高一数学笔记

第

一章集合

1一般地，研究对象统称为元素（element ），一些元素组成的总体叫集合（set ），

也简称集。

2元素与集合的关系；

（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A

（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ?A （或a A ）（举例）

3常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N *或N +；

整数集，记作Z

有理数集，记作Q

4任何一个集合是它本身的子集

5真子集的概念：若集合B A ?，存在元素A x B x ?∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。记作：A B （或B A ）

6空集的概念

不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：?

规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

7集合基本运算的一些结论：

A∩B?A，A∩B?B，A∩A=A，A∩?=?,A∩B=B∩A A?A∪B，B?A∪B，A∪A=A，A∪?=A,A∪B=B∪A

（C

U A）∪A=U，（C

U

A）∩A=?

：

1

数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function）．

记作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应

的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．

2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

3一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．

f(x

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．（学生活动）

注意：

○1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

○2必须是对于区间D内的任意两个自变量x

1，x

2

；当x

1

2

时，总有f(x

1

)

2

) ．

2．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

3．判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

就叫做偶函数．

仿照偶函数的定义给出奇函数的定义

2．奇函数（odd function）（奇函数的图象关于原点对称）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就

叫做奇函数．

注意：○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) =0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，f(x)

是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函

思考：仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定义．（学生活动）

注意：

○1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x

∈I，使得f(x0) = M；

○2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

○1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

在x=b

在x=b

n∈N*．当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n 次方根用符号n a表示．

式子n a叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radical exponent），a叫做被开方数（radicand）．

当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．

由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ．

思考：（课本P 58探究问题）n n a =a 一定成立吗？．（学生活动）

（3）s r r a a ab =)(

),0,0(Q r b a ∈>>．

§2.1.2指数函数及其性质

（一）指数函数的概念

一般地，函数)1

>

=且叫做指数函数（exponential function），其中x是

a

y x≠

a(

a

,0

自变量，函数的定义域为R．

2 ．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？

课题：§2.2.1对数

1．对数的概念

一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数（Logarithm ）

，记

（一）对数函数的概念

1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数（logarithmic function ）

其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，

5

log 5

x

y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○

2 对数 指数 对数 （二）对数的运算性质

如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；

○

2 类比指数函数图象和性质的研究，研究对数函数的性质并填写如下表