人教A版数学高二必修5课时作业8等差数列的性质及简单应用

课时作业8 等差数列的性质及简单应用

|基础巩固|(25分钟，60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50，则a 40等于( )

A ．40

B ．70

C ．80

D ．90

解析：法一：因为a 20＝a 10＋10d ，所以50＝30＋10d ，所以d ＝2，a 40＝a 20＋20d ＝50＋20×2＝90.

法二：因为2a 20＝a 10＋a 30，所以2×50＝30＋a 30，所以a 30＝70，又因为2a 30＝a 20＋a 40，所以2×70＝50＋a 40，所以a 40＝90.

答案：D

2．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则3a 9－a 11的值为( )

A ．6

B ．12

C ．24

D ．48

解析：∵a 1＋a 15＝2a 8，∴a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8，∴5a 8＝120，a 8＝24.而3a 9－a 11＝3(a 8＋d )－(a 8＋3d )＝2a 8＝48.故选D.

答案：D

3．在等差数列－5，－312，－2，－12，…的每相邻两项插入一个数，使之成

为一个新的等差数列，则新的数列的通项为( )

A ．a n ＝34n －234

B ．a n ＝－5－32(n －1)

C ．a n ＝－5－34(n －1)

D ．a n ＝54n 2－3n

解析：新数列的公差

d ＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫－312＋5＝34， ∴a n ＝－5＋(n －1)·34＝34n －234.故选A.

答案：A

4．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )

A ．1升 B.6766升

C.4744升

D.3733升

解析：设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{a n }，其首项为a 1，公差为d ，由条件得{ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，即

{ 4a 1＋6d ＝33a 1＋21d ＝4解得⎩⎨⎧

a 1＝1322d ＝766，所以a 5＝a 1＋4d ＝6766.

米．由题意，得{a n }是等差数列，首项a 1＝450，公差d ＝50，所以a n ＝a 1＋(n

－1)d ＝400＋50n .令400＋50n >820，解得n >425.由于n ∈N *，则n ≥9.所以该市在

2026年新建住房的面积开始大于820万平方米．

答案：2026

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．(1)已知{a n }是等差数列，且a 1－a 4＋a 8－a 12＋a 15＝2，求a 3＋a 13的值；

(2)已知在等差数列{a n }中，若a 49＝80，a 59＝100，求a 79.

解析：(1)因为{a n }是等差数列，

所以a 1＋a 15＝a 4＋a 12＝a 3＋a 13＝2a 8.

又因为a 1－a 4＋a 8－a 12＋a 15＝2，

所以a 8＝2，即a 3＋a 13＝2a 8＝2×2＝4.

(2)因为{a n }是等差数列，可设公差为d .

由a 59＝a 49＋10d ，知10d ＝100－80，解得d ＝2.

又因为a 79＝a 59＋20d ，所以a 79＝100＋20×2＝140.

10．首项为a 1，公差d 为正整数的等差数列{a n }满足下列两个条件：

(1)a 3＋a 5＋a 7＝93；

(2)满足a n >100的n 的最小值是15.

试求公差d 和首项a 1的值．

解析：因为a 3＋a 5＋a 7＝93，

所以3a 5＝93，所以a 5＝31，

所以a n ＝a 5＋(n －5)d >100，所以n >69d ＋5.

因为n 的最小值是15，所以14≤69d

＋5<15， 所以6910

又d 为正整数，所以d ＝7，a 1＝a 5－4d ＝3.

|能力提升|(20分钟，40分)

11．有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较小的两份之和的7倍，则最少的那份面包个数为

( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

解析：记这五份面包的个数依次为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，公差为d .不妨设d >0， 由{ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝120，a 3＋a 4＋a 5＝7(a 1＋a 2)，

得{ 5a 1＋10d ＝120，3a 1＋9d ＝7(2a 1＋d )，解得a 1＝2.故选C.

答案：C

12．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n ＞0，则a n ＝________.

解析：由已知a 2n ＋1－a 2n ＝4，

所以{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4，

所以a 2n ＝1＋(n －1)·

4＝4n －3.