方程 ·输运过程
特别注意：统计平均的方法及统计性的规 律 §1 理想气体的压强和温度 一、理想气体的微观模型 1.忽略分子大小(看作质点) 分子线度<<分子间平均距离 2.忽略分子间的作用力(分子间碰撞、分子 与器壁 碰撞时除外) 3.碰撞属完全弹性 4.分子服从经典力学规律 二、理想气体分子的统计假设 (统计假设是对大量分子而言) 1.平衡态时，分子按位置的分布均匀 ·分子在各处出现的几率相同(重力不计) ·容器内各处分子数密度(单位体积中的分 子数)相同 n= dN dV = N V 2.平衡态时，分子速度按方向的分布均匀 ·由于碰撞，分子往各方向运动的概率相同 x=y=z=0
实例用图 进场人数
内进电影院的 人数。
实例：人口情况统计 一、速率分布函数 1.统计方法 ·把速率分成很多相等的间隔 ·统计每间隔内的分子数N + o
速率间隔
· ： + 间隔内分子数与分子总数N之比 N N · ：某 处单位速率间隔内分子数与 N N 总数之比。 Nd dN · ：某 处单位速率间隔内分子数与 总数之比 2.速率分布函数 速率分布函数(Function of distribution of speeds)
1 2 kT
由于分子的无规则碰撞，能量不仅在分子 间交换，还可在平动自由度间转移，没有 哪个平动自由度占有优势。 ·分子有转动的情形 无规则碰撞过程中，能量可在平动、转动 间及转动自由度间交换，没有哪个自由度 特殊。 各自由度的平均动能都是相等的 能量均分定理(Principle of the equipartition of energy) ： 在温度为T的平衡态下，气体分子每个自 由度所对应的平均动能都等于
。
t
= kT
3 2
可得 2.温度的微观意义 温度标志着物体内部 分子无规则运动的剧烈程度
(用t示) 思考： (1)能否用温度概念描述处于非平衡态的系统的状态？ (2)“单个分子的温度”有无意义？为什么？ (3)温度所反映的运动是否包括系统的整体运动？ 3.方均根速率(root—mean--square speed) ---分子速率的一种统计平均值 由
1 2 kT
2.分子的平均动能
k
= kT
i 2
·单原子分子 k = (3/2) kT ·双原子分子(刚性) k = (5/2) kT ·多原子分子(刚性) k = 3kT 三、理想气体内能 1.内能：内能(Internal energy)是气体内所有 分子的动能、分子内的势能与分子间的相 互作用势能的总和。 2.理想气体内能 ·对理想气体，分子间的势能为零 ·对刚性分子，分子内的势能为零 理想气体内能(Internal energy of ideal gases) 是其所有分子的平均动能之和 ·若气体有N个分子，则内能 E = N k = N( ) kT i 2 k= R NA
= (摩尔数) N NA ， 因 有理想气体内能
E = RT i 2
理想气体内能只是温度的函数，且和热力 学温度T成正比。 §3 麦克斯韦速率分布律 ·分子的速度分布、速率分布有无规律? 分子数多； 分子速度的大小、方向千变万化 ·单个无规则，整体有规律(统计规律) 统计：每5分钟间隔
开演时刻
t o
2.微观描述方法---统计物理方法 ·从物质的微观结构出发，用统计平均的方 法，研究热现象及规律的微观本质。 ·两种方法相辅相成。
三、几个概念 1.宏观量与微观量 (1)宏观量 (macroscopic quantity) ·表征系统整体性质的物理量 ·可直接测量(如体积、压强) ·广延量：有累加性(如质量、能量) 强度量：无累加性(如温度、压强)
(2)微观量(microscopic quantity) ·描写单个微观粒子运动状态的物理量 ·一般不能直接测量(如分子质量、能量) ·宏观量是微观量的统计平均值
(如压强和大量分子撞击器壁时动量变化率 的统计平均值有关)
2.平衡态(equilibrium state) ·在不受外界影响的条件下，系统宏观性质 不随时间改变的状态(热动平衡)。 ·平衡态是一定条件下对实际情况的概括和 抽象。
P = nm 1 3
或
P = nt 2 3
其中 2 = m t
1 2
为分子的平均平动动能
思考:如考虑到分子间的碰撞，对上述结果有 无影响? 2.压强的微观意义 ·压强是大量分子碰撞器壁的平均作用力 (单位面积上)的统计平均值 ·压强公式显示了宏观量和微观量的关系。 ·压强是统计概念，只能用于大量分子的集 体。 四、 温度的微观意义 1.平均平动动能和温度的关系 由 P = nt 2 3 P = nkT
麦克斯韦速率分布曲线
f () T
o
p 1 2
d
2.讨论 (1)速率范围： 0 dN Nd (2)·竖线意义： f () 即 dN N ·窄面积意义: f()d 即
2 1
f ()d ·宽面积意义: 即12范围内分子数与总数之比 (3)曲线下面积
0 f ()d = 1
称归一化条件(nomalizing condition) (4)如温度升高，曲线如何画?(请自己画) (5)麦克斯韦速率分布规律是统计规律，只适 用于大量分子组成的集体。 ★麦克斯韦速率分布的实验验证(略) 三、三种速率 1.最概然速率 对速率分布曲线求极值 df() d [ ]= 0
p
可得最概然速率(最可几速率) (the most probable speed)
= 2kT m 2RT =
p 1.41 RT
·p 意义：(请自己叙述) 思考·如T p、f()曲线及f(p)如何变？ 为什么?
