经典习题平面法向量求法及应用
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平面法向量的求法及其应用
一、 平面的法向量
1、定义：如果α⊥→
a ，那么向量→
a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或
(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ⋅=且0n b ⋅=，由此得到关于
,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。
方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。
0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→
;若平面与3
个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c
z
b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设
, 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→
→
⨯b a 为一长度等于
θsin ||||→
→
b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采
取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→
→⨯b
a 的方向,→
→
→
→
⨯-=⨯a b b a 。:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→
→
⎝⎛=⨯→
→
21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x
⎪⎪⎭
⎫
21y y （注：1、二阶行列式:c
a M =
cb ad d
b -=；2、适合右手定则。
） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→
→
b a ， 试求（1）：;→
→
⨯b a （2）：.→
→⨯a b
Key: (1) )5,2,1(-=⨯→
→
b a ;)5,2,1()2(-=⨯→
→
a b
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，
求平面AEF 的一个法向量n 。 二、 平面法向量的应用
1、 求空间角
(1)、求线面角：如图2-1，设→
n 是平面α的法向
量，
图1-1 C 1
C
B
y
F
A D x
A 1
D 1 z
B 1
E )2,2,1(:=⨯=→
→→AE AF n key 法向量 B
θ
→
n θ
B
→
n
AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α 所成的角为： 图2-1-1:
2,2
→
→→
→->=
<-=
AB n π
π
θ图2-1-2:2,π
θ=-
>=<→
→
AB n (2)、求面面角:设向量→
m ，→
n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为：
|
|||arccos
,→
→
→
→→
→⋅⋅>== m n m θ（图2-2）; | |||arccos ,→ → → →→ →⋅⋅->== m n m πθ(图2-3) 两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，→ m 的方向对平面α而言向外，→ n 的方向对平面β而言向内；在图2-3中，→ m 的方向对平面α而言向内，→ n 的方向对平面β而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角βα--l 的平面角。 2、 求空间距离 （1）、异面直线之间距离: 方法指导：如图2-4,①作直线a 、b 的方向向量→ a 、→ b ， 求a 、b 的法向量→ n ，即此异面直线a 、b ②在直线a 、b 上各取一点A 、B ，作向量→ AB ； ③求向量→ AB 在→n 上的射影d ，则异面直线a 、b 间的距离为 | |||→ → →•= n n AB d ,其中b B a A b n a n ∈∈⊥⊥→ →,,, 图2-3 | ,cos |><=→ →AB n θ （2）、点到平面的距离: 方法指导：如图2-5,若点B 为平面α外一点，点A 为平面α内任一点，平面的法向量为n ，则点P 到 平面α的距离公式为| |||→ → →•= n n AB d （3）、直线与平面间的距离: 方法指导：如图2-6,直线a 与平面α之间的距离： || AB n d n ⋅= ，其中a B A ∈∈,α。n 是平面α的法向量 （4）、平面与平面间的距离: 方法指导：如图2-7,两平行平面,αβ之间的距离： | |||→ → → •= n n AB d ，其中,A B αβ∈∈。n 是平面α、β 3、 证明 （1）、证明线面垂直：在图2-8中,→ m 向是平面α的法向量， → a 是直线a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（→ →=a m λ）。 （2）、证明线面平行：在图2-9中,→m 向是平面α的法向量，→ a 是直线的方向 向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（0=•→ →a m ）。 （3）、证明面面垂直：在图2-10中，→ m 是平面α的法向量，→ n 是平面的法向 量，证明两平面的法向量垂直（0=•→→ n m ） （4）、证明面面平行：在图2-11中, → m 向是平面α的法向量，→ n 是平的法向 量，证明两平面的法向量共线（→ → =n m λ）。 三、高考真题新解 1、（2005全国I ，18）（本大题满分12分） 已知如图3-1,四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ， ⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且PA=AD=DC=2 1AB=1， M 是PB 的 中点 （Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；