第十一章 动力学1

三、动力计算中体系的自由度
确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。 实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困 难，常作简化如下： 1、集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自 由度问题。
3
m m>>m梁 m +αm梁 I
恒与位移反向
(t ) m( j d ) y y y 惯性力 I (t ) m
其中 或
j d ) k ( y j yd ) W ……………(a) m( y y j 0 上式可以简化为 y kyj=W 及 d kyd 0 m y ky 0 m y .......... .......... .......... ......(b)
m
(t ) P(t ) m y
改写成 设其中
…………..运动方程
…………..平衡方程
(t ) 0 P(t ) m y
(t ) I (t ) m y
I(t)－惯性力，与加速度成正比，方向相反
虚功原理（拉格朗日方程） 哈米顿原理（变分方程）
都要用到抽象的虚位移概念
7
§11-2
二、动力荷载分类
P(t )
按起变化规律及其作用特点可分为：
P
1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）
t 简谐荷载（按正余弦规律变化） 一般周期荷载
t
2
2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）
P P tr t P(t )
P
tr t
3）随机荷载：(非确定性荷载) 荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。 （如地震荷载、风荷载）
力共同作用下满足强度和变形的要求。
1
动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。 涉及到内外两方面的因素： 1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）； 2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和 阻尼等等），类似静力学中的I、S等； 计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。
m st T 2 2 k g
频率 1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关； 和周 2.Ｔ与m的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期； 期的 13 讨论 3.是结构动力特性的重要数量标志。
自振周期计算公式： 圆频率计算公式： 一些重要性质：
T 2
m st 2 k g
积分常数C1，C2由初始条件确定
.......... .....(d )
10
静平衡位置
m
. y(t ) C sin t C .
1
2
cos t .....(d )
C2 y v C1
I(t) （d）式可以写成
设 t=0 时
y (t ) y cos t
据此可得：ω1‫ ׃‬ω2 ‫ ׃‬ω3= 1 ‫ ׃‬1.512 ‫ ׃‬2
结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。
16
h
例5、求图示结构的自振圆频率。 解法1：求 k θ=1/h 1 EI 3EI k A m MBA=kh = MBC 3 l lh
I→∞ B EI C
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y (t ) mA 2 sin(t ) I (t ) m y
在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律 变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值， 而且惯性力的方向与位移的方向一致。
l
H
1
6 EI h2
1 m H
V
24EI h3
1 m V
由截面平衡
6 EI h2
12 EI h3
k
12 EI h3
k
k 24EI m m h3
6 EI h2
m h3 T 2 15 2 EI
例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m m m
9 由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。
2、 柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。
静平衡位置
m
. y(t) I (t) m (t ) y .
(t ) y 0 m y
.......... .(c)
1 可得与 (b) 相同的方程 k 刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。
l/2
解：1）求δ
l3 1 48EI
l/2
3 l/ 16
l/2
l/2
P=1
l/2
l/2
7 l 3 5 l/ 2 32 768EI P=1 l/ 2
l3 3 192EI
1
1 m 1

48EI ml3
3 1l 768 EI 1 192EI 1 l 3 l l 5 l 7 l 2 2 (2 3 3 ) 1 3 ml 2 32 768 m EI 62 2 7 16 EI ml m 3
§11-1
动力计算概述
一、动力计算的特点、目的和内容
1、特点：静力荷载与动力荷载的特点及其效应。 “静力荷载”是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类
荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。 “动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷 载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，
k 1 g g m m W st
（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与 其中δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质 外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a。 点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越 k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上 大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越 沿振动方向施加的力。 Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质 大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有 点沿振动方向所产生的位移 。 从改变结构的质量或刚度着手。 计算时可根据体系的具体情况，视δ、 k、 Δst 三参数中哪一 （ 3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性 个最便于计算来选用。 能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其 14 自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。
例1. 计算图示结构的频率和周期。 例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。 H 1 m EI m 1
V
l /2 1
l /2 A,E,I
E,I
E,A