·如m f()曲线如何变? 2.平均速率 = 0 dN =
0
Nf()d
= 1N1 + 2N2 + … + nNn N = iNi N N 1 N 1
1 3
2 x ·
= 2y = 2z =
2
2x = N 2 2 2 1x + 2x + … + Nx
2
= 2x +2y +2z
其中
三、理想气体压强公式 1.压强公式的推导 y S Ii l3 l2 l1
ix i ix i
y z
mi mi 理想气体压强公式的推导
x
前提：·平衡态 ·分子总数N，分子质量m ·矩形容器 V = l1 l2 l3 ·忽略重力，气体均匀分布， 6个面压强相同，考虑S面 步骤: (1)一个分子碰壁一次对壁的冲量 ·对第i个分子 碰前速度: i (ix , iy , iz ) 碰后速度: i (ix , iy , iz ) ·S面光滑(无摩擦)，由弹性碰撞 iy = iy , iz = iz ix = - ix ·分子i碰S一次受的冲量 Ii( ) = mix - mix = - 2mix ·分子i碰S一次对S的冲量 IiS( y l1 l2 x
双原子分子示意图
r=2 绕轴转动自由度无意义 i=t+r=5 (3)多原子分子(H2O、 NH3、 CO2、…) i = t + r = 6 二、能量均分定理 (Principle of the equipartition of energy)
1.能量均分定理 ·平动情形 t = kT 3 2 由平均平动动能 平动自由度 t = 3 每个平动自由度的平均动能都相等，为
刚体的自由度
t=3 轴方位： , , , 两个独立 绕轴转动： i = t + r = 3 +3 = 6， ( r—转动自由度) ·非刚体：i > 6， (还有内部相对运动) 2.气体分子的自由度 考虑：刚性分子，无内部相对运动 (低温、常温下如此) (1)单原子分子(He、 Ne、 Ar、…) i = t = 3， (2)双原子分子(O2、H2、 CO、…) t=3
伽尔顿板实验 小钉 等宽 等宽 狭槽 狭槽
演示：伽尔顿板 ·一个小球落在哪里有偶然性 ·少量小球的分布每次不同 ·大量小球的分布近似相同 2.统计规律是对大量偶然事件整体起作用的规律 ·一切偶然性都有自己的原因 (一个小球落在哪里由动力学规律制约) ·但大量偶然事件同时存在时，运动形式发 生了由 量质 的飞跃 ·“大数量”现象中出现的新现象的特点： 在一定宏观条件下的稳定性 ·偶然性是相对于一定的宏观条件来说的， 偶然性中有必然性；必然性寓于偶然性之 中。 ·在一定的宏观条件下，大量偶然事件，在 整体上表现出确定的规律---统计规律 3.统计规律的另一特点是永远伴随着涨落现象 ·速率分布中，区间的分子数N是统计 平均值。在任一瞬时， 区间内的实际 分子数与N有偏离。 对统计规律的偏离的现象称涨落 (fluctuation) ·统计规律与涨落现象是不可分的, 反映了 必然性与偶然性之间相互依存的辩证关 系。 ·涨落有时大，有时小，有时正，有时负 若在区间内的分子数为N 涨落的幅度：
= 0 f ()d
再由麦克斯韦速率分布函数可得 平均速率(average speed) 1.60 RT
= 8kT
m 8RT =
3.方均根速率 同理 2 2 0
=
f ()d
再由麦克斯韦速率分布函数可得 方均根速率(root-mean-square speed) 2
= 3kT m 3RT =
1.73 RT
理想气体压强公式的推导
一次
一次) = - Ii(一次)= 2mix
续)
(2) t内分子i对壁的冲量 ·t内分子i碰S的次数 ixt 2 l1
·t内分子i对S的冲量 IiS = ( ) 2mix ixt 2 l1 = mt 2ix l1
(3)t内N个分子对S的冲量 I = i IiS = ( mt l1 )i 2ix
4.几点讨论
(1)三种速率数值不同
2 p
< <
但和T、m(或 )的关系相同 都 T m (2)三种速率应用场合不同 p --- 用于讨论速率分布 --- 用于讨论分子碰撞 ---用于计算分子的平均平动动能
2
应用：大气的组成 ·地球形成之初，大气中应有大量的氢、氦， 但很多H2分子和He原子的方均根速率 超过了地球表面的逃逸速率(11.2km/s)，故现今地球大气中已没有 氢和氦了。 ·但N2和O2分子的方均根速率只有逃逸速 率的1/25，故地球大气中有大量的氮气 (～大气质量的76%)和氧气(～大气质量的23%)。 四.统计规律与涨落(选讲) 1.伽尔顿板实验