陕西省数学竞赛预赛试题及其答案

2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

（4月24日上午8:30—11:00）

第一试

一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知集合={1,2,310}M L ，

，，A 是M 的子集，且A 中各元素的和为8，则满足条件的子集A 共有（） A.8个B.7个C.6个D.5个

2

、在平面直角坐标系中，不等式组0

200y x y ⎧-≤⎪⎪

-+≥⎨⎪≥⎪⎩

表示的平面区域的

面积是（）

A.

2

2

D.3、设,,a b c r r r 是同一平面内的三个单位向量，且a b ⊥r r ，则()()c a c b -⋅-r

r r r 的

最大值是（）

A.1

1

1D.1

4、从1,2,,20L 这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（）

A.15

B.

110C.319D.338

5、,A B 是抛物线23y x =-上关于直线0x y +=对称的相异两点，则||AB 等于（）

A.3

B.4

C.

6、如图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，G 为BCD ∆的重心，M 是

线段AG 的中点，则三棱锥M BCD -

的外接球的表面积为（）

A.π

B.32

πC.4 D.8

7、设函数32()f x x ax bx c =+++（,,a b c 均为非零整数）. 若3()f a a =，3()f b b =，则c 的值是（）

A.16-

B.4-

C.4

D.16

8、设非负实数,,a b c 满足0ab bc ca a b c ++=++>，的最小值为（）

A.2

B.3 D.二、填空题（每小题8分，共32分）

9、在数列{}n a 中，4111,9a a ==，且任意连续三项的和都是15，则

2016a =_______________.

10、设,m n 均为正整数，且满足424m n =，则m 的最小值是_______________.

11、设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且

()()2x f x g x =+，若对[1,2]x ∈，不等式()(2)0af x g x ≥+恒成立，则实数a 的

取值范围是___________.

12、设x R ∈，则函数()|21||32||43||54|f x x x x x =-+-+-+-的最小值为_________.

第二试

A

C

D

B

G M

一、（本题满分20分）设,x y 均为非零实数，且满足

sin

cos

95

5tan 20cos sin 55

x y x y π

π

πππ+=-．

（1）求y x 的值；（2）在ABC ∆中，若tan y

C x

=，求sin 22cos A B +的最

大值．

二、（本题满分20分）

已知直线:4l y =+，动圆222:(12)O x y r r +=<<，菱形ABCD 的一个内角为060，顶点,A B 在直线l 上，顶点,C D 在圆O 上，当r 变化时，求菱形ABCD 的面积S 的取值范围．

三、（本题满分20分）如图，圆1O 与圆2O 相交于,P Q 两点，圆1O 的弦

PA 与圆2O 相切，圆2O 的弦PB 与圆1O 相切，直线PQ 与PAB ∆的外接圆

O 交于另一点R ．求证：PQ QR =．

四、（本题满分30分）设函数1

()ln (1),f x x a a R x

=+-∈，且()f x 的最小值为0，

（1）求a 的值；（2）已知数列{}n a 满足11a =，1()2(N )n n a f a n ++=+∈，设[][][][]123n n S a a a a =++++L ，其中[]m 表示不超过m 的最大整数．求

n S ．

五、（本题满分30分）设,,a b c 为正实数，且满足1abc =，对任意整数

2n ≥

++≥