l3 48EI m l3 T 2 3 48EI ml 48EI
例3.计算图示刚架的频率和周期。
m EI1= I I h
6 EI h2
由式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运 动的合成，为了便于研究合成运动, 令 (e)式改写成

v
y ( 0 ) y (0) v y
sin t.......... ......(e)
y A sin ,
y(t ) Asin( t )......... .......... ...( f )
二、自由振动微分方程的解
I(t)
改写为
ky 0 m y k y 0 y m
.......... .......... .......... ......(b)
k y 0 其中 y m
2
2
它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：
y(t ) C1 sin t C2 cost
12
-A
三、结构的自振周期和频率
由式
y(t ) Asin( t )
y A

及图可见位移方程是一个周期函数。
T t
0
-A
周期－T
2

,
工程频率－ f
1 ( Hz ), T 2
园频率－ 2f
2 T
计算频率和周期的几种形式
k 1 g g m m W st
厂房排架水平振 时的计算简图
m+αm柱
I 2I
单自由度体系
y2 y1
2个自由度 2个自由度
自由度与质量数不一定相等
4
m1
m2
2个自由度
m3
4个自由度
v( t ) θ( t )
u(t)
水平振动时的计算体系
多自由度体系
构架式基础顶板简化成刚性块
5
m ( x)
无限自由度体系
x
y(x,t)
2、广义座标法： 如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示
y ( x , t ) a k k ( x )
k 1
ak(t) ——称广义座标，为一组待定
参数，其个数即为自由度数，用此法可将
无限自由度体系简化为有限自由度体系。
x
n
y
6
四、动力计算的方法
动力平衡法（达朗伯尔原理）
m
(t ) P(t ) m y
P(t)
(t ) ＝I(t) m y
y ( x, t ) ak (t ) sin
k 1
n
kx l
用几条函数曲线来描述体系的振动曲线 就称它是几个自由度体系，其中
sin kx —— 是根据边界约束条件选取 l
x y(x,t)
1( x),2 ( x),........ .n ( x)
的函数，称为形状函数。
a1， a2，…….. an
1
l
k11 m
k m
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•对于静定结构一般计算柔度系数方便。 •如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便。 两端刚结的杆的侧移刚度为： 一端铰结的杆的侧移刚度为：
12EI l3 3EI l3
18
四、简谐自由振动的特性
由式 可得，加速度为： 惯性力为：
单自由度体系的自由振动
自由振动：体系在振动过程中没有动荷载的作用。 自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。
静平衡位置
m获得初位移y
m获得初速度 y
研究单自由度体系的自由振动重要性在于： 1、它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 2、它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了体系的固有动力特性。 要解决的问题包括： 建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼……….
2
v
A cos
它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A和可由下式确定
振幅
相位角
v 2 A y 1 y tg v
.......... .........( g) ..........
11
y (t ) y cos t
由它所引起的内力和变形都是时间的函数。 与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，
建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷 载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。 2、目的和内容 计算结构的动力反应：内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力与静内
y y

y(t ) Asin( t )......... .......... .....( f )
T

v
sin t.......... ......(e)
0 -y y T
t
y cos t
v v
y A

0
t

v
sin t
T t
0
A sin t

θ
l
3EI k 2 lh
1
k 3EI m m h2l
解法2：求 δ h
1 lh 2h lh 2 EI 2 3 3EI

1 m 11

3EI mlh2
17
例6、求图示结构的自振频率。 解：求 k k11 k
3 EI l3
3EI l3
k11 m k
EI
3EI k11 k 3 l
8
一、运动微分方程的建立
方法：达朗伯尔原理 应用条件：微幅振动（线性微分方程） 力学模型 1、 刚度法：研究作用于被隔离的质量上的
力，建立平衡方程。
静平衡位置
重力
W
m 质量m在任一时刻的位移 y(t)=yj+yd
. y . .y
k
S(t)
m m
j d
.y
d
W
I(t)
+
弹性力 S (t ) ky(t ) k ( y j yd )