概率论教案
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概率论教案 Hessen was revised in January 2021
第一章随机事件与概率
第一节随机事件
教学目的:了解概率的主要任务及其研究对象;掌握随机试验、随机事件等基本概念;掌握随机事件间的关系与运算,了解其运算规律。
教学重点:随机试验,随机事件,事件间的关系与运算。
教学难点:事件(关系、运算)与集合的对应,用运算表示复杂事件。
教学内容:
1、随机现象与概率统计的研究对象
随机现象:在一定的条件下,出现不确定结果的现象。
研究现象:概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。
2、随机试验(E)
对随机现象的观察。特点①试验可在相同条件下重复;②试验的所有可能结果不只一个,但事先已知;③每次试验出现一个且出现一个,哪个出现事先不知。
3、基本事件与样本空间
(1)基本事件:E中的结果(能直接观察到,不可再分),也称为样本点,用 表示。
(2)样本空间:E中所有基本事件的集合称为这个随机试验E的样本空间,用Ω表示。
4、随机事件
(1)随机事件:随机试验中可能发生也可能不发生的时间。用A、B、C等表示。
(2)随机事件的集合表示
(3)随机事件的图形表示
必然事件(Ω)和不可能事件(E)
5、事件间的关系与运算
(1)包含(子事件)与相等
(2)和事件(加法运算)
(2)积事件(乘法运算)
(3)互斥关系
(4)对立关系(逆事件)
(5)差事件(减法运算)
6、事件间的运算规律
(1)交换律;(2)结合律;(3)分配律;(4)对偶律
教学时数:2学时
作 业:习题一 1、2
第二节 概率的定义
教学目的:掌握概率的古典定义,几何定义,统计定义及这三种概率的计算方法;了解概率的基本性质。
教学难点:古典概率的计算,频率性质与统计概率。
教学内容:
1、概率
用于表示事件A 发生可能性大小的数称为事件A 的概率,用P(A)表示。
2、古典型试验与古典概率
(1)古典型试验:特点①基本事件只有有限个;②所有基本事件的发生是等可能
的。 (2)古典概率,在古典型试验中规定 P(A)=n
k A =Ω中基本事件总数中含的基本事件数 3、几何型试验与几何概率
(1)几何型试验
向区域G 内投点,点落在G 内每一点处是等可能的,落在子区域1G 内(称事件A 发生)的概率与1G 的度量成正比,而与1G 的位置和形状无关。
(2)几何概率。在几何型试验中规律定 P(A)=的度量
的度量G G 1 4、频率与统计概率
(1)事件的概率
设在n 次重复试验中,事件A 发生了r 次,则称比值
n r 为在这n 次试验中事件A 发生的频率,记为n r A f n =
)( (2)频率的性质
○
11)(0≤≤A f n ;○21)(=Ωn f ;○30)(=Φn f ; ○
4Φ=AB 时,)()()(B f A f B A f n n n +=+;
○5 随机性:r 的出现是不确定的;○6稳定性:)()(∞→→n p A f n (3)统计概率,规定
P(A)=P
(4)统计概率的计算
n r A p ≈
)( (n 很大)
5、概率的基本性质
从以上三种定义的概率中可归纳得到:
(1)0;1)(≤≤A P
(2)1)(=ΩP
(3)0)(=φP
(4)若AB=φ,则)()()(B P A P B A p +=+
教学时数:2学时
作 业:习题 一 4、7、8、11
第三节 概率的公理化体系
教学目的:掌握概率的公理化定义及概率的性质;会用概率的基本公式求概率。 教学重点:概率的公理化定义;概率基本公式。
教学难点:用概率基本公式计算概率。
教学内容:
1、概率的公理化定义
(1)为什么要用公理定义概率
○
1数学特点 ;○2深入研究的需要;○3是第二节中三种特殊形式的扩展。
(2)定义
设A 为随机试验E 中的任何事件,如果函数P(A)满足
公理一(范围) 01)(≤≤A P ;
公理二(正则性) 1)(=ΩP ;
公理三(可列可加性)。若可列个事件 n A A A A 321,,两个互斥,则
则称P(A)为事件A 的概率。
2、概率的性质
从公理出发,可以严格证明
性质1:0)(=φP
性质2:若事件 n A A A A 321,,两两互斥,则)()(11∑∑===n
n i n n i A P A p
性质3:对任何事件A ,)(1)(A P A P -=
性质4:若P(A)-P(B)B)-P(A ,=⊂则B A
性质‘4 P(AB)-P(B)A)-P(B )A P(B ==
注:○1P(AB)-P(A)B)-P(A )B P(A ==
性质5 P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)
注:性质5对任意有限个事件情况可以扩展
教学时数:2学时
作 业:习题一 15、16
第四节 条件概率,乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式
教学目的:理解条件概率的定义和概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。使学生掌握条件概率和概率的乘法公式,全概率公式和贝叶斯公式的应用。
教学重点:条件概率、乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式。
教学难点:条件概率的确定,用全概率公式和贝叶斯公式计算概率。
教学内容:
1、条件概率
(1)实际问题中要确定在某事件已发生时,另一事件的概率,看书20p 例,在具体问题求条件概率。
(2)定义:若P(B)>0,称
为在事件B 发生的条件下事件A 的条件概率。
2、概率的乘法公式
(1) )()()(B A P B P AB P ⋅=