利息理论第四章课后答案

1. 某人借款1万元，年利率12%，采用分期还款方式，每年末还款2000元，剩余不足2000

元的部分在最后一次2000元还款的下一年偿还。计算第5次偿还款后的贷款余额。

解：550.125.10000 1.1220004917.7r

B S =⨯-=

2. 甲借款X ，为期10年，年利率8%，若他在第10年末一次性偿还贷款本利和，其中的利

息部分要比分10年期均衡偿还的利息部分多468.05元，计算X 。 解：10100.08

10(1.081)(

)468.05,700.14x

x x x a ---== 3.一笔贷款每季末偿还一次，每次偿还1500元，每年计息4次的年名义利率为10%。若第1年末的贷款余额为12000元，计算最初贷款额。

解：

000004

04

1044

4

104

4

10(1)15001200,16514.37

4150016514.37

r

B L S L a

=+-==+= 或L=12000v

4.某人贷款1万元，为期10年，年利率为i ，按偿债基金方式偿还贷款，每年末支出款为X ，其中包括利息支出和偿债基金存款支出，偿债基金存款利率为2i ，则该借款人每年需支出额为1.5X ，计算i 。

解：100.0810000(10000)x i S =-

00100.08 6.9i ⇒=10000=(1.5x-20000i)S

5.某贷款期限为15年，每年末偿还一次，前5年还款每次还4000元，中间5次还款每次还3000元，后5次还款每次还2000元，分别按过去法和未来法，给出第二次3000元还款之后的贷款余额表达式。

解：7

2

715105521000(2+)(1)1000[4(1)3]r

B a a a i S i S =++-++过去法：

71510572=1000（2a +a +a ）(1+i)-1000(4S -S )

373583300020001000(2)r

a a V a a =+=+未来法：B

6.一笔贷款按均衡偿还方式分期偿还，若t t+1t+2t+3B B B B ，，，为4个连续期间末的贷款余额，证明：

（1）2

t t+1t+2t+3t+1t+2B -B B -B =B -B （）（）（）

（2）t t+3

t+1t+2B +B

B +B

解：123123t t t t n t n t n t n t B pa +++-------= B =pa B =pa B =pa （1）2

123123()()()()t t t t n t n t n t n t B B B B p a a a a +++---------=--

21311n t n t p V a V a ----=或 2221=()n t V a --或p 2

12=t t ++或（B -B ）

（2）1

321231n t n t t t t t B B B B V

V V ----+++-<-⇔<⇔< 7.某人购买住房，贷款10万元，分10年偿还，每月末还款一次，年利率满足()4

1+i =1.5。计算40次后的贷款余额。 解：0,i 设月利率为

1

12

4

0000⇒（1+i ）=1+i=(1.5)i =0.8483

120=o

i ⋅⇒100000p a p=1331.471

4080p i ⋅B =p a =77103.8

8.某可调利率的抵押贷款额为23115元，为期10年，每季末还款1000元，初始贷款利率为年计息4次的年名义利率12%。在进行完第12次还款后，贷款利率上调为每年计息4次的年名义利率14%，每季度末保持还款1000元，计算第24次还款后的贷款余额。 解：12%14%

3%, 3.5%44

i j =

=== ()3%12

12122311513%100018760r

B S =+-= ()1224

12187601100013752r j B

j S =+-=

9.某贷款分20年均衡偿还，年利率为9%，在哪一次偿还款中，偿还的利息部分最接近于偿还的本金部分。

解：设k 年时最接近，k 年前贷款余额为1n k a -+

利息i 1n k a -+=1

1n k v -+-，本金：1—（1—1

n k v

-+）

令1—1

n k v

-+=1—（1—1

n k v -+），得1—1

n k v

-+=

1

2

201

1

132

k v

k -+⇒=

⇒≈ 10.某借款1000元，年利率为i ，计划在第6年末还款1000元，第12年末还款1366.87元。在第一次还款后第三年，他偿还了全部贷款余额，计算这次偿还额。 解：6

12

6100010001366.870.564447v v

v =+⇒=

()()9

3

10001100011026.96i i +-+=

11.某贷款为期5年，每季末偿还一次，每季计息4次的年名义利率为10%，若第3次还款中的本金部分为100元，计算最后5次还款中的本金部分。 解：还款本金：1

n k Rv

-+

第3次还款中的本金部分：20-31

3p ==100R=155.96Rv

+⇒

则最后5次还款中的本金部分：()

2345155.96724.59v v v v v ++++=

12某借款人每年末还款额为1，为期20年，在第7次偿还时，该借款人额外偿还一部分贷款，额外偿还的部分等于原来第8次偿还款中的本金部分，若后面的还款照原来进行，直至贷款全部清偿，证明整个贷款期节省的利息为13

1v - 解：第7次还款的额外部分为2081

13

1v

v -+=，以后按原来进行偿还，即每次

还款按原计划进行，每次还1，到第20次还款时，已经不需要偿还1，设 需偿还X ()13720

2020

,=10a

a v v X v X =+-⇒= 则最后一次不要还了，有13

19v +，原利息为20 那么节省的利息为13

1v -

13.某贷款为期35年，分期均衡偿还，没年末还款一次，第8次还款中的利息部分135元，

第22次还款中的利息部分为108元，计算第29次还款中的利息部分。 解：()

281135R v -=且()

141108R v -=

141351108

v ∴+=

即7

0.5v = 则()

7172R v -=

14.L 、N 两笔贷款额相等，分30年偿还，年利率为4%，L 贷款每次还款额相等，N 贷款的30次还款中，每次还款中所包含的本金部分相等，包含的另一部分是基于贷款余额所产生的利息，L 贷款的偿还款首次超过N 贷款偿还款的时间为t ，计算t 。 解：设贷款额为w ，p 为N 贷款中每次还款的本金部分。

()30130

w p w p =⇒=

L 贷款每次偿还额都相等，为

30i

w a

30i

w a ＞()()12p i w t p +--⎡⎤⎣⎦

由（1）（2）得：t=12.67≈13